Primo parziale di matematica

Università degli Studi dell’Insubria - Economia e Management

Prof Elisa Mastrogiacomo

Primo

parziale

matematica

Argomenti Pag. 4

1. INSIEMI: - Definizione, insiemi uguali, sottoinsiemi

- Operazioni tra insiemi: intersezione, Unione, differenza Pag. 5

2. SPAZI EUCLIDEI: - Retta, piano cartesiano, spazio, dimensioni Pag. 6

superiori

3. VETTORI: - Operazioni: somma e differenza, moltiplicazione e Pag. 7

divisione, prodotto per scalare

- Distanze nel piano cartesiano: tra punti, tra vettori Pag. 8

- Norma, prodotto scalare o interno Pag. 9

- Combinazioni lineari Pag. 10

- Lineare dipendenza e indipendenza Pag. 11

4. MATRICI: - Definizione, operazioni: somma Pag. 13

- Operazioni: prodotto per scalare, moltiplicazione Pag. 14

Pag. 15

- Tipi di matrici: matrice identità, matrice trasposta

- Tipi di matrici: matrice triangolare superiore, Pag. 16

matrice triangolare inferiore, matrice simmetrica

- Tipi di matrici: matrice inversa (e determinante) Pag. 17

5. SISTEMI LINEARI: - Struttura matriciale di un sistema lineare Pag. 21

- Matrice completa, insieme determinato, Pag. 22

indeterminato, impossibile

- Calcolo delle soluzioni di sistemi determinati Pag. 24

e indeterminati Pag. 28

6. FUNZIONI: - Definizione, grafico, intervalli

- Caratteristiche: strettamente crescente e Pag. 29

crescente in senso lato, strettamente

decrescente e decrescente in senso lato,

concava e convessa

- Caratteristiche: pari e dispari; massimi e minimi: Pag. 30

locali, globali

6. FUNZIONI: - Funzione inversa Pag. 31

- Funzioni elementari: monomi o potenze ad Pag. 32

esponente intero, rette Pag. 33

- Funzioni complesse: iperboli, potenza ad esponente

frazionario, esponenziali

- Funzioni complesse: logaritmiche Pag. 34

- Funzioni complesse: valore assoluto e logaritmiche Pag. 35

- Valori fondamentali delle funzioni trigonometriche, Pag. 36

estremi inferiore/superiore di un insieme

- Estremi inferiore/superiore di una funzione Pag. 37

- Composizione di funzioni Pag. 38

- Dominio di una funzione: razionali fratte, radice Pag. 40

di indici pari, logaritmiche Pag. 41

- Dominio di una funzione: composte

- Dominio di una funzione: somma o differenza Pag. 42

tra radici

- Dominio di una funzione: valore assoluto; segno Pag. 43

di una funzione: razionali fratte Pag. 44

- Segno di una funzione: prodotto di potenze ed

esponenziale, con radici, con esponenziali Pag. 45

- Segno di una funzione: con logaritmo; successioni:

limiti di successioni Pag. 47

- Successioni: proprietà dei limiti; insiemi aperti/chiusi

- Punti interni, esterni e di frontiera di un insieme Pag. 48

Pag. 49

7. LIMITI: - Limiti di funzioni Pag. 53

- Proprietà dei limiti

Per ogni

ti Se e solo se; è equivalente

<

I Implica

Esiste Insiemi

Definizione

Concetto primitivo: collezione di oggetti.

Gli insiemi sono indicati con lettere maiuscole (A, B, C..).

Gli elementi contenuti sono indicati con lettere minuscole (a, b, c..).

a A se è un elemento dell’insieme.

E

0 Insieme privo di elementi, duplice natura (elemento e insieme).

Insiemi uguali

Hanno gli stessi elementi, non importa l’ordine.

A=B

A={a,b,c,d} B={c,a,d,b}

Sottoinsiemi

Un insieme A è sottoinsieme di B se ogni elemento di A è anche elemento di B.

te

A B<=> b A e b B

E

E

B .a A

.b

.c .d

0 è sottoinsieme di tutti gli insiemi.

E

Se A B, ma B=A, allora A e sottoinsieme proprio di B: A B.

C

Operazioni tra insiemi

Intersezione

L’intersezione è l’insieme degli elementi comuni tra due o più insiemi.

C=A B

n E

E

C={v|v A e v B} B

A UNIONE

L’unione è l’insieme formato dai soli elementi di A, dai soli elementi di B e dagli

elementi comuni di A e B.

C=AUB E

C={v|v A o v B}

C- B

A DIFFERENZA

La differenza tra due insiemi è un insieme che contiene elementi di A, ma non di B.

A B C=A\B E ¢

C={v|v A ma v B}

¢

C=A\B{a A|a B}

C-

Spazi euclidei

1. Retta

Una dimensione, R.

Insieme degli oggetti geometrici piu semplici: i punti.

