Riassunto Dimostrazioni Algebra lineare e Geometria analitica

TEOREMA DI KRONECKER

Tale dimensione coincide con il rango.

Dim: Tesi: dim(L(c)) = rango(A) = dim(L(r))

Sia A K (K). Dimostri che dim(L(c))=rango(A) → Sia dim(L(c))=s esistono in A, S colonne linearmente indipendenti

Per il teorema precedente esiste in A un minore di ordine s non singolare rango(A) > s

Per Assurdo suppongo rango(A) = r > s per la definizione di rango esiste in A un minore di ordine r con il determinante non nullo

Per i, teorema precedente esistono r colonne di A linearmente indipendenti, ma questo è assurdo poiché dim(L(c)) = s < r rango(A) = s = dim(L(c))

Analogamente si dimostra che dim(L(r)) = rango(A)

TEOREMA DEGLI ORLATI

Una matrice A K (K) ha rango “p” se e solo se esiste un minore M di A di ordine “p” non singolare e tutti i minori di ordine p+1 (orlati) sono singolari

Dim:“ ” Ip: rango(A) = p

Per definizione di rango esiste un minore m di ordine p non singolare e tutti i minori di ordine superiore a p sono singolari

singolari tesi“ “ poiché esiste M di ordine p non singolare rango(A) > p

Tesi: rango p(A) = p

Per Assurdo suppongo rango(A) = r > p→ allora alle P righe che contengono M ( sono di sicuro linearmente indipendenti perché det(M) = 0) sipuò aggiungere um opportuna riga ottenendo ancora un insieme libero

Esiste un minore di ordine p+1 con det=0 contenente MASSURDO ( contro l’ipotesi) rango(A) = p

TEOREMA DI ROUCHE-CAPELLI: un sistema lineare AX=B di m equazioni in n incognite è compatibilese e solo se rango(A) = rango(A/B)

Dim:AX=B è compatibile se e solo se ha soluzione→ Esiste un n-upla (a1,…,an) che soddisfa tutte le equazionia1c1 + … + ancn = B

B è combinazione lineare delle colonne di Ail massimo numero di colonne linearmente indipendenti di A è uguale al massimo numero di colonnelinearmente indipendenti di A/B

ragno(A) = rango p(A/B)

TEOREMA DI CRAMER: un sistema lineare AX=B di n equazioni in n

1. incognite (A= nxn), con det(A)=0 ammette una e una sola soluzione
2. Dim: det(A) = 0, rango(A) = n
3. A/B è n x (n+1), rango(A/B) < n → rango(A/B) > rango(A) = n, rango(A/B) = n, sistema compatibile
4. Per Assurdo suppongo che x1 e x2 siano entrambe soluzioni di AX=B
5. AX1 = AX2, det(A) = 0, A è invertibile
6. Indichiamo con Bi la matrice ottenuta da A sostituendo la i-esima colonna di A con la colonna B dei termini noti
7. A=( c1,…,ci-1,ci,ci+1, …. ,cn)
8. Bi=(c1,…,ci-1,B,ci+1, … ,cn)
9. Allora la soluzione del sistema AX=B è la n-upla (a1,…,an) dove ai= det(Bi)
10. PROP: le soluzioni di un sistema lineare compatibile AX=B sono tutte e sole del tipo: X=Xo + Z. Dove:
11. Xo=soluzione particolare di AX=B
12. Z = soluzione del sistema AX=0
13. Dim: dimostro che Xo+Z è soluzione di AX=B
14. A(Xo+Z)=AXo+AZ=B+AZ=B+0=B
15. Dimostro che X è soluzione X=Xo+Z
16. Calcolo A(X-Xo) = AX -AXo = B-B = 0 → X-Xo = Z, X = Xo+Z
17. PROP: la matrice A del cambiamento di base da B a B'

