Analisi 2: Riassunto completo e dettagliato - prima parte

Teoremi Serie

• Condizione necessaria di convergenza

∑ a_m converge ⇒ a_m → 0 (necessaria ma non sufficiente).

Se a_m ≠ 0 ⇒ ∑ a_m non converge.

Serie Geometrica:

• ∑ a_m ∈ ℝ

|q| < 1 converge a 0. q > 1 diverge +∞ (cancella se q < -1 diverge). q = -1 irregolare.

Serie Armonica:

• ∑_{m ≥ 1} ¹⁄_mα

• α > 1 converge
• α ≤ 1 diverge

• ∑_{m ≥ 1} ¹⁄_{m(log m)^β}

• β > 1 converge
• β = 1 (BS) converge
• Diverge negli altri casi.

Serie di Mengoli:

• ∑_{m ≥ 1} ¹⁄_m(m+1) = ¹⁄_m - ¹⁄_m+1

S_m = ∑_{k = 1}^{m 1}⁄_k(k+1) = ∑_{k = 1}^m (¹⁄_k-¹⁄_k+1) = ¹⁄₁-¹⁄_m+1 = 1 - ¹⁄_m+1 quando m → ∞ (telescopia). _{+ quando am = bm - bm+1}

Serie a termini positivi (non negativi)

Se a_m ≥ 0 per ogni m, la serie ∑a_m è a termini positivi.

Una serie a termini positivi è regolare (converge o diverge).

Ci sono alcuni semplici teoremi per queste serie, vediamoli.

Teoremi Serie

• Condizione Necessaria di Convergenza
  • ∑ a_m converge ⇒ a_m → 0 (necessaria ma non sufficiente).
  • Se a_m ≠ 0 ⇒ ∑ a_m non converge.

Serie Geometrica:

• ∑_m=0 a^m q ∈ ℜ
• |q| < 1 converge a 0.
• q > 1 diverge +∞
• q = ± 1 irregolare.

Serie Armonica:

• ∑_m≥1 1/m^α
  • α > 1 converge
  • α ≤ 1 diverge
• ∑ 1/m^α(ln(m))^β
  • α > 1 converge
  • α = 1 β > 1 converge
  • Diverge negli altri casi.

Serie a Termine Positivi (Non Negativi)

Se a_m ≥ 0 per ogni m, la serie ∑a_m è a termini positivi.

Una serie a termini positivi è regolare (converge o diverge).

Ci sono alcuni semplici teoremi per queste serie, vediamoli.

Criterio del confronto

Siano _m=0^∞ a_m e _m=0^∞ b_m due serie a termini positivi tali che:

0 <= a_m <= b_m ∀ m ∊ ℕ. Allora:

• Se _m=0^∞ b_m converge ⇒ _m=0^∞ a_m converge
• Se _m=0^∞ a_m diverge ⇒ _m=0^∞ b_m diverge

Criterio del confronto asintotico

Date le 2 serie a termini positivi _m=0^∞ a_m e _m=0^∞ b_m t.c lim m➝+∞ a_m/b_m=ρ≠0

⇒ La serie _m=0^∞ a_m e _m=0^∞ b_m hanno stesso carattere (conv. o dive.)

Criterio del rapporto

Sia _m=0^∞ a_m una serie a termini positivi t.c. lim m➝+∞ a_m+1/a_m=L∊ℝ

• Se il limite ∄ non si può applicare
• Se 0 < L < 1 la serie converge
• Se L > 1 la serie diverge
• Se L=1 caso indecidibile

Criterio della radice

Sia _m=0^∞ a_m una serie a termini positivi t.c. lim m➝+∞^√a_m = L∊ℝ

• Se il limite ∄ non si può applicare
• Se 0 < L < 1 la serie converge
• Se L > 1 la serie diverge
• Se L=1 caso indecidibile

Serie a termini con segno variabile

In queste serie esistono 2 tipi di convergenza:

• Semplice
• Assoluta

Σa_n converge = converge semplicemente

Σ|a_n| converge = converge assolutamente

Σa_n converge assolutamente ⇒ Σa_n converge semplicem