Analisi e geometria 2 - Raccolta di definizioni e teoremi

Vettori: linearmente dipendenti

I vettori _u, _v, _w si dicono linearmente dipendenti se esistono tre scalari a,b,c non tutti nulli t.c.au+bv+cw=0I vettori _u, _v, _w si dicono linearmente indipendenti se non sono linearmente dipendenti.

Vettori ortogonali

Due vettori _u e _v si dicono ortogonali se l’angolo da essi formato è un angolo retto. Il vettore nullo è per def. ortogonale a qualsiasi vettore.

Prodotto vettoriale

Il prodotto vettoriale di due vettori _u e _v è il vettore _u × _v così definito:

• Se _u e _v non sono paralleli, il modulo di _u × _v è uguale all’area del parallelogramma avente per lati _u e _v: ‖_u × _v‖=‖_u‖‖_v‖sinα di dove α è l’angolo formato tra i due vettori.
• La direzione di _u × _v è perpendicolare al piano generato dai vettori _u e _v, e tale che che sia un a di _u,_v,_u × _v risulti nel verso in cui _u,_v risultano in ordine come le dita della mano destra.
• Se _u e _v sono paralleli il prodotto vettoriale è il vettore nullo.

Prodotto misto

Il prodotto misto di tre vettori: _u,_v,_w è lo scalare_u·(_v × _w)=: det [_a,_b,_c;_d,_e,_f;_g,_h,_l] - allora|_u (_v × _w)| =| a b c || d e f || g h l |

Combinazione lineare

Si dice che un vettore _v è combinazione lineare dei vettori _v1,...,_vd se esistono degli scalari _t1,...,_td∈ℝ t.c._v = t_1v1 + ... t_dvd.

Matrici

Una matrice A m×n a elementi in K é una tabella rettangolare di numeri disposti in m righe e n colonne._aij è il numero che si trova sulla i-esima riga e sulla j-esima colonna di A.

Prodotto riga per colonna

Dati un vettore riga a e un vettore colonna x con lo stesso numero di componenti, il loro prodotto è lo scalare così definito:_y = [_a1, ..., _an] _x1 ... = a_1x1 + ... a_nxnxn

Prodotto matrice per vettore

Il prodotto Ax di una matrice A m×n per un vettore colonna x=[₁...,_xm]T con m componenti è il vettore colonnaAx=_{[a11 ... a1n][x1]}

Nucleo di una matrice

Data una matrice A m×n, l’insieme delle soluzioni dei sistema omogeneo Ax = 0 si dice nucleo della matrice.Si denota col simbolo ker(A).

Matrice a scala

Si dice a scala se l’origine >0 t.c.:

1. le righe non nulle, sono in ordine (nulle in fondo)
2. se i_i(r) è indice di colonna della riga i_j(r_i) allora i_j(i) < i_r(j)

Rango

Sia A una matrice m×n. Il rango di A è il numero di righe non nulle di una A_M (cioè A_i) A e la matrice a scala ottenuta da A tramite KGA.

Nucleo

Sia L : V → W un’applicazione lineare, il nucleo Ker(L) è l’ins. delle combinazioni lineari, ovvero tutti x∈V t.c. L(x)=0.

Ker(L) = { x ∈ V : L(x) = 0 } dim Ker(L) = n - r

Immagine

Sia L : V → W un’applicazione lineare, l’immagine Im(L) è l’insieme L(V) di tutte le immagini dei vettori di V.

Matrice invertibile

Sia A in una matrice quadrata di ordine n. Si dice che A è invertibile se e solo se esiste una matrice B t.c. BA = I e BA = I

Determinante e proprietà

Sia A una matrice m×n, A è una sottomatrice ottenuta cancellando x righe e y colonne da A. Ricorda

• Invariante per scorrimento Scambiando due righe det(A) = - det(A)
• Moltiplicando riga i tramite α, allora i-1, deti(A) = α det.(A)
• det(A) = 0 ↔ tr(A) = 0
• Note: esistono α_i, β_i, γ_i ∃ che prodot _i (α = 0)

Nucleo

Un nucleo di ordine Hij è detto _i.jdi

Spazio vettoriale

Uno spazio vettoriale di un insieme in cui sono definite per ogni coppia (Ɐ,vⱯ',)+

• Stra mezzi P + P = P   ⱯP ⊂ Ɐ  P 'P ⊆ ⊖ P o

Sottospazio vettoriale

• Sia U uno spazio vettoriale. Un sottospazio U ⊆ V si dice chiuso rispetto alla somma se per inf. 0 proprietà.
• Se Ɐ Ɐ ∑ⱼⱯ 0.
• La minima sezione di V è chiuso rispetto alla somma e non basta il vettore nullo.

