Matematica, Formulario Primo parziale

Consideriamo una successione . Se esiste ed è diverso da 0 il limite di per n che

tende positivamente a infinito, allora esiste una posizione tale che ha lo stesso

segno di n per ogni . 26

Teorema del confronto

{ } } { }

Siano tre successioni ,{ e dove

Se definitivamente vale che , allora

Simbolo di “o-piccolo” e “asintotico”

{ } { }

Consideriamo due successioni e con definitivamente.

{ } { }

o Se allora si dice che è trascurabile rispetto a .

In simboli, si legge

è un o-piccolo di .

La relazione di trascurabilit è transitiva

{ }, { } { }

o Se con l allora si dice che sono dello

stesso ordine di grandezza.

In simboli, si legge è

asintotico a .

{ } { }

o Se allora si dice che e

sono asintotiche per .

In simboli,

Algebra dell’o-piccolo

o

o 27

Equivalenza asintotica

Se e per , allora:

o

o con

Limiti fondamentali

{

o ,

{

o {

o

Infiniti e infinitesimi { } { }

Consideriamo due successioni e tali che :

{ } { }

o Se e sono infinitesimi, ossia se , allora

{ }

verrà letto è un infinitesimo di ordine superiore

{ }

rispetto a .

{ } { }

o Se e sono infiniti, ossia se , allora

{ }

verrà letto è un infinitesimo di ordine inferiore

{ }

rispetto a .

Scala di infiniti

{ }

1. { }

2. con in ordine decrescente di base

{ }

3. con in ordine decrescente di esponente

{ }

4. con in ordine decrescente di esponente

28

Scala di infinitesimi

{ }

1. { }

2. con in ordine crescente di base

{ }

3. con

{ }

4. con

Successioni di vettori { }

Una successione di vettori , è una successione in cui ogni

componente del vettore è una successione reale.

‖ ‖

N.B. se e solo se per .

Somme di numeri reali

La somma di numeri reali si può scrivere in forma compatta usando il simbolo di

sommatoria. Il numero dei termini che

∑ viene sommato si trova

facendo estremo sup –

estremo inf + 1.

o Proprietà: ∑ ∑

∑ ∑ ∑

[ ]

∑ ∑ ∑

o Somme particolari: ∑

Somma si termini in progressione geometrica di ragione :

∑

29

Serie numerica { } ∑ { }

La serie di una successione di reali , indicata con , è la successione definita da

I termini della successione delle somme parziali (o ridotte) associate alla serie.

∑

La serie si dice:

o Convergente con somma S quando ∑

Si scrive

o Divergente positivamente (o negativamente) quando

∑

Si scrive

o Irregolare o oscillante quando 30

Serie notevoli

o Serie di Mengoli

∑ { { {

uindi

Quindi, ∑ ∑[ ]

∑[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

uindi

uindi la serie converge con somma .

31

Serie geometrica ∑

Una serie del tipo si dice serie geometrica di ragione .

Il carattere di una serie geometrica dipende dal valore di .

∑ {

Dimostrazione

Identifichiamo il termine generale della successione delle somme parziali (o ridotte) associate

alla serie. ∑

∑ ∑

{ } ∑

2 ∑ ∑ [ ]

2 [ ] ∑

32

| |

2.2 [ ] ∑

2

N.B. Somma di termini in progressione geometrica con primo termine 1 ( ) e di

ragione . ∑

Identifichiamo due casi:

o Se ∑ ∑

o Se

Moltiplichiamo entrambi i membri per .

ra sottraiamo membro a membro le due equazioni precedenti

Semplifichiamo i termini opposti

iassumendo

∑ { 33

N.B. ∑

1. Se e la una serie converge, ha somma:

| |

{

∑ | |

{ {

Serie armonica generalizzata

Una serie del tipo ∑

con si dice serie armonica generalizzata.

Il carattere di questa serie dipende solo da .

∑ {

Proprietà di una serie

o ∑ ∑

o Additività ]

∑[ ∑ ∑

34

Condizione necessaria per la convergenza

∑

Se la serie converge, allora il termine generale converge a 0 per .

∑

Il teorema rappresenta una condizione necessaria ma non sufficiente, quindi:

∑

Serie a termini non negativi

∑

Una serie con termine generale sempre maggiore o uguale a 0 per si dice

serie a termini non negativi.

Teorema di regolarità

Una serie a termini non negativi è regolare (converge o diverge).

N.B { }

Il termine generale della successione delle somme parziali associata alla serie di può

definire per via ricorsiva.

{

ediamo che se la legge di ricorrenza { }

ossiamo avere due casi

{ }

o è limitata superiormente

{ } ∑

converge a S per , quindi è convergente con somma S.

{ }

o è illimitata superiormente

{ } ∑

diverge a per , quindi è divergente positivamente.

35

Criterio di convergenza del confronto

∑ ∑

Siano due serie e con termini generali non negativi. Se , allora:

∑ ∑

o Se converge, allora converge.

∑ ∑

o Se diverge, allora .

Criterio di convergenza del confronto asintotico

∑ ∑

Siano due serie e con termini generali non negativi. Se ,

allora le due serie avranno lo stesso carattere.

Serie assolutamente convergente

∑ ∑ | |

Una serie si dice assolutamente convergente quando la serie converge.

