Riassunto Dimostrazioni Algebra lineare e Geometria analitica

Proposizioni sui vettori in uno spazio vettoriale

Proposizione: Insieme contenente lo zero

Dato A={v₁,…,v_n} un insieme di vettori di V(K). Se 0 ∈ A, allora A è legato.

Dimostrazione: A={0,v₂,…,v_n}. 0+v₂+…+v_n=0. 1 x 0 + 0 v₂+…+ 0 v_n =0. A è legato perché non tutti i coefficienti sono = a 0.

Proposizione: Vettori proporzionali

Dato A={v₁,…,v_n} un insieme di vettori di V(K). Se in A compaiono due vettori proporzionali, A è legato.

Ipotesi: Dimostrazione: v₂=k v₁. A={v₁,kv₁,…,v_n}. -k v₁ + 1 kv₁ + … + 0 v_n = 0. A contiene 0 quindi è legato.

Proposizione: Combinazione lineare

Dato A={v₁,…,v_n} un insieme di vettori di V(K). A è legato se e solo se almeno uno dei suoi vettori si può esprimere come combinazione lineare dei rimanenti.

Ipotesi: Dimostrazione: A è legato. Tesi: v ∈ A che è combinazione lineare dei rimanenti. A legato esiste una combinazione lineare dei vettori di A che dà 0, a coefficienti non tutti nulli. a₁ v₁ + … + a_n v_n = 0 (a_i = 0). Non è restrittivo supporre a₁ = 0 → a₁ v₁ = -a₂ v₂ - … - a_n v_n. a₁ = 0. Moltiplico ambo i membri per v₁. v₁ diventa combinazione lineare dei rimanenti.

Proposizione: Insieme libero

Proposizione: Se A è libero. A ∪ {u} è legato. u si può esprimere come combinazione lineare dei vettori di A.

Dimostrazione: A={v₁,…,v_n}. A ∪ {u} legato esiste una combinazione lineare di v₁,…,v_n,u di coefficienti non tutti nulli che dà il vettore nullo. a₁v₁ + … + a_nv_n + bu = 0.

• Se b=0 a₁v₁ + …+ a_nv_n = 0 con un certo a_i≠0, assurdo perché va contro l'ipotesi di A libero. b=0.
• bu= - a₁v₁ - … - a_nv_n. Posso scrivere u come combinazione lineare dei vettori di A.

Proposizione: Insieme che contiene un insieme legato

Proposizione: Se A è legato, ogni insieme che lo contiene è legato.

Ipotesi: Dimostrazione: A={v₁, … , v_n}. Tesi: B={v₁, … , v_n , u₁ , … , u_m}. A è legato. a₁v₁ + … + a_nv_n = 0 con a_i ≠ 0. B è legato.

Proposizione: Insieme libero e sottoinsiemi

Proposizione: Se A è libero ogni suo sottoinsieme è libero.

Ipotesi: Dimostrazione: C ⊆ A. Tesi: C è libero.

• Assurdo suppongo C legato, ma se C è legato anche A è legato. C è libero.

Lemma: Insieme di generatori

Lemma: Se S={v₁,…,v_n} è un insieme di generatori di V(K) e uno dei suoi vettori v_i dipende linearmente dagli altri, allora S \ {v_i} è ancora un insieme di generatori.

Dimostrazione: Non è restrittivo che sia v₁ ad essere combinazione lineare dei rimanenti. v₁ = a₂v₂ + … + a_nv_n. Per ipotesi, S genera V(K). ∀v ∈ V(K), v = b₁v₁ + … + b_nv_n. v è combinazione lineare di {v₂,…,v_n} = S \ {v₁}. S \ {v₁} è un insieme di generatori.

Teorema: Spazio vettoriale finitamente generato

Teorema: Ogni spazio vettoriale finitamente generato e non banale ammette almeno un insieme libero di generatori.

Dimostrazione: Spazio finitamente generato insieme di vettori finito. Sia S={v₁,…,v_n} un insieme finito di generatori di V(K). (Se S è libero ho già la tesi) suppongo S legato. Esiste v appartenente combinazione lineare dei rimanenti. Per il lemma precedente S \ {v₁} è ancora un insieme di generatori. Se S₁ è libero ho la tesi, altrimenti elimino da S₁ un vettore che dipende dagli altri.

Lemma di Steinitz

Tesi: Dimostrazione: m < n. G genera ogni vettore di V(K) si può scrivere come combinazione lineare dei vettori di G. u₁ = a₁v₁ + … + a_nv_n.

• Dato che L è libero u₁ = 0, gli a_i non possono essere tutti nulli. Non è restrittivo supporre a₁ = 0 → (isolo a₁v₁) a₁v₁ = u₁ - a₂v₂ - a_nv_n.
• Dimostriamo che G₁={u₁,v₂,…,v_n} è ancora un insieme di generatori. Sappiamo che V genera e che per ogni v posso scrivere v= b₁v₁ +…+ b_nv_n. Sostituisco al posto di v₁. Il generico vettore v è combinazione lineare di {u₁,v₂,…,v_n} =G₁. G₁ genera V(K).

Considerazioni sui vettori di G₁

Consideriamo adesso u₂ che dipende linearmente dai vettori di G₁. u₂ = ku₁ + c₂v₂ +…+ c_nv_n. Ci non possono essere tutti 0 perché altrimenti u₁ e u₂ sarebbero linearmente dipendenti ma non è possibile perché L è libero. Non è restrittivo supporre c₂ = 0 (ammette perciò l’inverso). c₂v₂ = u₂ - ku₁ - ….- c_nv_n. v₂ → G₂={u₁, u₂, v₃, …,v_n} è ancora un insieme di generatori.

Teorema: Basi e cardinalità

Dopo n passaggi abbiamo che n vettori di L hanno sostituito n vettori di G dando origine ad un nuovo insieme libero di generatori. Gn= {u₁,…,u_n} ⊆ L.

Poiché m > n, u ∈ L dipende dai vettori di Gn poiché Gn genera V(K). Contraddizione, poiché L è libero. Quindi m < n.

Teorema: Cardinalità uguale delle basi

Teorema: Tutte le basi di uno spazio vettoriale hanno la stessa cardinalità.

Dimostrazione: Siano B e B' due basi di V(K). Per Steinitz B (libera) < B' (genera). Dato che sono invertibili B' (libera) < B (genera). Quindi B = B'.

Proposizione: Sequenza di n generatori

Proposizione: Sia dim(V(K)) = n. Allora ogni sequenza di n generatori è libera.

Dimostrazione: B=base di V(K), B =n. S= sequenza che genera V(K) con S =n. Tesi: S libera.

• Per Assurdo suppongo S legata. v ∈ S combinazione lineare dei rimanenti. S'= S \ {v} genera V(K). n= B < S' = n-1. n < n-1, assurdo. Quindi S è libera ed è una base.

Proposizione: Sequenza libera di n vettori

Proposizione: Sia dim(V(K)) = n. Ogni sequenza libera di n vettori genera V(K).

Dimostrazione: B = base di V(K) con B =n.