Raccolta esercizi svolti di Analisi 2

Dipartimento di Scienze e Tecnologie Aerospaziali

Esercitazioni di Analisi II

(AA 2021-2022)

Esercitatore:

Christian Migliavacca

Autore:

Moscagiuri Pietro

Moscagiuri Pietro Analisi II

Indice

1 Esercitazione 1 4

1.1 Esercizio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Esercitazione 2 4

2.1 Esercizio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Esercizio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3 Esercizio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Esercitazione 3 9

3.1 Esercizio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.2 Esercizio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.3 Esercizio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.4 Esercizio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.5 Esercizio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4 Esercitazione 4 14

4.1 Esercizio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.2 Esercizio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.3 Esercizio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5 Esercitazione 5 20

5.1 Esercizio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5.2 Esercizio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5.3 Esercizio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5.4 Esercizio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

6 Esercitazione 6 27

6.1 Esercizio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

6.2 Esercizio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

6.3 Esercizio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

6.4 Esercizio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

6.5 Esercizio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

6.6 Esercizio 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

6.7 Esercizio 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

6.8 Esercizio 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

6.9 Esercizio 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

6.10 Esercizio 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

6.11 Esercizio 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

6.12 Esercizio 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1

Moscagiuri Pietro Analisi II

7 Esercitazione 7 33

7.1 Esercizio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

7.2 Esercizio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

7.3 Esercizio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

8 Esercitazione equazioni differenziali 38

8.1 Equazioni a variabili separabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

8.1.1 Soluzione di un’equazione a variabili separabili . . . . . . . . . . . . . . . . 39

8.1.2 Problemi di Cauchy con equazioni a variabili separabili . . . . . . . . . . . 40

8.2 Equazioni lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

8.2.1 Problemi di Cauchy per equazioni lineari del primo ordine . . . . . . . . . 43

8.2.2 Esistenza e prolungabilità delle soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

8.3 Equazioni e sistemi lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

8.3.1 La struttura della soluzione ed il principio di sovrapposizione . . . . . . . . 46

8.3.2 Equazioni a coefficienti costanti omogenee . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

8.3.3 Equazioni a coefficienti costanti complete, metodo di somiglianza . . . . . 49

8.3.4 Equazioni di grado superiore al secondo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Problemi di Cauchy per equazioni lineari del secondo ordine a coefficienti

8.3.5 costanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Problemi diversi riguardanti le equazioni lineari del secondo ordine a

8.3.6 coefficienti costanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

9 Esercitazione 8 56

9.1 Funzioni reali di più variabili reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

9.1.1 Esercizio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

9.2 Grafico di una funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

9.2.1 Esercizio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

9.2.2 Esercizio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

9.2.3 Esercizio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

9.3 Insiemi di livello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

9.3.1 Esempio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

9.3.2 Esempio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

9.3.3 Esempio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

n

9.4 Topologia in . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

R

9.4.1 Esercizio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

10 Esercitazione 9 62

10.1 Nozioni di teoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

10.1.1 Topologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

10.2 Esercizio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

10.3 Esercizio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

10.4 Esercizio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

10.5 Esercizio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

10.6 Esercizio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2

Moscagiuri Pietro Analisi II

11 Esercitazione 11

Estremi di funzioni di più variabili 69

11.1 Esercizio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

11.2 Esercizio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

11.3 Esercizio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3

Moscagiuri Pietro Analisi II

1 Esercitazione 1

1.1 Esercizio 1

2 Esercitazione 2

2.1 Esercizio 1

(2) →

Sia V = Der (R) lo spazio lineare delle funzioni derivabili 2 volte su Sia L : V E := R

R. R

definito da 00 0

− −

(Lf )(x) = f (x) 2f (x) 3f (x)

1. Verificare che L è lineare.

2. Verificare che L è iniettiva e se lo è la sua restrizione a U = Span(cos x, sin x).

∈

3. Esiste f U : (Lf )(x) = g(x) := 5 cos x?

4. Determinare la fibra di di g

1) Sappiamo dalla teoria che una funzione lineare ha anche la derivata allo stesso modo lineare,

dunque non occorre dire altro.

2) Per rispondere al secondo quesito cerchiamo il KerL

00 0

∈ ⇐⇒ − −

f KerL f 2f 3f = 0

−x 3x

⇐⇒ f (x) = c e + c e

1 2

6 {0} →

KerL = L non è iniettiva

Sia J = L|U la restrizione di L a U →

J : U W

Non ci sono elementi non nulli di U appartenenti a KerL

−x 3x } → {0} →

KerL = Span{e , e KerJ = J è iniettiva

3) Derivando l’elemento di U , si ottiene ancora un elemento di U .

