Analisi 2: Riassunto completo e dettagliato - prima parte

Teoremi Serie

Condizione Necessaria di Convergenza

∑_m a_m converge ⇒ a_m → 0 (necessaria ma non sufficiente).

Se a_m → 0 ⇏ ∑_m a_m non converge.

Serie Geometrica:

• ∑_m=0 ∞ q^m q ∈ ℝ
• |q| < 1 converge ≠ 0.
• q > 1 diverge ± ∞ (cancic se q < -1 diverge)
• q = ±1 irregolare.

Serie Armonica:

• ∑_m=1 ∞ 1/m
• d > 1 converge
• d ≤ 1 diverge
• ∑_m=1 ∞ 1/m(log(m))^b
• d > 1 converge
• d = 1 B(s) converge
• diverge negli altri casi

Serie a Mengoli:

• ∑_m=2 ∞ 1/m(m+1) = 1/m - 1/m+1
• S_m = ∑_k=2 ^m 1/k(k+1)
• = ∑_k=2 ^m (1/k - 1/k+1)
• = 2 - 1/m+1 → 1 quando m→∞

Serie a Termini Positivi (Non Negativi)

Se a_m ≥ 0 per ogni m, la serie ∑_am è a termini positivi.

Una serie a termini positivi è regolare (converge o diverge).

Ci sono alcuni semplici teoremi per queste serie, vediamoli.

Criterio dei confronto

Siano _m=0 a_m e _m=0 b_m due serie a termini positivi tale che:

a_m ≤ b_m ∀m ∈ IN. Allora:

• Se _m=0 b_m converge ⇒ _m=0 a_m converge
• Se _m=0 a_m diverge ⇒ _m=0 b_m diverge

Criterio dei confronto asintotico

Date le 2 serie a termini positivi _m=0 a_m e _m=0 b_m t.c. a_m/b_m m→∞

⇒ La serie _m=0 a_m e _m=0 b_m hanno stesso carattere. (conver o diver)

Criterio dei rapporto

Sia _m=0 a_m una serie a termini positivi t.c. lim_m→+∞ a_n+1/a_n = l∈IR

• Se l>1 non si può applicare
• Se l1 la serie diverge
• Se l=1 caso indecidibile.

Criterio della radice

Sia _m=0 a_m una serie a termini positivi t.c. lim_m→+∞ ^√ma_n = l∈IR

• Se l>1 non si può applicare
• Se l1 la serie diverge
• Se l=1 caso indecidibile.

CRITERI DI INTEGRABILITÀ (SU INTERVALLI ILLIMITATI)

CRITERIO DEL CONFRONTO

Siano f,g : [a,b) → ℝ due funzioni continue t.c.

lim_x->b^- f(x) = +∞

lim_x->b^- g(x) = +∞

e 0 ≤ f(x) ≤ g(x) ∀x∈[a,b).

Allora:

1. Se ∫_a^bg(x) dx converge, allora converge anche ∫_a^bf(x) dx.
2. Se ∫_a^bf(x) dx diverge, allora diverge anche ∫_a^bg(x) dx.

CRITERIO DEI CONFRONTO ASINTOTICO

Siano f,g : [a,b) → ℝ due funzioni continue t.c:

lim_x->b^- f(x) = +∞

lim_x->b^- g(x) = +∞

f(x) > 0, g(x) > 0 ∀x∈[a,b)

e f(x) ∼ g(x) per x->b^-.

Allora:

Gli integrali impropri ∫_a^bf(x)dx e ∫_a^bg(x)dx hanno stesso carattere.

Def: Sia f : [a,b) → ℝ continua. f è assolutamente integrabile su [a,b) quando è integrabile |f| su [a,b).

∫_a^b|f(x)| dx converge.

CRITERIO DELLA CONVERGENZA ASSOLUTA

Sia f : [a,b) → ℝ una funzione continua.

