Nozioni di Insiemistica: Appunti di Analisi matematica II

L'insieme è costituito da elemnti e si indica gli elementi con la lettera minuscola.

x ∈ A appartiene x ∉ A non appartiene

Scrivere un insieme: A: x | x verifica una proprietà { }

INSIEMI NUMERICI

N = numeri naturali {0, 1, 2...}

Z = numeri interi con in panchina "±0" "-1, 0, ±1, ±2, ..."

Q = {p/q tali che p, q ∈ Z, q ≠ 0} numeri razionali

R = x | x è un allineamento decimale"> numeri reali

C = z = x + iy {x, y ∈ R i = √-1 unità immaginaria} numeri complessi

Questi numeri sono ∞.

Abbiamo due insiemi A, B: diciamo che A è un sottoinsieme di B: A ⊆ B => ogni elemento di A è anche elemento di B. Si può anche scrivere B ⊇ A

∀ per ogni ∃ e un quantificatore logico => implica implica azione <=> equivale P <=> Q vale se vale solo se Q è vera e viceversa

Ex: A ⊆ B <=> ∀x (x ∈ A) => (x ∈ B)

L’insieme è costituito da elementi e si indica gli elementi con la lettera minuscola.

A ∈ A APPARTIENEA ∉ A NON APPARTIENE

Descrivere un insieme:

A: {X | X verifica una proprietà}

INSIEMI NUMERICI

N = numeri naturali {0, 1, 2, ...}

Z = numeri interi con n positivo ... -2, -1, 0, +1, +2, ...

Q = {P/q | tali che P, q ∈ Z , q ≠ 0} NUMERI RAZIONALI

R = {X | X è in un allineamento decimale} NUMERI REALI

C = {Z = X + iY | X, Y ∈ R con i = √(-1) unità immaginaria} NUMERI COMPLESSI

Questi insiemi sono Co

Abbiamo due insiemi A, B: Diciamo che A è un SOTTOINSIEME di B: A ⊆ B ⇒ ogni elemento di A è anche elemento di B Si può anche scrivere B ⊇ A

∀ = per ogni è un quantificatore logico

⇒ = implica implicazione

⇔ sequale P⇔Q vale P è vera solo se Q è vero e viceversa

ESEMPIO: A ⊆ B ⇔ ∀ x (x ∈ A) ⇒ (x ∈ B)

Due insiemi si dicono uguali se hanno gli stessi elementi.

A = B <=> (∀ x, x ∈ A <=> x ∈ B)

Se vogliamo dire che:

A è un sottoinsieme proprio di B, ciò che esistono elementi di B che non appartengono ad A, allora si scrive: A ⊂ B ^ A ≠ B

“Esiste almeno uno”

A ⊂ B <=> (∀ x ∈ A, x ∈ B) e (∃ x ∈ B, x ∉ A)

∅ insieme vuoto

Proprietà

• Riflessiva: ogni insieme è sottoinsieme di se stesso
• Antisimmetria: se A ⊂ B e B ⊂ A => A = B
• Transitiva: se A ⊂ B e B ⊂ C => A ⊂ C

Insieme delle parti

Dato un insieme A, il cosiddetto “insieme delle parti di A” si indica con P(A), è l’insieme i cui elementi sono tutti e possibili sottoinsiemi di A.

Es:

P(A₃) = P({1, 2, 3})

= {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}

Sottoinsiemi

Se A è un insieme finito -> |A| = Il cardinalità, cioè A, ossia il numero di elementi che ha | A | = m = CARDINALITÀ

Teorema:

|P(A_m)| = 2^m ∀ m ∈ ℕ⁺

Dimostrazione

Per dimostrare tale teorema ci utilizziamo il principio di induzione

Se:

1. Q(1) è vera
2. ∀ m ∈ ℕ⁺ Q(m) ⇒ Q(m+1)

Induzione in questo supponendo vera Q(m) si può dimostrare che è vera Q(m+1)

AlloraA(m) è vera ∀ n ∈ ℕ⁺

Esempio

A_n = {i} insieme costituito da n elemento {i}

P(A) = 2 → {∅, {i}}

|P(A_i)| = 2L

Supponiamo che per un certo m fissato vale |P(A_m)| = 2^m e dimostriamo che la cardinalità di |P(A_m+1)| = 2^m+1

Infatti i sottoinsieme di A_m+1sono i "vecchi", più "i nuovi", dove i "vecchi" sono quelli di A_m ed i nuovi sono quelli che contengono il elemento "m+1"

Si nuovi si ottengono da i "vecchi", aggiungendo il nuovo elemento "m+1", come nel schema osserva

Vecchi ->

Aggiungendo m+1:

-> {m+1}

-> {1, m+1}

1 -> {2, m+1}

2 -> {1, 2, m+1}

m -> {1, 2, ..., m, m+1}

Am {1, 2, ..., m} -> {1, 2, ..., m, m+1} = Am+1

Ottengo così tutti i nuovi sottoinsiemi.

• Il numero totale di sottoinsiemi di Am+1 è uguale al numero totale dei vecchi ed il numero totale dei nuovi:
• = 2ⁿ vecchi + 2ⁿ nuovi
• = 2ⁿ + 2ⁿ
• = 2ⁿ⁺¹

Osservazione - A volte l'indice iniziale m₀ = 0, a volte può essere un altro m₀ ∈ N¹

Per cui:

Se:

1. Q(a₀) è vera
2. ∀ m ≥ m₀, finito Q(m) => Q(m+1)

Allora Q(m) è vera ∀ n ≥ m₀