0 1 2

-2

-3 -1 3

1/2 2

r

Numeri interi negativi Numeri interi positivi

Numeri razionali

2. Piano cartesiano 2

)

y.at?2 Due dimensioni, R.

Insieme di coppie di numeri (x e y).

✗ 2

R:={(x ,x ):x R e x R}

€ £

1- 2 <

3. Spazio

y 3

Tre dimensioni, R.

Insieme di terne.

- ✗ 3

R:={(x ,x ,x ):x ,x ,x R}

3€

1- 3 2

1

2

Z

4. Spazi di dimensioni superiori

n

Piu dimensioni, R.

Si tratta di spostamenti: vettori.

R:={(x ,x ,…,x ):x ,x ,…,x R}

h M€

1 2

1- n

2

Algebra dei ve!ori

Operazioni in R 2

SOMMA (E DIFFERENZA)

(-1,2,1)+(0,2,1)=(-1,4,2)

(1,3)+(2,1)=(3,2) (2,2,3,4)+(-1,0,2,3)=(1,2,5,7)

\ Proprietà commutativa e associativa.

(x , x , . , x )+(y , y , . , y ) = (x + y , . , x + y )

2

1 1 1-

1

n n

2 n

n

MOLTIPLICAZIONE (E DIVISIONE)

Non si possono effettuare.

(1,0)(2,0)=(0,0)

Prodotto per scalare

Se r è uno scalare (numero reale) e x è un vettore, allora il prodotto per scalare

r•x=(rx ,rx , . ,rx )

1- 2 n

Proprietà distributiva.

Esempi: 1/2(-4,2)=(-2,1)

2(1,1)=(2,2) 4,21

1- 1-2,1

)

12,2 )

(1,1

)

Distanze nel piano cartesiano

tra due punti P

Q

P Q ,

p

. Obliqua

Orizzontale Verticale

P=(1,2); Q=(2,2) P=(1,3); Q=(3,3)

P=(1,2); Q=(1,3)

||PQ||, mi

d(P,Q)=|1-1|=1 ||PQ||, d(P,Q)= (1-3)+(3-3)=

||PQ||, d(P,Q)=|3-2|=1

/ ✓

= 4=2

È sempre un numero positivo.

TRA VETTORI

Considerando x,y R, con x=(x ,x ,..,x ) e y=(y ,y ,..y ), la loro distanza si calcola nel

E 1 2 n 1 2 n

seguente modo:

||P,Q||, d(P,Q)= (x -y )+(x -y )+..+(x -y )

< 2 "

n n

2

1 2

1-

Esempio:

x=(1,-1,0,3); y=(-1,-1,1,2)

2

d(P,Q)= (1+1)+(-1+1)+(0-1)+(3-2)= 4+0+1+1= 6

2

2

2

Proprietà: V-E Se d(x,y)=0 allora x=y

d(x,y)>0 x,y R

"

- Non negatività: è sempre positiva. -

tre

- Simmetria: d(x,y)=d(y,x) x,y R

.

- Disuguaglianza triangolare: considerando la distanza tra due vettori, essa sarà

sempre minore o uguale alla somma delle due distanze (uguale se la distanza è 0).

tre

x,y R

d(x,y)<d(x,z)+(z,y) "

Norma di un vettore

La norma di un vettore è la distanza del vettore dall’origine, il vettore nullo. È detta

anche lunghezza del vettore: segmento che congiunge x con l’origine.

||x-0||= (x -0)+(x -0)+..+(x -0)= x +x +..+ x

2

2 2 2 2

2

3

1 2 1 h

2

<

Se x R, allora ||x||= x +x

€ 2 2

1- 2

Proprietà: V-E

x,y R , ||x|| >0

- Non negatività: è sempre positiva. Se ||x||=0 allora x=0

" -

- Disuguaglianza triangolare: considerando la somma tra due vettori, la norma del

loro vettore somma sarà sempre minore o uguale alla somma delle due norme

(uguale quando i vettori sono allineati).

||x+y||<||x||+||y||

- Calcolare la norma del prodotto per scalare di r per x è come calcolare la norma

di x e moltiplicarla per r.

t.cn

x, r R

||rx||=|r| ||x||

Verifica:

rx=(rx ,rx ,..,rx )

1 n

2

||rx||=||(rx ,rx ,..,rx )||= (rx ), (rx ),..,(rx )= r x ,x ,..,x =|r| ||x||

"

'

" ! !

! .

1- 1

n a n

a

Esempio:

Calcolare la norma in R di x=(1,-2,3) e -2x

||x||= 1+4+9= 14

-2x=2 14 P rodotto scalare o interno

Modi per indicarlo: x y; <x,y>

agg n

Siano x e y due vettori in R, il prodotto scalare è un numero reale:

<x,y>=x y +x y +..+x y

2

1

2

1

1

1

Esempio:

x=(4,-1,2); y=(6,3,-4)

<x,y,>=24-3-8=13

Non è una vera e propria moltiplicazione perché il risultato è un nu,ero che non sta

nell’insieme di partenza.

