Primo parziale di matematica

Funzioni pari e dispari

Una funzione f: A → R con dominio A simmetrico rispetto all'origine si dice dispari quando per ogni x in A, -f(x) = f(-x).

Una funzione f: A → R con dominio A simmetrico rispetto all'origine si dice pari quando per ogni x in A, f(x) = f(-x).

Massimi e minimi locali

Un punto x tale che f(x) passa da crescente a decrescente nelle vicinanze di x è detto punto di massimo locale.

Un punto x tale che f(x) passa da decrescente a crescente nelle vicinanze di x è detto punto di minimo locale.

Massimi e minimi globali

Un punto x tale che f(x) > f(x') per ogni x' in A è detto punto di massimo globale e f(x) è detto valore massimo.

Un punto x tale che f(x) < f(x') per ogni x' in A è detto punto di minimo globale e f(x) è detto valore minimo.

Funzione inversa

Date due funzioni f e g, g è l'inversa di f se:

• g(f(x)) = x per ogni x in A
• f(g(z)) = z per ogni z in A

Esempio:

f(x) = x - 1; g(z) = z + 1

g(f(x)) = g(x - 1) = (x - 1) + 1 = x

f(g(z)) = f(z + 1) = (z + 1) - 1 = z

Se f assegna lo stesso valore y ad un punto distinto x = x',

cioè f(x) = y, allora |11 - o 0 dovrebbe assegnare x a y e non sarebbe una funzione. 1 0

Affinché una funzione abbia l'inversa: x = x => f(x) = f(x) | / 1 - 1 2 2x = x => f(x) = f(x) 1 2 2

- Iniettiva: ad ogni punto di A è associato uno e uno solo punto di B. Non iniettiva: più punti di A associano lo stesso punto di B. Sono invertibili solo le funzioni iniettive. Sono certamente invertibili le funzioni strettamente crescenti e decrescenti.

- Suriettiva: se l'insieme delle immagini è tutto R. - Biettiva: se è sia iniettiva sia suriettiva.

Funzioni elementari - polinomi

MONOMI O POTENZE AD ESPONENTE INTERO

f(x) = ax/

POLINOMI DI ° GRADO - RETTE

y = mx + q

Pendenza o coefficiente angolare (m): incremento dell'ordinata corrispondente ad un incremento unitario nell'ascissa.

Termine noto o intercetta (q): valore sull'asse delle ordinate attraversato dalla retta.

Retta verticale: pendenza negativa x = x'.

Retta orizzontale: pendenza positiva

y=y

Rette decrescenti: pendenza negativa.

Rette crescenti: pendenza positiva.

Domanda: dati 2 punti (x ,y ) e (x , y ) qual è l'equazione della retta passante per essi?

O 1 10k-mk mxi-q-f fj.XHK-MX.tlM 9-Funzioni complesse - Razionali fratte

IPERBOLI

f(x)=ax+b a,b,c,d=0cx+d TEE1- )Eldom(f)=R\ Centro di simmetria (C)=POTENZA AD ESPONENTE FRAZIONARIO

Bf(x)=ax (O,1) a RE'- rRadici dispariRadici pari ESPONENZIALI ✓f(x)=b b>1✗ .Se b>1 b>0 lim b=0✗/ ×g ✗- - oal lim b=+× °✗ +→ aÈ strettamente crescente e convessa.

Se B (0,1) b>0 lim b=-×E × •✗ no→ -lim b=0✗✗ +0→È strettamente decrescente e convessa.

Numero e: numero di nephero.È un numero irrazionale (non si può scrivere come frazione), ha delle applicazioni economiche per indicare il valore di un capitale in futuro.ne=lim(1+1/n)n tra-nn (1+1/n)21 Sequenza crescente di numeri2,252 2,44144 e8 LOGARITMICHE -Il logaritmo in base b

di un valore z e il valore y tale che: y = log_b(z) b = z

La logaritmica è l'inversa dell'esponenziale.

Il logaritmo naturale è la funzione inversa dell'esponenziale e.

y = ln(x) => e = x

FUNZIONE VALORE ASSOLUTO

Si definisce valore assoluto di un numero reale e si indica con |x| la seguente espressione:

1) x, x > 0

2) -x, x < 0

Proprietà:

1. Il valore assoluto di qualsiasi numero è > 0. |x| > 0

2. Il valore assoluto di un numero negativo è uguale al valore assoluto del suo opposto. |-x| = |x|

3. Il valore assoluto del prodotto di due numeri è uguale alla somma dei valori assoluti dei due numeri. |xy| = |x| + |y|

FUNZIONI TRIGONOMETRICHE

- La funzione f(x) = sin(x) è definita per ogni x ∈ ℝ, è periodica di periodo 2π ed è compresa tra -1 e 1.

- La funzione f(x) = cos(x) è definita per ogni x ∈ ℝ, è periodica di periodo 2π ed è compresa tra -1 e 1.

- La funzione f(x) = tan(x) = sin(x)/cos(x)

è definita per ogni x R, x= /2+k , k Z, èE ETI TIperiodica di periodo ed è ovunque crescente.