⊆ →

Quindi ImJ U e possiamo considerare J : U U un endomorfismo.

→

Gli endomorfismi iniettivi sono anche suriettivi ImL = U .

∈

Comunque si scelga g U deve esistere f : Lf = g; in particolare è vero per g(x) = 5 cos x.

4) ∗

L (g(x)) = KerL + f (x) Lf = g

sin x

−x 3x

{c − − ∈

e + c e cos x , c , c R}

1 2 1 2

2

sin x

− − si torvano cercando la soluzione particolare di Lf = g in U

I due valori cos x 2 4

Moscagiuri Pietro Analisi II

2.2 Esercizio 2

3 4

→

Sia f : data da

R R −

f (x , x , x ) = (5x x2, x + x , x , x )

1 2 3 1 1 2 3 1

1. f è lineare?

2. Trovare la matrice associata A

3. Determinare una base di Kerf e di Imf

4. Dire se f è iniettiva o/e suriettiva

−1,

5. Determinare l’immagine di (0, 2) e la fibra di (5, 1, 3, 1)

1) Si, è lineare perché ognuna delle 4 componenti è un polinomio omogeneo di grado 1.

2)    

− −1

5x x 5 0

1 2

 

x 1 x + x 1 1 0

1 2

   

→

x

f = A =

2    

  x 0 0 1

3

   

x 3 x 1 0 0

1

si può dunque scrivere f come prodotto di matrici per ”vettore colonna”

Osservazione: 





 x

x 1

1 x

x Ossia prodotto di due matrici: 4x3 e 3x1

= A

f 2

2 





 x

x 3

3

3) Determino ora le basi    

−

5x x 0 

1 2 x = 0





x 1

1 

x + x 0 

1 2

   

∈ ⇐⇒ ⇐⇒

x Kerf = x = 0

2     2



 x 0

3

   

x  x = 0

3 

x 0 3

1

 

 

0

 

0

Kerf è banale, ovvero Kerf = . Non esiste base.

 

0

 

Per quanto riguarda la base generica di Imf     

  

      −1

−x

− 0

5

5x 0

5x x 2

1 2 1

 

x 1 0

1

1

0

x x

x + x

1 2 1 2   

  

   

    → }

x +x +x Imf = Span{v , v , v

= x

f = + +

=

2 1 2 3

3

1 2   

  

   

   

  1

0 0

x

x 0 0 3

3     

  

     

x 3 0 0

1

0 0

x x

1 1

Per il teorema di ”nullità + rango”: 3

dim Kerf + dim Imf = dimR

5

Moscagiuri Pietro Analisi II

− −

dim Imf = dimR dim Kerf = 3 0 = 3

Poiché v , v , v generano Imf che ha dim = 3 sono linearmente indipendenti, significa che

1 2 3

possono essere una base.

4) ˆ →

Kerf banale f è iniettiva;

ˆ 4

dim Imf = 3 < dimR = 4 che rappresenta la dimensione dello spazio di partenza: f

non è suriettiva

−1,

5) Im(0, 2)    

· −

5 0 (−1) 1

 

0 − −1

0 1

   

−1

f = =

   

  2 2

   

2 0 0

Ho solamente sostituito all’interno del vettore di uscita le componenti x , x , x fornite dal testo.

1 2 3

Ker(5, 1, 3, 1)  −

5x x = 5

1 2 

x = 1



 1

 

x + x = 1

 

1 2 = x = 0

2

x = 3

3

 

x = 0

  3



 x = 1

1

In questo caso la fibra è data da un solo elemento dal momento che f è iniettiva:

 

5  

 

1

1  

∗   0

f =

   

3

  3

 

1

Per ottenere la fibra del vettore fornito è bastato applicare un’uguaglianza tra il vettore di uscita

e il vettore fornito, in questo modo trovo x , x , x che caratterizzano la fibra di f .

1 2 3

Osservazione: In generale la fibra è l’unione di tutte le controimmagini, quindi può avere più

elementi.