Proprietà:

- Commutativa.

- Distributiva.

- Associativa.

- Moltiplicando x per se stesso si ottiene il quadrato della norma ed è >0. 2

x=||x||>0

2

-

- Se moltiplicando x per se stesso si ottiene 0, allora x è 0: x=0<=>x=0

- Sommando due vettori e moltiplicando le loro somme si ottiene il doppio

prodotto.

(x+y)(x+y)=x+y+2xy

- Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz: il modulo del prodotto tra due vettori è minore

rispetto al prodotto delle norme dei vettori.

|xy|<||x|| ||y|| Combinazioni lineari

n

Considerando k vettori in R e k numeri reali, la combinazione lineare è un vettore

che va a formarsi moltiplicando ogni vettore per il corrispondente numero reale.

K

x= c x=c x +c x +..+c x

i 1 1 2 2

' nn

e

l' =L

Esempio:

z=(2,-5,4) è combinazione lineare di x =(1,-2,3) e x =(0,-1,-2) con coefficienti c =2 e

1-

c =1. Infatti:

/

2

(2,-5,4)=2(1,-2,3)+1(0,-1,-2)=(2,-4,6)+(0,-1,-2)=(2,-5,4)

E

Un qualsiasi vettore x R è combinazione lineare dei vettori detti base canonica:

"

e =(1,0,..,0); e =(0,1,..,0); e =(0,0,..,1)

1- 2 n

Verifica:

x=(x ,x ,..,x )=(x ,0,..,0)+(0,x ,..,0)+(0,0,..,x)= x (1,0,..,0)+x (0,1,..,0)+..+x (0,0,..,1)=x e +

1 1

1 2 n

2

2

n 1 1

h

K

+x e +..+x e = x e

"

1

2 2 h

h l' =L I vettori e ,e ,.., e generano R.

n

3

1- 2

Lineare dipendenza e indipendenza

n

Considerando k vettori in R, sono linearmente dipendenti quando esistono dei

coefficienti c ,c ,..,c che sono non tutti nulli, in modo tale che la combinazione lineare

2 h

1 risulti 0.

c v +c v +..+c v = 0

11 2 n

2 n

Considerando k vettori in R, sono linearmente indipendenti quando l’unica

combinazione lineare che dà come risultato 0 è quella che si ottiene quando tutti i

coefficienti sono nulli.

c v +c v +..+c v = 0

2

1- 1 nn

2 <=>

c ,c ,..,c =0

1 2 n

Esempi:

- La base canonica forma un insieme di vettori linearmente indipendenti.

c e +c e +..+c e = 0 <=> c ,c ,..,c =0

1 2

1- n

2

1 n

2 n

- I vettori w=(1,2,3); w=(4,5,6); w=(7,8,9) sono linearmente dipendenti.

c =1; c =-2; c =1

/ /

3

1- 2

K 1(1,2,3)+(-2)(4,5,6)+1(7,8,9)=0

x= c w=

i

i

l' =L

K

x= c w= (1,2,3)+(-8,-10,-12)+(7,8,9)=0

i

i

l' =L

(0,0,0)=0 2

Se due vettori sono linearmente indipendenti, sono generatori di R.

Siano v ,v ,.., v vettori in R, una base di R è un insieme di vettori tali che:

h

1- 2 n

- Sono linearmente indipendenti.

- Generano R.

n n

TEOREMA: Ogni base di R è formata esattamente da n vettori.

Matrici

Definizione

Una matrice è una tabella di numeri a doppia entrata.

Si usa k per indicare le righe e n (o m) per le colonne.

k•n è una matrice generica.

L’elemento di una matrice si indica con i per la riga e j per la colonna.

)

3 3

( ) (

1- 1 2

2 5 6

6

5 4

A- B- ga

sa

+

Gass 101112

8=232

Operazioni

ADDIZIONE e sottrazione

Tra matrici della stessa dimensione.

desideri )

:?)

( barbari ben

•

B- :b

? !

a- ? a "

" :

rdkn

Ak

bkabkibknautb.ae

aka : rdantban

rtbaa

( )

• • •

ATB Fariba

fatto

aatbaa

- •

• •

;« :

: :

dkatbkadkztb.kz rdkntbkn

• • • -113=(1-2121)

8

¢

-107

1)

( ) 4

34 1 2

670 5

B-

A- a

-170 -2108

8

-13 Proprietà associativa e commutativa.

?⃝ 3 =P °

) )

a-foz.rs

2

1- A+B non si può fare perché sono

☐ 4

1- di dimensioni diverse.

La matrice con tutte le entrate nulle è l’elemento neutro, somm