Raccolta Dimostrazioni di algebra Lineare e geometria analitica

Unicità dell'inversa di una matrice

Per assurdo: A', A'' inverse di A

A'A ≠ A''A

A'A = I_n = A'(AA'') = (A'A)A'' = IA'' = A''I ≠ AA' = A'

Metodo di eliminazione di Gauss

(Meg: riduzione a scala)

Data una matrice A ∈ M_k(m,n), esiste un algoritmo che con un numero finito di operazioni elementari sulle righe la riduce a scala

A ∈ M_k(m,n)

• Se A è a scala → ho finito
• Altrimenti: sia C₍₁₎ la prima colonna di A, da sinistra, non nulla sia Q_(k,j) il primo elemento dall'alto non nullo di C₍₁₎
• Scambio la riga 1 di A con la riga r-esima (dove P_r1 ≠ 0)
• Sostituisco la riga k-esima con Q_k con Q_k - (a_k1/a_r1)Q_r

Ripetiamo (2) per tutte le righe

Sia A' la matrice ottenuta da A eliminando la 1^a riga

A' ∈ M_k(m-1,n) → A' è a scala ↔ A è a scala

Ora si ripete l'algoritmo con A' al posto di A finché la matrice è a scala. L'algoritmo termina al più in n passi.

Teorema di struttura delle soluzioni di un sistema lineare

Sia Ax = b un sistema lineare. Sia x₀ soluzione del sistema.

Le soluzioni del sistema lineare sono nella forma x₀ + x_R dove x₀ è una qualsiasi soluzione del sistema associato (Ax = 0).

x₀ si dice soluzione particolare

x₀ + x_R è soluzione del sistema, infatti:

Ax = b ↔ A(x₀ + x_R)

Viceversa, ogni soluzione del sistema omogeneo è nella forma x₀ + x_R

A essendo soluzione del sistema omogeneo:

A((1 - u₀)x₀) + b = A u_R

Unicità dell'inversa di una matrice

Per assurdo: A'A'' inverse di A

A'A ≠ A''A

A'A = I_n = A''A (A'A)' = (A''A)' A' = I_n A' = A''

Metodo di eliminazione di Gauss

(Meg: riduzione a scala)

Data una matrice A ∈ M_k (m, n), esiste un algoritmo che con un numero finito di operazioni elementari sulle righe la riduce a scala

A ∈ M_k (m, n)

• A = [a_i,j]
• Se A è a scala → ho finito
• Altrimenti: sia C_j(k) la prima colonna di A_k da sinistra, non nulla sia a_P,k il primo elemento dall'alto non nullo di C_j(k)
• Scambio la riga 1 di A con la riga r-esima (a_P,k ≠ 0)
• Sostituisco la riga k-esima Q_k con Q_k - (a_i,k/a_j(k),k) Q_j(k)

Ripetiamo (2) per tutte le righe

Sia A' la matrice ottenuta da A eliminando la k^esima riga

A' ∈ M_k (m-1, n)

A' è a scala ⇔ A è a scala

Ora si ripete l'algoritmo con A' al posto di A finché la matrice è a scala. L'algoritmo termina al più in n passi.

Teorema di struttura delle soluzioni di un sistema lineare

Sia AX = b un sistema lineare sia X₀ soluzione del sistema. Le soluzioni del sistema lineare sono nella forma X₀ - X_h dove X₀ è una qualsiasi soluzione del sistema associato (AX = 0) (X₀ si dica soluzione particolare)

X₀ - X_h è soluzione del sistema, infatti

A(X₀ - X_h) = AX₀ - AX_h = b - 0 = b

Viceversa, se X è soluzione del sistema, X_omogeneo è nella forma X₀ + X_h

A(X₀ - X_h) = b

A(X₀ - X_h) - b = 0

Teorema di Cramer

Si consideri un sistema di n equazioni in n incognite della forma Ax=b

Se χ(A)=n il sistema ammette unica soluzione, qualunque sia b.

A∈H_K(n,n)

[ \[ A \] \[ b \] ] ∈ H_K(n,n+1) \ χ(A)=χ(U)=n

Ux=b è equivalente a Ax=b=> \ \begin{pmatrix}\cdots & | & b₁ \\\cdots & | & b₂\end{pmatrix}

Risolvo indietro e determino l'unica soluzione.

Ker(A) è sottospazio vettoriale di Kⁿ

V=Kⁿ

A∈H_K(m,n)

Ker(A) = { x ∈ Kⁿ : Ax = 0 } ⊆ V

A 0 = 0 ∈ Ker(A)

∀x₁,x₂∈Ker(A) \ A(x₁+x₂)=Ax₁+Ax₂=0+0=0 \ =>(x₁+x₂)∈Ker(A)

∀t∈K \ A(tx)=tAx=t 0=0 \(t x)∈Ker(A)=> Ker(A) è sottospazio vettoriale di Kⁿ

Sottospazio generato da un insieme di vettori

L({v₁,...v_k}) è sottospazio vettoriale di V.

Dim \ ∀spazio vettoriale sul K, \ v₁,...,v_k∈V \ , t₁...t_k,s₁...s_k∈K \ 0∈L({v₁,...v_k})\ t₁...t_k=0(t₁)