è invertibile e A è la matrice del cambiamento di base da B' a B <p>è invertibile e A è la matrice del cambiamento di base da B' a B</p> Dim:PROP: due matrici simili hanno stesso determinante e stesso polinomio caratteristico <p>Dim:PROP: due matrici simili hanno stesso determinante e stesso polinomio caratteristico</p> Dim: A,B Mn(K) simili esiste P Mn(K), det(P)=0 <p>Dim: A,B Mn(K) simili esiste P Mn(K), det(P)=0</p> B = P A P1. det(B) = det(P AP) = det(P ) det(A) det(P) = det(A)det(B) = det(A)2. <p>B = P A P1. det(B) = det(P AP) = det(P ) det(A) det(P) = det(A)det(B) = det(A)2.</p> PROPRIETÀ: due sottospazi lineari paralleli e di uguale dimensioni o hanno intersezione vuota o coincidono <p>PROPRIETÀ: due sottospazi lineari paralleli e di uguale dimensioni o hanno intersezione vuota o coincidono</p> Dim:PROPRIETÀ: in An(K), n>3, esistono rette sghembe e due rette sghembe giacciono su piani paralleli <p>Dim:PROPRIETÀ: in An(K), n>3, esistono rette sghembe e due rette sghembe giacciono su piani paralleli</p> Dim:n>3 in V(K) esistono (almeno) 3 vettori linearmente indipendenti, siano u,v e w <p>Dim:n>3 in V(K) esistono (almeno) 3 vettori linearmente indipendenti, siano u,v e w</p> • Sia P A e Q=dimostro che r=[P,L(v)] e S=[Q,L(w)] sono sghembe <p>• Sia P A e Q=dimostro che r=[P,L(v)] e S=[Q,L(w)] sono sghembe</p> Per Assurdo suppongo esista un piano alfa=[P,V2] che contiene r ed S→ →u,v e w V2 è assurdo perché dim(V2)=2r ed S sono sghembe <p>Per Assurdo suppongo esista un piano alfa=[P,V2] che contiene r ed S→ →u,v e w V2 è assurdo perché dim(V2)=2r ed S sono sghembe</p> • Siano t=[T,L(v)] e t'=[T',L(v')] due rette sghembe→ v e v' sono linearmente indipendenti→ →dim(V2)=2 V2=L(v,v') <p>• Siano t=[T,L(v)] e t'=[T',L(v')] due rette sghembe→ v e v' sono linearmente indipendenti→ →dim(V2)=2 V2=L(v,v')</p> Definisco:MHd(H,P) = d(H,Q)Dimostrazione:Supponiamo che H sia un punto sull'asse del segmento PQ. Allora, per definizione, la distanza tra H e P è uguale alla distanza tra H e Q. Quindi, d(H,P) = d(H,Q). Viceversa, supponiamo che d(H,P) = d(H,Q). Questo significa che la distanza tra H e P è uguale alla distanza tra H e Q. Quindi, H è equidistante dai punti P e Q. Ma se H è equidistante da P e Q, allora H deve essere sull'asse del segmento PQ. Quindi, abbiamo dimostrato che l'asse di un segmento è il luogo dei punti equidistanti dai suoi estremi.MHPM = QMPROP: in A2(R) per due punti distinti passa una e una sola retta¹. A,B punti propri A,B A2(R) R retta passante per AB². A proprio è B improprio→ r = [A,V1] u {V1}³. A è B impropri r = retta impropriaPROP: la retta congiungente 2 punti immaginari e coniugati è realeDim:P = P , r= retta per P e PP r P rP r P r r è la retta passante per P e Pr = r = realePROP: per un punto immaginario passa una è una sola retta realeDim: P immaginario P = PDalla proposizione precedente so che la retta per P e P è realePROP: due rette immaginarie e coniugate si intersecano in un punto realeDim: r, r con r = rP = r rPROP: ogni retta immaginaria ha esattamente un punto reale→Dim: r immaginaria per la proposizione precedente P= r r è realePer Assurdo suppongo Q = P con Q r e Q realeP,Q r P,Q r r = r ASSURDOCONSEGUENZE TEOREMA DELL'ORDINE:2) C non possiede punti (n+1)-upliDim:Per Assurdo sia P C un punto (n+1)-uplo→ ogni retta

passante per P ha con C, in P, molteplicità di intersezione n+1 (che è maggiore di n)→ è una retta componente ASSURDO3) C ha un punto n-uplo P è riducibile nell’Unione di n rette, non necessariamente distinte, passantiper P

Dim:“ ”“ “ sia C di ordine n e sia P C un punto n-uplo

Sia Q C, Q = P e r=retta per P e Q→(r c) > n+1 > n la retta appartiene alla curva (perché ha ordine maggiore di quello della curva)