Spazio: Riga e spazio colonna

Sia A : Una matrice m×n

• Lo spazio riga Row(A) è il sottospazio generato dalle righe
• Lo spazio colonna Col(A) è il sottospazio generato dalle colonne ovvero il maggiore dimensioni le righe

dim Column(A) = dim Row(A) = r(A)

Rango di un'applicazione lineare

Sia L : V → W un’applicazione lineare, il rango R(L) è la dimensione dell’immagine Im(L).

Autovettori

Sia L : V → V un’applicazione lineare Un vettore v ≠ 0 si dice un autovettore di L

Uno scalare λ e il corrispondente determinato da v e Λ (u) è detto Autovalore di L.

Autospazio

Vi∈E Ɐi

I possiamo Vi = ker((L-λI) ) = { v ∈ L | v ≠ λv }

la soluzione appartenente all’autospazio VⱯ Autosp(z) = { v ∈ V |-λv =0}, λ

Con l’α, inia VⱯ ⊂

Matrice diagonale

Una matrice A : L × L si dice diagonale se è quadrato e C diag a1, DJ = 0.

Sost: a1 ai

: 1 2 0   Diag[^a0 ^½ 2]

Matrice diagonalizzabile

Una matrice quadrata A di ordine n si dice diagonalizzabile se e solo se esiste una matrice ortogonale U e

detra A diag

: Ɐ ⊖ Ɐ| λ

Autovalore regolare

Un autovalore λ di A si dice regolare g_{g1, g2}

Autovettore semplificato

Matrici simili

Sia A : L×L si dice equivalente se e solo sia se:

La similitudine tra due matrici B e C

Prop: Sia [A|b] la matrice completa del sistema lineare Ax = b. Supponiamo che [U|c] sia una matrice ottenuta da [A|b] mediante operazioni elementari sulle righe.

Allora il sistema lineare Ax = b è equivalente al sistema Ux = c.

Dim: Osserviamo che se v soddisfa due equazioni lineari a1v = b1 e a2v = b2 allora soddisfa anche la somma della prima con un multiplo della seconda:

(a1 + a2) v = a1v + a2v = b1 + tb2.

Ne segue che se v è una soluzione di Ax = b allora è anche soluzione di Ux = c.

Siccome le operazioni elementari sono reversibili mediante operazioni elementari, e [U|c] è ottenuta da [A|b] mediante operazioni elementari, possiamo scambiare i ruoli delle matrici.

Quindi se v è una soluzione di Ux = c allora è anche soluzione di Ax = b. Quindi i due sistemi hanno le stesse soluzioni.

Teor: Sia Ax = b un sistema lineare arbitrario di m equazioni in m incognite. Vale una delle seguenti tre possibilità:

1. Se r([A|b]) = r(a) + 1 il sistema è sovradeterminato cioè non ha soluzioni;
2. se r([A|b]) = r(a) = m il sistema è determinato e ha unica soluzione;
3. se r([A|b]) < r(a) < m il sistema è sottodeterminato e ha infinite soluzioni: determinate da m-r(a) parametri.

Dim: 1) Col metodo di eliminazione di Gauss otteniamo un sistema equivalente al sistema dato, con matrice completa [U|c].

Supponiamo r(u|c) = m e ck ≠ 0 per un indice k≤ r(u).

In questo caso il sistema non ha soluzioni: la k-esima riga di U è nulla perché k≤ r(u), quindi la k-esima riga della matrice completa corrisponde all'equazione:

0x1 + 0x2 + ... + 0xr + 0 che non ammette soluzioni.

Questo si verifica (⇒) [U|c] ha un ulteriore pivot pr+1 sull'ultima colonna, quindi (⇒) r([A|b]) = r(a) +