Raccolta Dimostrazioni di algebra Lineare e geometria analitica

Unicità dell'inversa di una matrice

Per assurdo, A^-1 inverse di A^-1 ≠ A

A'^-1 A' = A' A'^-1

A'^-1 (A' A'^-1) = (A'^-1 A') A'^-1

I_n A' = A'

Metodo di eliminazione di Gauss (Meg: riduzione a scala)

Data una matrice A ∈ M_k (m, n) esiste un algoritmo che con un numero finito di operazioni elementari sulle righe la riduce a scala

A ∈ M_k (m, n) A = [a_ij]

• Se A ∈ a scala ⟹ ho finito
• Altrimenti: Sia C₍₁₎ la prima colonna di A, da sinistra, non nulla
• Sia a_R(1) il primo elemento dall'alto non nullo di C₍₁₎
• (1) Scambio la riga 1 di A con la riga R-esima (R₍₁₎ ≠ 0)
• (2) Sostituisco la riga k-esima C_k con

(a_k1/a_R(1)1) C_j

Ripetiamo (2) per tutte le righe

• Sia A' la matrice ottenuta da A eliminando la m^esima riga
• A' ∈ M_k (m-1, n) ⟹ A' è a scala ⟺ A è a scala
• Ora si ripete l'algoritmo con A' al posto di A finché la matrice è a scala. L'algoritmo termina al più in n passi.

Teorema di struttura delle soluzioni di un sistema lineare

Sia Ax = b un sistema lineare. Sia x_p soluzione del sistema.

Le soluzioni del sistema lineare sono nella forma x_p + x_h

Dove x_p è una qualsiasi soluzione del sistema associato (Ax = 0)

(x_p si dica soluzione particolare)

x_p + x_h è soluzione del sistema, infatti

A (x_p + x_h) = Ax_p + Ax_h = b + 0 = b

Viceversa, se x è soluzione del sistema, insiemi che è nella forma x_p + x_h

Ax = b

A (x_p + x_h) = Ax_p + Ax_h = y

(x_p - x_h) b = b - 0 = 0

⇒ Ax = 0

Teorema di Cramer

Si consideri un sistema di n equazioni in n incognite della forma Ax = b. Se x(A) = n, il sistema ammette unica soluzione, qualunque sia b.

A ∈ H_K(n, n) [A|b] ≠ 0 ∀ b ∈ IK

x(A), x(U) = n

Ux = b è equivalente a Ax = b

• Risolvo indietro e determino l'unica soluzione.

Ker(A) è sottospazio vettoriale di IKⁿ

V = IKⁿ

A ∈ H_K(m, n)

Ker(A) = Σ x ∈ IKⁿ: Ax = 0 ³ ≤ V

1. A0 = 0 0 ∈ Ker(A)
2. ∀x₁, x₂ ∈ Ker(A) A(x₁ + x₂) = Ax₁ + Ax₂ = 0 + 0 = 0 ⇒ (x₁ + x₂) ∈ Ker(A)
3. ∀x ∈ Ker(A) ∀t ∈ IK A(t ⋅ x) = t ⋅ Ax = t ⋅ 0 = 0 ⇒ (t ⋅ x) ∈ Ker(A)

⇒ Ker(A) è sottospazio vettoriale di IKⁿ

Sottospazio generato da un insieme di vettori

L(u₁, ..., u_R) è sottospazio vettoriale di V.

Dim V spazio vettoriale su IK, u₁, ..., u_R ∈ V, t₁, t₂, ... s_R ∈ IK

1. 0 ∈ L(u₁, ..., u_R) t₁ = 0
2. t₁u₁ + t₂u₂ + (s₁ + s₂ + s_R)u_R (t₁ + s₁)u₁ + (t₂ + s₂)u_R = combinazione lineare di u₁, u₂ ∈ L(u₁, u₂)
3. t ∈ IK t (t₁u₁ + t₂u₂) ∈ L(u₁, u₂) = combinazione lineare di u₁, u₂ Ré V ∈ L (u₁, u₂)

⇒ L(u₁, u_R) è sottospazio vettoriale di V.

U = _{p1 w1 w2 w3}

Le r righe non nulle di U

sono una base per Row(U) = Row(A)

Supponiamo per comodo dimostriamo che i pivot si spostano a

destra di una colonna quando passo alla riga successiva

considero una combinazione lineare delle righe non nulle di U

t₁u₁ + t₂u₂ +.....+ t_ru_r = 0 si ottiene:

[]

⇒ dim (Row(A)) = dim (Row(U)) = r(A)

A ∈ M_n,n:

(a) r(A) = n

(b) Ker(A) = {0ⁿ}

(C) A ∈ invertibile

(a) ⇔ (b)

Ker(A) contiene x tale che Ax = 0 se Ker(A) = {0ⁿ}

(c) → (b) sia A invertibile per ipotesi

(a) ¹A

(a)A x = 0 ⇔ x = 0

→ Ker(A) = {0ⁿ}

Conoscemi i sistemi lineari

Ax = e₁ r(A) = n ciascun sistema

Ax = e₂

ha 1 soluzione

→ Aψ = e₁ Aψ₂ = e₂ A... = e_n

A [u₁u₂...u_r] = [e₁, e₂, e₃...e_n]

= B = I_n

→ AB = I_n (se Barnette inversa sinistra → Ker(B): {0ⁿ}

Considero il sistema: Bx = 0

A(B x) - A 0 → 0 x = 0 → x = 0

⇔ r(A) = n

Ripetendo la dimostrazione per B ho che:

AB = I_n

B A = I_n {⇒ B = A^-1 ⇒ A è invertibile

Condizione di ortogonalità

x = ^<x,b>/_<b,b> = <x,^b/_|b|²>

Se per assurdo ||x - v || sia nullo per Pitagora

||x - u₂|| ² + ||c² u₁|| = ||x||²

z > 0 - strettamente positivo

||x - u || ² = ||x - y ||

Proprietà di una base ortonormale

Sia B = {g₁, ..., g_n} base ortogonale & y ∈ V ´ = ⁿ∑_i=1<y,g_i>

1. <x ² + x₁, ... x_n
2. Sia W: <x,w> = x₁y₁ + ... + x_ny_n
3. <g₁ + g '*' >

Dato che <y₁, y₂> e <g_i, g_j> >= 0

1. <{u} m₁, y_i + y₁ + y_n> = <x, g_i>.
2. x_i = 0 + <x, g_i> > 0 + ... 0 * + x₁ * x_i²
3. x₁..x_n y_n x_j g_n y_m = x₁ + ... x_n

se b₁,... b_n formano una base ortonormale

<b, d_i> = x_i, ||x|| ₂

Matrici ortogonale V ∈ O(n) ⇔ Col(U) formano una base per Kⁿ

V ∈ M_r (_n,n) Si dice che V è ortogonale se U' U =1

Teorema di Pitagora e Carnot (U, W ∈ V)

1. Pitagora: ||u₂ = ||z¹ w ||² (con z₁, W)
2. Carnot: ||u₂> + 1₁u₁² + 2 <z₁,W>

< z w> = <W, W> + <u₁,w> + <z¹;W S> = z² + 1.2 ÷ 1 u_n w²

Se U, W ottengo Pitagora, infatti <z₁,W> = 0

γ = n V ∈ V a due a due ortogonali fra loro vale

Il Teorema di Pitagora generalizzato

γ₁ / γ_j   ‖u₁ + ... + u_m‖ = ‖u₁‖₂ + ... + ‖ u_m‖ ₂