Nozioni, Analisi matematica

INSIEMI NUMERICI

• Sia E un insieme contenente un X tale insieme si dice limitato superiormente se esiste un numero M…
• Limitato Inferiormente se esiste un numero m per cui vedi in scheda X per ogni elemento X ∈ E limitato se soglono entrambe le condizioni.
  • Massimo E se X ∈ E ed X ≤ V∀ X ∈ E
  • Minimo E se X ∈ E ed X ≥ V∀ X ∈ E

Disuguaglianza Triangolare

|x+y| ≤ |x| + |y|

DIM. (x+y)² ≤ (|x| + |y|)² = x² + 2|xy| + y²

… sup. firmo x + y = (x-y) + x-y y sottraendo otteniamo

x y = - x 0 (x ∈ R) x ≥ 1 Store sta che (1 + x)ⁿ ≥ al 1+nx

x + y se la forma algebraisco foe numeri complessi. p. cos y + 1 sim (n+1) e la forma

trigonometica due |x² + Y - p quein den mote solo qua J KTI 0 embi di zegamento

X - q se trod Z ed su e complesso coli cripto.

Formule di De Moivre

z₁z₂ = t₁t₂ [cos (θ₁ + θ₂) + i sin (θ₁ + θ₂)] ⇒ z₁z₂ : z₂ [z₁ x t] x org [x₂ - cosf] + now [x₂ n org]²

z₁/z₂ = t₂/t₁ [cos (θ₁ - θ₂) + i sin (θ₁ - θ₂)] ⇒ |z₂/z₁||z₂|/|z₁| cosf.|x₂/z₂| - cos [|x₂|].

DIM

Teorema Fondamentale dell’Algebra

Un equazione polinomia delia forma h_2n + qh_2n + … Q_n K = 0 con coefficient complessi, questissant has pesissimment di rodu in _C queqimano in esse qenne computis con la sua multiplich et listi. (ati)

FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE

Dati due insiemi A e B, questa si chiama funzione e fa dire tra A e codominio B, una relazione che ad ogni elemento di A associa uno e uno solo elemento di B.

f: A → B

a preso M, la funzione f si dice LIMITATA SUPERIORENTEMENTE se f(x) ≤ M ∀x ∈ D.

a preso m, la funzione f si dice LIMITATA INFERIOREMENTE se f(x) ≥ m ∀x ∈ D.

Sia f(x) una funzione il cui insieme è E ⊂ R, X ∈ E, si dica PUNTO DI MASSIMO per la funzione quando, comunque preso un punto X ∈ E si ricede che f(x) ≤ f(x0). In tal caso f(x0) si dice MASSIMO.

Analogo significato per il MINIMO e il PUNTO DI MINIMO.

Una funzione f si dice PARI se f(x) = f(-x), DISPARI se f(-x) = -f(x).

Una funzione f si dice MONOTONA CRESCENTE (O NON DECRESCENTE) se per ogni coppia de punti X1, X2 con X1 < X2 io ho che f(x1) ≤ f(x2).

Analoga per la f(x) MONOTONA DECRESCENTE.

Una funzione f si dice PERIODICA se f(x + T) = f(x).

Se p(E) ⊆ F dove per ogni x ∈ E io ho che f(x) ∈ F, è persa totale ne les FONDONE COMPOSTA il f: E ⊆ R.

La funzione è sessa se per ogni f è f(D) l'unico x ∈ D tale da f(x) = y e si dica FUNZIONE INVERSA di f.

f: D ⊆ R → R è INVERTIBILE D se vuole avere tutte seguenti condizioni:

1. ∀ x1, x2 ∈ D, f(x1) = f(x2) ⇒ f(x1) = f(x2)
2. ∀ x1, x2 ∈ D, f(x1) ≠ f(x2) ⇔ x1 ≠ x2
3. ∀ D ⊆ p(E), ∃! x ∈ D || f(x) = y.

Unica funzione f: D ⊆ R nell'evento monotono in D è invertibile in D, inoltre se essa inversa è monotona sete toremone monotona.

D.I.I.H.: ^{ep f^ è monotona crescente in D.

Per x1 < x2 se f(x1) < f(x2),

f: D ⊆ R se la condizione è detta f(x1) < f(x2), quindi f si è invertibile.

Per x1 < x2 se x1 < x2 avevano he f(x1) ≥ f(x2) è e distinta, quindi f(x) < x2.

e se f(x1) < f(x2) quindi fe è ^ sottotono crescente

CONTINUITÀ

• Se lim f(x) = f(c) si dice che f(x) è continua in c se esiste lim_{x → c} f(x) e lim_{x → c} f(x) = f(c).

Se f(x) del C è un punto di discontinuità a salto per f(x) quando lim f(x) a dx ≠ lim f(x) a sx immagine, verso, tipo.

• Funzioni elementari sono continue se f(g) e g(z) sono continue e è definita la funzione allora f non continua.
• Un polinomio è sempre continuo.
• Una funzione con un senkino sole è ossia prolungata per continuità.

LIMITI NOTE VOLI

• Funzioni di nosferatu (vedi libro).

CONTINUITÀ DELLA FUNZIONE COMPOSTA

• Siano f e g funzioni definite intorno a x₀ e continua in x₀, la prima funzione e continua in un intorno di x₀ se f o g è definita intorno.

CONTINUITÀ DELLA FUNZIONE INVERSE

• Sia f: I → R, con I intervallo, una funzione continua in I. Allora f è invertibile in un intervallo soltanto se è strettamente monotona. In tal caso la sua inversa è anch’essa strettamente monotona e continua.

TEOREMA DI WEIERSTRASS

• Th: Sia f(x) continua in un intervallo chiuso e limitato [a, b]. Allora f(x) assume massimo e minimo in [a, b].

TEOREMA DEI VALORI INTERMEDI

• Th: se f(x) continua in un intervallo chiuso e limitato [a, b]. Th: f(x) assume in tale intervallo almeno una volta tutti i valori compresi tra il suo minimo e il suo massimo.

TEOREMA DEGLI ZERI

• Th: Sia f(x) continua in un intervallo chiuso e limitato [a, b] ma f(a)・f(b) < 0.
• Th: Allora esiste c ∈ (a, b) b tale che f(c) = 0.
• Dim: Considero primo nodo Se f(c) = 0 ho trovato cerchiando il punto dell’intervallo in cui f(c) è l’estremo sup di zap opolle c enello movente si pone as incr con video il parmione. Tutto cio continuo fino a che trovo che la poni opple e uguale c 0.