Matematica, Formulario Primo parziale

Le strutture

Un insieme è una collezione di oggetti (elementi dell’insieme) di natura qualsiasi.

Descrizione degli insiemi

Gli insiemi possono essere descritti per elencazione o indicandone una loro proprietà. Due insiemi si dicono uguali quando hanno gli stessi elementi. Due insiemi si dicono diversi quando almeno un elemento di un insieme non appartiene all'altro. Dati due insiemi, si dice che un insieme è un sottoinsieme dell'altro quando gli elementi del primo sono anche elementi del secondo. Un insieme { } è un insieme proprio, oppure è contenuto strettamente in un altro insieme. Inoltre, è un sottoinsieme proprio. È contenuto o è uguale a un altro insieme.

L’insieme vuoto, indicato con {}, è l’insieme privo di elementi. L’insieme ambiente di un insieme è indicato con {}. Indica il complementare di un insieme rispetto a un altro. Se i due insiemi sono disgiunti, si indica con {}.

Operazioni con gli insiemi

• Unione: Dati due insiemi, la loro unione è l’insieme di tutti gli elementi che appartengono ad almeno uno dei due insiemi.
• Intersezione: Dati due insiemi, la loro intersezione è l’insieme di tutti gli elementi che appartengono a entrambi i due insiemi. Le operazioni di unione e intersezione sono commutative, associative e distributive.
• Differenza: Dati due insiemi, la loro differenza è l’insieme di tutti gli elementi che appartengono al primo ma non al secondo insieme. Si può scrivere come: {}.

Leggi di de Morgan: Il complementare dell’unione di due insiemi è uguale all’intersezione dei complementari degli insiemi stessi. Il complementare dell’intersezione di due insiemi è uguale all’unione dei complementari degli insiemi stessi.

Insiemi numerici

• Insieme dei numeri naturali N: { } (è infinito)
• Insieme dei numeri relativi Z (interi): { } (è infinito)
• Insieme dei numeri razionali Q: { }

Proprietà:

• Densità: Tra due numeri razionali ci sono infiniti numeri razionali.
• Non è in corrispondenza biunivoca con la retta orientata.

• Insieme dei numeri reali R: { }

Proprietà:

• Densità: (ereditata dal Q)
• È in corrispondenza biunivoca con la retta orientata.

N.B. Particolari sottoinsiemi di R: gli intervalli

• Intervallo chiuso e limitato: [ ] { | }
• Intervallo aperto e limitato: { | }
• Intervallo limitato: { | }:[
• Intervallo chiuso illimitato superiormente: { | }
• Intervallo aperto illimitato superiormente: { | }]
• Intervallo chiuso illimitato inferiormente: { | }
• Intervallo aperto illimitato inferiormente: { | }

Valore assoluto di un numero reale

Il valore assoluto di un numero reale x, indicato con |x|, è definito come:

• Proprietà della non negatività: |x| ≥ 0
• Simmetria: |x| = |-x|
• Disuguaglianza triangolare: |x + y| ≤ |x| + |y|

Interpretazione geometrica: il valore assoluto rappresenta la distanza di un punto di ascissa x dall’origine della retta orientata. I punti con ascisse opposte hanno la stessa distanza dall'origine.

La distanza

La distanza tra due punti di ascissa x e y, indicata con d(x, y), è uguale al valore assoluto della differenza delle due ascisse: |x - y|.

Proprietà:

• Proprietà della non negatività: d(x, y) ≥ 0
• Simmetria: d(x, y) = d(y, x)
• Disuguaglianza triangolare: d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)

Intorno di un punto

Si dice intorno di un punto x di centro x e di raggio r, indicato con I(x, r), l’insieme definito da: {y | |y - x| < r}

Insieme convesso

Un insieme si dice convesso se per ogni coppia di punti appartenenti all'insieme, la combinazione lineare dei punti con pesi (coefficients) non negativi e con somma 1 appartiene all'insieme. N.B. In R, gli unici insiemi convessi sono gli intervalli.

Le funzioni

Funzione

Dati due insiemi A e B qualsiasi, una funzione definita su A e a valori in B, indicata con f, è una relazione (regola) che associa a ogni elemento di A uno e un solo elemento di B.