TI -avv Illimitata,Dispari Pari dispari,crescente

Estremi inferiore/superiore di un insieme

Intorno: punti che si trovano vicini ad un punto. Un intorno di un punto x è unqualsiasi intervallo che contiene x . Può essere aperto o chiuso.

4-8÷!È (4,8) Intorno centrato di 6. Il 6 è al centro.

[6,8] Intorno sinistro di 6.

[6,8] Intorno destro di 8.

Il minimo di un insieme è il più piccolo degli elementi di A.

m è il minimo di A <=> m<x e x AEMinorante: un qualsiasi elemento minore o uguale a tutti gli elementi di A.

l è minorante di A <=> l <xEsempio:- 62.

L’insieme di tutti i minoranti è [- , 2).✗Il massimo di un insieme è il più grande degli elementi di A.

EM è il massimo di A<=> M>A e M A

Due funzioni su R, la funzione ottenuta applicando prima g a qualunque numero x e successivamente f al risultato g(x) è la composizione di f e g.

h(x) = f(g(x)) = fog(x)

Esempi:

- f(x) = x+4, g(x) = x

fog(x) = f(x) = x+4

gof(x) = g(x+4) = (x+4) = x+8

a- f(x) = x+4, g(x) = 5x-12

fog(x) = f(5x-12) = (5x-12)+4 = 25x+10

gof(x) = g(x+4) = 5(x+4)-12 = 5x+8

dom(f) = R, dom(g) = R

dom(fog) = R, dom(gof) = R

Date due funzioni, per determinare il dominio della loro composizione si deve svolgere il seguente sistema:

f-x dom(g)

dom(fog) = g(x)

dom(f)

Esempio:

- f(x) = x-1, g(x) = x+1

fog(x) = f(x+1) = (x+1)-1 = x

gof(x) = g(x-1) = (x-1)+1 = x

dom(f) = R\{-1}, dom(g) = R\{1}

dom(fog) = R\{-1}, dom(gof) = R\{1}

1 x=1:

dom(fog) = g(x) = -1(x+1) = -1

dom(gof) = f(x) = x-1

x-1 = -1

x = 0

dom(fog) = R\{-1,0}, dom(gof) = R\{1,0}

1Ig(x)=-1 <=> x=0, x=1I 1dom(fog)= R\{-1,0,1}ix=-1dom(gof) f(x)=1x-1| =1x+11x-1: =1x+1x-1 2x-1-x-11 x=-1iI 1-1= =0=i -x+1 x+1 x+11f(x)=1 <=> x=-1/ /dom(fog)= R\{-1,1}Il Dominio di una funzioneRAZIONALI FRATTEf(x)y= g(x)Condizione: g(x)=0Esempio:y=4-5x"x+x-22 -2-1+3x+x-2=0 x= -1+ 1-4•(-2) .. =. =. 2 2 1.dom(f)= R\{-2,1}=(- ,-2)U(-2,1)U(1,+ )'' 'a oRADICE DI INDICI PARIy= f(x)noCondizione: f(x)>0Esempio: x>-2x+2>0y= x+2dom(f)=[-2,+ ) LOGARITMICHEy= log(f(x)) o y=ln(f(x))Condizione: f(x)>0Esempio:y=ln(x+1) x Rx+1 >0 x > -1I2 2 £2dom(f)=R Compostef(x) f(x) f(x)÷ eln(f(x))lng(x) g(x) ln(g(x))Esempi:1. y= x-4x+3 -3 2-2+ + +x+3=0 x=-3x=-3 -n -x-4 + + +n. x-4>0 x>2Ux<-2 d>0x+3 + +- -n/dd. x+3>0 x>-3dom(f)=(-3,-2]U[2,+ )oIl2. y=ln x-23-x 2 3+111 +-x=33-x=0 x=3 n -+ +x-2 n. x-2>0 x>2 d>03-x +- -n/dd. 3-x>0 x<3dom(f)=(2,3)A"3. y= log 1+1x{ 1+1 >0/ /x "log 1+1 x>0A 1 + 1 > 1

<=> 1 > 0e > elog 1+1 >0 x ' ''x x x-1 0' 01+1 >0 <=> x+1 >0 x>-1/ /I | +--x nx -11 0- ++d 0+-+n/dsoluzioni = (- ,-1)U(0,+ )noo dom(f)=(0,+ )nox-54. y= eln(x-6) 5•Il x>5x-5>0 6x>6x-6>0 7ln(x-6)ln(x-6)=0 e = e x-6=1 x=70 6 7dom(f)=(6,7)U(7,+ )0 SOMMA O DIFFERENZA DI RADICIy= f(x) + g(x)Condizione: f(x)>0; g(x)>0Esempio: - x-1y= x+2x /22x-1"÷I x=1x-1=0 x<-1Ux>0x-1>0 . -2x+2x >0 x=-2+2x+2x=02 n. x+2x>0 x<-2Ux>02zx-1 2 0x>1d. x-