Matematica - Studio di funzione

Studio di funzione

Il Dominio

Premessa

Dati due insiemi X e Y, si dice funzione da X in Y una relazione che associa ad ogni elemento dell'insieme X, detto dominio, un unico elemento di Y, detto codominio.

• D = [0, 2] Dom
• D = [0, 1] Dom

Nell'identificazione del dominio, bisogna fare attenzione a

1. Denominatori → se ce ne sono, devono essere posti ≠ 0
• Esempio: y = x / (x² - 4)
• D = {x ∈ ℝ / x ≠ ± 2}
2. Radici di indice pari → i loro argomenti vanno posti ≥ 0
• Esempio: y = √3 - x
• D = {x ∈ ℝ / x ≤ 3}
3. Logaritmi → i loro argomenti vanno posti > 0
• Esempio: y = log(3 - x)
• D = {x ∈ ℝ / x < 3}
4. [g(x)]^g(x) → la funzione g(x) > 0
• Esempio: y = (x - 1)^{sin x}
• D = {x ∈ ℝ / x > 1}

Esempio: y = √(x² / (x + 2x))2(x² + 9)] / [e¹(2 sin x - 1)]

→ (sin x - 1) ≠ 0 → sin x - 1 ≠ 0 → 2 sin x - 1 ≠ 0 x ≠ π / 6 + 2kπ x ≠ 5π / 6 Lkπ

• D = {x ∈ ℝ / x ≠ π / 6 + kπ} ∧ {x ≠ 5π / 6 + kπ }

Esempio: y = log₉(log₇x) e^sin(2x)

→ x > 0 (Argom. Log. positivo) log₉x > 0 → 0 < x < 1

• D = {x ∈ ℝ / 0 < x < 1}

Simmetrie e Periodicità - Funz. Pari, Dispari, Periodiche

• Una funzione f(x) si dice pari se per ogni x appartenente a D, f(-x) = f(x)

• Una funzione pari è simmetrica rispetto all'asse delle ordinate

• Una funzione g(x) si dice dispari se per ogni x appartenente a D, g(-x) = -g(x)

• Una funzione dispari è simmetrica rispetto all'origine

Recap:

• g(x) pari → Asse simmetrico rispetto a y
• g(x) dispari → Grafico simmetrico rispetto all'origine
• Altrimenti né pari né dispari → Grafico non simmetrico rispetto a y o all'origine (possono però esserci altre simmetrie)

Oss. 1: Analizzare le simmetrie (pari/dispari) può essere utile per controllare la coerenza nei passaggi successivi

Oss. 2: Cerco simmetrie (pari/dispari) solo se il D è simmetrico rispetto a 0

• Es: D = {x ∈ ℝ / x ≠ ± 2}
• O = {x ∈ ℝ / x ≤ -1 ∨ x > 2}

g(x) si dice periodica di periodo T (con T reale positivo) se vale che g(x ± T) = g(x)

Il grafico di una funzione periodica si ripete uguale ogni periodo

• Le funzioni y = sin x e y = cos x hanno periodo T = 2π

• Le funzioni y = tg x e y = cotg x hanno periodo T = π

• Oss. 5: Se g(x) è periodica di periodo T, allora è anche periodica di kT - l con k, l ∈ ℕ
• Oss. 9: Se scopro che g(x) è periodica, posso limitare lo studio ad un solo periodo T = π

ASINTOTI OBLIQUI E CURVE ASINTOTICHE

Si dice che y = mx + q è asintoto obliquo di f(x) per x → ±∞ se:

lim x->±∞ [f(x) - mx] = q

• Un funzione può avere al massimo 2 asintoti, uno a +∞ ed uno a -∞.
• Una funzione può essere contemporaneamente asintoto obliquo dx e sx.
• Una funzione e il suo asintoto possono intersecarsi.

Per il calcolo:

m = lim x->±∞ [f(x)/x] se ∈R con m≠0 ⇒ q = lim x->±∞ [f(x) - mx] se q∈R

NB: se m=0 si ricade negli asintoti orizzontali.

Esempio: y = x²/(x - 1) ⇒ calcolo m = lim x->±∞ [x²/x] = lim x->±∞ [x] = 1

Calcolo q = lim x->±∞ [(x²/x) - x]

y = x + 4 è asintoto obliquo (sia dx che sx) di f(x)

Osservazione: in caso di funzioni razionali, c’è asintoto obliquo solo se il grado del numeratore supera di 1 il grado del denominatore. In questo caso può essere determinato tramite divisione tra polinomi.

Se f(x) → ∞ per x → ±∞, per il lim n si può tentare L'Hôpital.

m = lim x->+∞ [f(x)/x] = lim x->±∞ [f'(x)] se +∞/±∞ esiste, non posso concludere nulla.

Osservazione: il concetto di asintoto in un intorno di ∞ può essere generalizzato al caso in cui il grafico della funzione si avvicina a distanza: in una curva di una retta che tende a 0 in questo caso si parla di curve asintotiche.

y = (x² + x²) / x³

Parabola asintotica con x → ±∞

STUDIO DI FUNZIONE

1) Dominio / Insieme di Definizione

• Denominatori ≠0
• Argomenti radici indice pari ≥0
• Argomenti dei logaritmi >0

Se g(x) si presenta come f^-1 g(x) con gli argomenti di arcseno e arcoseno devono essere compresi tra -1 e 1.

2) Simmetrie / Periodicità

f(x) =

• f^-1(x) → f(x) pari, grafico simmetrico rispetto ad y
• -f(-x) → f(x) dispari, grafico simmetrico rispetto all'origine

L'analisi delle simmetrie è facoltativa ma molto utile per fare dei controlli di coerenza nei passaggi successivi.

3) Segno ed Intersezioni con Gli Assi

Risolvere g(x) ≥ 0 (o g(x) ≤ 0) per trovare zone del dominio in cui si hanno valori ≠ 0.

Gli eventuali valori di x per cui g(x) sono gli assi del piano in cui il grafico di funzione interseca l'asse x.

4) Limiti ed Asintoti

Vanno calcolati limiti nei punti di accumulazione del dominio che non appartengono al dominio stesso e ai suoi estremi.

Es: y = ln x / x - 2,

• O = {x ∈ R/x ≠ 0 ∧ x ≠ 2}

Studio di Funzione: Esempio Introduttivo

Studiare la funzione f(x) = x³ - 4x e realizzarne il grafico

1. è una funzione polinomiale, dunque definita su tutto ℝ

2. f(-x) = (-x)³ - 4(-x) = - x³ + 4x = -f(x)

   f(x) è dispari e ha quindi grafico simmetrico rispetto all’origine

Il grafico interseca le ascisse in x = -2, x = 0, x = 2

(0,0) è quindi anche intersez. con asse y

4. Dato che f(x) è polinomiale ed ha come dominio ℝ gli unici lim che ha senso calcolare sono:

   lim_{x → +∞}(x³ - 4x) = [+∞-∞] = lim_{x → +∞} x³(1 - 4/_x²) = +∞

   lim_{x → -∞}(x³ - 4x) = [-∞+∞] = lim_{x → -∞} x³(1 - 4/_x²) = -∞

5. f’(x) = 3x² - 4

   3x² - 4 = 0 → x = ±√_4/3 = ±2/√3

   La f(x) ha min relativo in x = √_4/3 in cui vale f(√_2/√3) = ...

   Quindi max (-2/√₃; 16/3√₃)

   min (2/√₃; -16/3√₃)

f’’(x) = 6x

La funzione ha punto di flesso a tg. obliqua nell'origine

(escludiamo tg. orizz. perché in 0 la f’’(x) è negativa)