Insieme immagine

Data una funzione f, l’insieme immagine di A secondo la funzione f, indicato con Im(f), è definito da: {f(x) | x ∈ A}

Controimmagine

Sia f una funzione, dato un punto y, la sua controimmagine, indicata con f⁻¹(y), è l’insieme degli elementi del dominio che hanno come immagine y: {x ∈ A | f(x) = y}

Grafico

Il grafico di una funzione è l’insieme: {(x, f(x)) | x ∈ A}, quindi è un sottoinsieme proprio del piano.

Funzioni iniettive, suriettive, biettive

• Iniettività: Dati due insiemi A e B, una funzione f si dice iniettiva se a elementi distinti di A associa elementi distinti di B. Per verificare la non iniettività di f si usa il test della linea orizzontale.
• Suriettività: Dati due insiemi A e B, una funzione f si dice suriettiva se per ogni y appartenente a B, esiste almeno un x tale che f(x) = y.
• Biettività: Dati due insiemi A e B, una funzione f si dice biettiva se è sia iniettiva che suriettiva.

Funzioni limitate

Data una funzione f, è detta:

• Superiormente limitata: se esiste un valore M tale che f(x) ≤ M per ogni x ∈ A.
• Inferiormente limitata: se esiste un valore m tale che f(x) ≥ m per ogni x ∈ A.
• Limitata: se è limitata sia superiormente che inferiormente.

Funzioni monotone

• Funzione crescente: Data una funzione f, si dice strettamente crescente se, comunque scelti due valori x₁ e x₂ appartenenti ad A, con x₁ < x₂, allora f(x₁) < f(x₂).
• Funzione decrescente: Data una funzione f, si dice strettamente decrescente se, comunque scelti due valori x₁ e x₂ appartenenti ad A, con x₁ < x₂, allora f(x₁) > f(x₂).

Punti di massimo e minimo

• Punto di massimo globale: Data una funzione f, un punto x̅ si dice punto di massimo globale se f(x̅) ≥ f(x) per ogni x ∈ A.
• Punto di minimo globale: Data una funzione f, un punto x̅ si dice punto di minimo globale se f(x̅) ≤ f(x) per ogni x ∈ A.
• Punto di massimo locale: Data una funzione f, un punto x̅ si dice punto di massimo locale se esiste un intorno I di x̅ tale che f(x̅) ≥ f(x) per ogni x ∈ I ∩ A.
• Punto di minimo locale: Data una funzione f, un punto x̅ si dice punto di minimo locale se esiste un intorno I di x̅ tale che f(x̅) ≤ f(x) per ogni x ∈ I ∩ A.

Funzioni concave e convesse

• Funzione convessa: Data una funzione f, dove A è un intervallo convesso, si dice convessa se per ogni x₁, x₂ ∈ A e per ogni λ ∈ [0, 1], f(λx₁ + (1-λ)x₂) ≤ λf(x₁) + (1-λ)f(x₂).
• Funzione strettamente convessa: Se per ogni x₁ ≠ x₂, si ha f(λx₁ + (1-λ)x₂) < λf(x₁) + (1-λ)f(x₂), allora la funzione è strettamente convessa.
• Funzione concava: Data una funzione f, dove A è un intervallo convesso, si dice concava se per ogni x₁, x₂ ∈ A e per ogni λ ∈ [0, 1], f(λx₁ + (1-λ)x₂) ≥ λf(x₁) + (1-λ)f(x₂).
• Funzione strettamente concava: Se per ogni x₁ ≠ x₂, si ha f(λx₁ + (1-λ)x₂) > λf(x₁) + (1-λ)f(x₂), allora la funzione è strettamente concava.

Funzioni uguali

Date due funzioni f e g con domini A e B, le funzioni f e g si dicono uguali se e solo se: f(x) = g(x) per ogni x ∈ A ∩ B.

Algebra delle funzioni

• Moltiplicazione della funzione per uno scalare:
• Funzione somma/differenza di f e g:
• Funzione prodotto di f e g:
• Funzione quoziente di f e g: (f/g) (x) = f(x) / g(x), g(x) ≠ 0
• Combinazione lineare di f e g: con pesi a e b: af(x) + bg(x)

Funzioni composte

Siano A, B, C e D quattro insiemi qualsiasi, f: A → B e g: B → C sono funzioni, allora la funzione composta g∘f: A → C è definita da (g∘f)(x) = g(f(x)) per ogni x ∈ A.