Teorema della convergenza assoluta

∑ | | ∑

Se converge, allora converge.

36

6 – I limiti e funzioni continue

Limiti bilaterali

o Limite finito

Consideriamo una funzione e un punto di accumulazione per . Si

scrive se per ogni intorno esiste un intorno tale

che:

o Generalizzazione

Consideriamo una funzione e un punto di accumulazione per . Si

scrive se per ogni intorno esiste un intorno tale

che:

Limiti unilaterali

o Limite destro

Consideriamo una funzione e un punto di accumulazione per . Si

scrive se per ogni intorno esiste un intorno destro

[ tale che:

o Limite sinistro

Consideriamo una funzione e un punto di accumulazione per . Si

scrive se per ogni intorno esiste un intorno sinistro

] tale che: 37

Esistenza del limite bilaterale

Consideriamo una funzione e un punto per il quale esiste un intorno

{ }

tale che . Risulta

se e solo se

Asintoti verticali e orizzontali

Consideriamo una funzione e un punto di accumulazione per .

Se vale almeno una delle seguenti condizioni:

allora la retta di equazione è detta asintoto verticale per .

Se invece:

allora la retta di equazione è detta asintoto orizzontale per

Teorema dell’unicità del limite

Consideriamo una funzione e un punto di accumulazione per . Esiste al

più un valore tale che

Teorema della permanenza del segno

Consideriamo una funzione e un punto di accumulazione per . Se esiste

ed è diverso da zero il limite , allora esiste un intorno tale che

{ }

Teorema del confronto

Consideriamo tre funzioni e un punto di accumulazione per .

Se per e

allora 38

Limiti notevoli

o quindi

o

o quindi quindi

( )

o Generalizzazione: ( )

o Generalizzazione:

o quindi

o

o quindi

o Generalizzazione:

uindi 39

Ordini di convergenza e di divergenza

Consideriamo e un punto di accumulazione per per il quale esiste un

intorno tale che

o Se

allora è trascurabile rispetto a Si scrive:

La relazione di trascurabilit è transitiva

o Se

allora e sono dello stesso ordine di grandezza. Si scrive:

o Se

allora è asintotica rispetto a . Si scrive:

La relazione di asintotico è simmetrica e transitiva

o N.B. Scrivere per significa che la funzione tende a 0 per .

40

Infiniti e infinitesimi

Consideriamo e un punto di accumulazione per tale che

o Se le due funzioni sono entrambe infinitesime per ,

( , allora si leggerà:

è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a per per .

o Se le due funzioni sono entrambe infiniti per ,

( , allora si leggerà:

è un infinitesimo di ordine inferiore rispetto a per per .

Scala di infiniti

o

o

o

Scala di infinitesimi

o

o

o 41

Funzione continua

Una funzione si dice continua in un punto , dove è un punto di

accumulazione per , se

Per convenzione la funzione è continua in ogni punto isolato di .

N.B. Le funzioni elementari sono continue dove sono definite (dominio naturale).

Punti di discontinuità

o Un punto si dice punto di discontinuità a salto (non eliminabile) per la funzione

quando, per che tende a , il limite destro e il limite sinistro di sono entrambi

finiti ma diversi tra loro (quindi DEVONO esistere).

uindi il limite per non esiste.

La differenza tra il limite destro e il limite sinistro si chiama salto della funzione .

o Un punto si dice punto di discontinuità infinita (non eliminabile) per la funzione

quando, per che tende a , almeno uno dei due limiti, destro o sinistro, di

è infinito oppure non esiste.

o Un punto si dice punto di discontinuità (eliminabile) per la funzione quando

esiste ed è finito ma

La funzione a cui viene aggiunto il punto , eliminando così la discontinuità, si chiama

prolungamento di per continuità.

Teorema di Weierstrass

Sia una funzione continua in , con insieme compatto. Allora essa assume,

in tale insieme, il massimo assoluto e il minimo assoluto.

Hp: continua compatto

Th:

(Se non vale il teorema, allora non è garantita la presenza del massimo e del minino, ma

non è detto che non ci siano). 42

Teorema dei valori intermedi

[ ] [ ].

Sia una funzione continua in un intervallo limitato e chiuso Indichiamo

con [ ] [ ]

er

Se è strettamente monotona è unico.

Teorema di esistenza degli zeri (di Bolzano)

[ ] [ ].

Sia una funzione continua in un intervallo limitato e chiuso Se negli

estremi di tale intervallo assume valori di segno opposto, allora esiste almeno un punto ,

interno all’intervallo, in cui si annulla.

[ ] [ ] |

Hp: continua in Th:

Se è strettamente monotona è unico.

(Se non vale il teorema, allora non è garantita la presenza dello zero, ma non è detto che

non ci sia).

Limiti di funzioni scalari in variabili reali

Consideriamo una funzione e un punto di accumulazione per . Si

( )

scrive se per ogni intorno esiste un intorno tale che:

( ) ( )

N.B. Per il limite di converge a un valore se e solo se per ogni traiettoria di

avvicinamento a otteniamo lo stesso risultato .

Se, per , non tende allo stesso valore per due traiettorie di avvicinamento

diverse, allora non esiste il limite di per

Limiti fondamentali

o ponendo

Così pe