C= r u …..u r = r

Altrimenti T C con T rs = retta per P e T(s c) > n+1 > n s C

PROPRIETÀ: se una conica è riducibile, si riduce in due rette, che possono essere reali e distinte / realie coincidenti / immaginarie e coniugate→Dim: C si riduce il polinomio che la rappresenta è fattorizzabile ( ha grado 2, quindi si fattorizza in duepolinomi di grado 1, ciascuno dei quali = 0, rappresenta una retta)

La tesi segue dal fatto che il polinomio della conica ha coefficienti

PUNTI MULTIPLI DI UNA CONICA:

In A²(C) una conica non ha punti tripli, ha almeno un punto doppio se e solo se è riducibile

Dim: “ ”

Ip: P è doppio(r c) > 2 + 1 = 3 >2“ ”

Ip: C è riducibileC = r₁ ∪ r₂

Sia P appartenente a r₁ intersezione r₂.

Poiché l’ordine della conica è 2, ogni retta passante per P ha 2 intersezioni con la conica.

Tali intersezioni devono essere entrambe in P altrimenti la retta sarebbe componente .ASSURDO P è doppio→

• Se r₁ = r₂ P è l’unico punto doppio→
• Se r₁ = r₂ tutti i punti della conica sono doppi

TEOREMA: in A²(C) i punti doppi di una conica hanno coordinate omogenee che sono classi diautosoluzioni complesse del sistema AX=0

TEOREMA: in A²(C) una conica C= XAX=0 è

1. Generale se rango(A)=3
2. Semplicemente degenere se rango(A)=2
3. Doppiamente degenere se rango(A)=1

Dim: →1. C generale C non ha punti doppi se e solo se AX=0 non ha autosoluzioni

se e solo se rango(A)=32. C semplicemente degenere se e solo se C ha uno e un solo punto doppio, che in coordinateomogenee è rappresentato da terne tutte proporzionali se e solo se AX=0 ha soluzioni se e solose rango(A)=23. C è doppiamente degenere se e solo se C ha punti doppi se e solo se AX=0 ha soluzioni se e solose rango(A)=1

PROP: in A2(C) la polare di P' rispetto a una conica generale C è una retta

Dim: C= XAX=0

P'=[(x1',x2',x3')]Il luogo dei coniugati di P' è l'insieme dei punti [(x1,x2,x3)] A2(C) tali che: X'AX=0→ → →Questa equazione rappresenta una retta tranne nel caso in cui (a,b,c) = (0,0,0) X'A=0 ( X'A)=0→ →AX'=0 AX'=0→ →X' è autosoluzioni di AX=0 P è un punto doppio di C , ma ciò è ASSURDO poiché C è generale

PROP: la parabola ha come centro il suo punto improprio ed è priva di asintoti→Dim: C

parabola C r =P contato 2 volte→ r è tangente alla parabola in P→ →r è la polare di P P è il centro

Per definizione gli asintoti sono le tangenti proprie nei punti impropri di C.→La tangente a P è r la parabola non ha asintoti

PROP: gli assi di una conica a centro (ellisse o iperbole) sono 2 e sono ortogonali tra loro a meno chenon si tratti di una circonferenza, in tal caso tutto i diametri sono assi

Dim:Da questa equazione possiamo trovare i poli degli assi→1. Se la conica è una circonferenza a12=a22, a12=0→ → →l' equazione diventa 0=0 tutti i punti impropri sono poli di assi tutti i diametri sono assi→2. Se la conica non è una circonferenza l'eq. non è indeterminata

Poiché è un un' eq. omogenea di secondo grado ha due classi di autosoluzioni.→Siano [(l',m')] e[(l'',m'')] i poli degli assi sono P' =[(l',m',0)] e

el polo p' è dato da (l'', m'', 0). Le loro polari p' e p'' sono i due assi di C. Tes: A è un asse → a contiene il polo di p' → p' contiene il polo di a (p' contiene un solo punto improprio A, che ne dà la direzione) → A → a → a polo di a perpendicolare A è un asse. PROP: la parabola ha un unico asse, un solo vertice, inoltre la tangente alla parabola nel vertice è ortogonale all'asse. Dim: il centro d