Osservazione: L’insieme di generatori di Imf è dato dalle colonne della matrice. Non si tratta di

un caso ma di un fatto generale. Nel caso però di colonne linearmente dipendenti, per ottenere

una base occorrerà eliminarne alcune. 6

Moscagiuri Pietro Analisi II

2.3 Esercizio 3

4 4

→

Sia F ; con matrice associata:

R R

α 

 −1

α 2 1

−1

1 2 α

  ∈

A = α parametro

R

α  

−1 −2

1 0

 

−1

0 1 0

1. Determinare basi di nucleo ed immagine dopo aver anche precisato per quali α F è invertibile

α

   

−

x αx + 2y z + t

−

y x y + 2z + αt

   

F =

α    

−x −

+ y 2z

z

   

−

t y z

4 2

→

2. Per α = 0, data G : con matrice associata

R R

1 0 1 2

B = −1

0 1 0

◦

trovare la matrice C associata a G F 0

. {0}

1) F è endomorfismo di quindi invertibile, dunque iniettiva e di conseguenza KerF =

R,

α α

(Si ricorda che per gli endomorfismi, iniettiva = suriettiva).

∈

Cerchiamo ora (x, y, z, t) KerF :

α

 

− −

αx + 2y z + t = 0 αz + 2z z + t = 0

 

 

 

− −z −

x y + 2z + αt = 0 z + 2z + αt = 0

 

=

−x − −z

+ y 2z = 0 x =





 

 

−

 

y z =0 y = z

a 6

Dalla 2 equazione otteniamo αt = 0,se α = 0 allora t = 0

a −αz → −

Dalla 1 equazione si ha + z = 0 (α 1)z = 0 

  

0 

 

 0 

 



6 → → →

Dunque se α = 0, 1, allora z = 0 = t x = y = 0 KerF = F è invertibile

α

α 



0

 



 

 0 



Se prendessimo α = 0 avremmo:

 z + t =0      

−a −1

x

 −z

x =



 

 0 = 0 y a 1



      

→ →

= = = a dim KerF = 1

y = z α

     

z a 1

−z

x =      



 −z

t =



 −a −1

t



 y = z 7

Moscagiuri Pietro Analisi II

−1),

La base di questo Ker è (−1, 1, 1, ma F = F non è invertibile!

α 0

 

−1

0 2 1

−1

1 2 0

 

A =  

−1 −2

1 0

 

−1

0 1 0 →

Le colonne di A generano ImF ma non possono essere linearmente indipendenti non sono

0 0

base −

dim ImF = 4 1 = 3

   

1 0

0 1 

  

e sono linearmente indipendenti (non sono proporzionali),



  

−1

0

   

0 0

 

2

−1

  è lin. indipendente perché è rappresentabile come combinazione lin. dei precedenti.

 

1

 

1 

 

  



 2

0

1 

 

 −1

1

0 

  



 

 , è base di ImF

, 0

 



 

 −1 1

0 

  



 

 

 1

0

0 



Nel caso in cui α = 1 l’elemento generico di KerF è:

1

     

−1 −1

x

y 1 1

     

→ → →

= z base di KerF dim KerF = 1 non invertibile

1 1

     

z 1 1

     

t 0 0 −

dim ImF = 4 1 = 3

1

 

−1

1 2 1

−1

1 2 1

 

A =  

−1 −2

1 0

 

−1

0 1 0

Le colonne 1,2,4 sono base di ImF .

1 4

6

Se α = 0, 1, allora F è suriettiva, dunque dim ImF = 4 rightarrow ImF = R

α α

Una base di ImF è data dalle 4 colonne della matrice.

α 8

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2) Basta calcolare il prodotto  

−1

0 2 1

−1 −1 −5

1 0 1 2 1 2 0 5 1

 

· ·

C = B A = =

0  

−1 −1 −2 −2

0 1 0 1 0 1 3 0

 

−1

0 1 0

Osservazione: 4 2

◦ →

G F : R R

0

Quindi la matrice C deve avere 2 righe e 4 colonne

◦ → ·

G F B A Prodotto matrici associate

0

3 Esercitazione 3

3.1 Esercizio 1

Determinare dim e base di }

V = Span{v , v , v , v

1 2 3 4

−1, −1, −1),

v = (1, 0, 0), v = (0, 1, 0), v = (0, 0, 1, v = (−1, 0, 0, 1)

1 1 1 1

La prima cosa da fare è esprimere i vettori come righe di una matrice, dopo di ceh applichiamo

le mosse di Gauss per renderere la matrice una matrice a scala:

    

  

−1 −1 −1 −1

1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0

−1 −1 −1 −1

0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0

    

  

' ' '

A =     

  

−1 −1 −1

−1 0 0 1 0 0 1 0 0 1

0 0 1

    

  

R +R R +R R +R

4 1 4 2 4 3