Se f è integrabile assolutamente, allora ⇒ è anche integrabile. (semplicemente)

Equazioni differenziali del I ordine

• Equazioni a variabili separabili

Un'equazione differenziale del I ordine è detta a variabili separabili quando può essere scritta nella forma:

y' = a(x) b(y) con a,b funzioni continue

a: I → ℝ continua b: J → ℝ continua

1. b(y) = 0 (per trovare soluzioni singolari)

   Se k è una soluzione di b(y)=0, allora la funzione costante y(x)=k è una singolare dell'equazione differenziale

   b(k)=0 a(x)b(k)=0 y'(x)=0

   [Se troviamo una soluzione deve soddisfare le condiz. iniziale di Cauchy]

2. (Soluzioni non singolari)

   y'= a(x) ∫ 1/b(y(x)) dy = ∫ a(x)dx ∫ dt/b(t) = ∫ a(x)dx ∫ dy/b(y) = ∫ a(x)dx

Esempio

N.B. → Posso sempre vedere y' come dy/dx che è sempre f(x).

y.y' = 3x²+2 y dy/dx = 3x²+2 y dy = (3x²+2)dx ∫ y dy = ∫ (3x²+2)dx

y = ± √2x³+4x+c

Dato l'intervallo posso anche toccare il modulo.

La soluzione che sto cercando è:

Per ogni:

Equazioni differenziali di Bernoulli

Dove p,q: I → ℝ continue

• Se d=0

eq. die. lineare.

• Se d≠1

L.n.e.e.

Va.n.a. Separa.

Teorema: ogni eq. dief. di Bernoulli può essere ridotta a

un’equazione differenziale lineare.

Esempio

eq. die. Bernoulli d≠2

c ∈ ℝ

c ∈ ℝ

b.f.o.c.o

y^'' + y^' = x(x)

Metodo per trovare soluzione dell'eq. omogenea:

2y^’’ = 0

2y₂ = 0

y_g = C₁ + C₂ e^-x ← soluz. generale

Metodo per trovare soluz. particolare: y₀ = (ax² + bx + c)

y₀^' = 2ax + b

y₀^'' = 2a

2a + 2ax + b = 2x

2ax + 2a + b = 2x

2a = 2   a = 1

2a + b = 0   b = -2

y₀ = x² - 2x + c ← soluzione particolare

Soluzione generale: y = x² - 2x + C₁ + C₂ e^-x

Teorema: Se C₁ e C₂ sono 2 funzioni di classe C¹, soluzioni del sistema:

• y₁(t) C₁(t) + y₂(t) C₂(x) = 0
• y₁^'(x) C₁(x) + y₂^'(x) C₂(x) = φ(x)

Allora la funzione:

ŷ(x) = C₁(x) y₁(x) + C₂(x) y₂(x) è una soluzione particolare

dell'equazione diff. omogenea y^(*)(x) + by^'(x) + cy(x) = φ(x).

• Metodo della variazione delle costanti arbitrarie

OSS: Propietà 1: supponiamo funzioni derivabili.

p(t) = φ(t) g'(φ(t)) ∀t∈[a,b]

1. P è regolare ⇔ g è regolare
2. p(t) // g'(φ(t)) (uno multiplo dell'altro)
3. p strar. crescente → φ'(t) > 0 ∀t ⇒ p'(t) / g'(φ(t)) (nello stesso verso.
4. p strar. decresc. → φ'(t) < 0 ∀t ⇒ " " " verso opposto.

Teorema:

Sia γ una curva regolare di classe C¹.

γ può sempre essere parametrizzata mediante il parametro arco.

Integrali di linea di I specie

Def: Sia γ una curva regolare di classe C¹ parametrizzata da φ: [a,b] ⇒ ℝ^M.

Sia Ω un aperto di ℝ^M contenente γ: φ⊆Ω e f⊆Ω.

Sia f: ℝ→ℝ continua.

L'integrale di linea di f lungo φ è definito da:

∫_γ fds = ∫_a^b (φ(t)) ||φ'(t)|| dt

Teorema:

(Della media generalizzato)

Sia f: [a,b]→ℝ una funzione continua e sia p: [a,b]→ℝ una funzione continua e positiva.

Allora ∃ un x₀∈[a,b] t.c.

∫_a^b p(x) f(x) dx = f(x₀) ∫_a^b p(x) dx

Teorema:

(Della non dipendenza dal cammino)

Condizioni a quelli x definire gli integrali di linea.

∃t₀∈[a,b] t.c. ∫_γ fds = F (φ(t₀)) - F₁

Teorema:

Gli integrali di linea di I specie non dipendono dalla parametrizzazione (parametrize eqvimenti danno stessi integrali di linea).