Appunti analisi 1: Nozioni introduttive

Maggiore di un insieme

Dato X ⊆ ℝ, x̄ si definisce maggiorante per X se:

 ∀_x∈X x̄ ≥ x;

Si desidera con M l'insieme di tutti i maggioranti.

Massimo di un insieme

Dato X ⊆ ℝ, x̄ si definisce massimo di X se:

x̄, oltre ad essere un maggiorante, ∈ X

Minorante di un insieme

Dato X ⊆ ℝ,  x si definisce minorante per X se:

 ∀_x∈X x ≤  x;

Si desidera con M l'insieme dei minoranti.

Minimo di un insieme

Dato X ⊆ ℝ, x̄ si definisce minimo di X se:

x̄, oltre ad essere un minorante, ∈ X

Estremo superiore

Si definisce estremo superiore il minimo dei maggioranti di un insieme.

Sup X ∈ ℝ

Estremo inferiore

Si definisce estremo inferiore il massimo dei minoranti per un insieme.

Inf X ∈ ℝ

Caratterizzazione dell’estremo superiore

Dato X ⊆ ℝ, ȇ = sup X si definisce il minimo dei maggioranti di X o si caratterizza:

1. ∀x∈X : x ≤ ȇ;
2. ∀ε > 0 ∃x_ε∈X : ȇ - ε < x_ε ≤ ȇ

Caratterizzazione dell’estremo inferiore

Dato X ⊆ ℝ, ȇ = inf X, cioè il più grande dei minoranti, si caratterizza:

1. ∀x∈X : ȇ ≤ x;
2. ∀ε > 0 ∃x_ε∈X : ȇ ≤ x_ε < ȇ + ε

Insieme non limitato superiormente

Se il sup X = +∞ l'insieme X si dice non limitato superiore. ovvero: ∀K>0 ∃ x_k ∈ X : x_k > K;

Insieme non limitato inferiormente

Se il inf X = -∞ l'insieme X si dice non limitato inferiormente. ∀K 0 ∃ a_ε ∈ A, b_ε ∈ B: b_ε - a_ε < ∈

cioe due insiemi si dicono contigui quando il sup A coincide con il inf B, e questo numero si chiama elemento di separazione.

Denità di Q in ℝ

Dati due numeri reali (a, b) esiste sempre un numero (9) appartenente all'insieme Q: a < q < b

Formalmente diremo: ∀ a,b ∈ ℝ: a < b ⇒ ∃ q ∈ Q: a < q < b;

Funzione reale di variabile reale

Si dice funzione una legge che associa ad ogni x ϵ X un elemento y ϵ Y: f: X ⊑ ℝ → Y ⊑ ℝ

Formalmente: ∀ x ϵ X ∃! y = f(x) ϵ Y

X l’insieme viene detto dominio della funzione. f(X), sempre l’insieme, viene detto co dominio della f.

Funzione esponenziale (a^x) a>0, a≠1

Base maggiore di 1 (a>1)

• f: x ∈ ℝ → x ∈ ]0, +∞[
• strett. crescente

Base minore di 1 (0<a<1)

• f: x ∈ ℝ → x ∈ ]0, +∞[
• strett. decrescente

Funzione logaritmo (log_a x) a>0, a≠1

Base compresa (0<a<1)

• f: x ∈ ]0, +∞[ → log_a x ∈ ℝ
• strett. decrescente

Base maggiore (a>1)

• f: x ∈ ]0, +∞[ → log_a x ∈ ℝ
• strett. crescente

Disequazioni irrazionali

Sono una particolare tipologie di disequazioni in cui figura una o più radici.

1. Caso n dispari

1. √ⁿP(x) ≤ √ⁿQ(x) ⇔ P(x) ≤ Q(x)
2. √ⁿP(x) = Q(x) ⇔ P(x) = Q(x)
3. P(x) ≤ √ⁿQ(x) ⇔ P(x) ≤ Q(x)

2. Caso con n pari

1. √ⁿP(x) ≤ √ⁿQ(x) ⇔ {P(x) ≥ 0 Q(x) ≥ 0 →
2. √ⁿP(x) = √ⁿQ(x) ⇔ {P(x) ≥ 0 Q(x) ≥ 0

Funzione "reciproca" (iperbole) 1/xⁿ

n pari

• f: x ∈ ℝ{0} → 1/xⁿ ∈ ]0, +∞[
• strett. decrescente

n dispari

• f: x ∈ ℝ{0} → 1/xⁿ ∈ ℝ{0}
• strett. crescente
• strett. decrescente