Matematica - Studio di funzione

Studio di Funzione

Il Dominio

Premessa

Dati due insiemi X e Y, si dice funzione da X in Y una relazione che associa ad ogni elemento dell'insieme X, detto Dominio, un unico elemento di Y, detto Codominio.

Nell'identificazione del dominio, bisogna fare attenzione a:

1. Denominatori ⇒ se ce ne sono, devono essere posti ≠ 0Es: y = ^x/_x-4D: {x ∈ ℝ / x ≠ ±2}
2. Radici di indice pari ⇒ i loro argomenti vanno posti ≥ 0Es: y = ⁴√(3-x)D: {x ∈ ℝ / x ≤ 3}
3. Logaritmi ⇒ loro argomenti vanno posti > 0Es: y = log₉(7-3x)D: {x ∈ ℝ / x < 3}
4. h) {g(x)}^g(x) ⇒ La funzione g(x) > 0Es: y = (x-1)^sinxD: {x ∈ ℝ / x ≥ 1}

Es: y = ^x²+1/_x+2xx²+2x ≠ 0 ⇒ (x+1) ≠ 0 ⇒ x ≠ -1x²+1 > 0 ∀ x ∈ ℝD = {x ∈ ℝ / x ≠ -1}

Es: y = ^{(log₂ (x²+9))}/_{e² (1-sinx-1)}(1-sinx-1) ≠ 0 ⇒ 2sinx-1 ≠ 0 ⇒ x ≠ π/6 + 2kπx²+9 > 0 ∀ x ∈ ℝD = {x ∈ ℝ, x ≠ π/6 + kπ}

Es: y = log₂ (log₂ x) e(-sin(2/x))x > 0 (arg. log. interno)log_c x ² ⇒ 0 < x < 1D = {x ∈ ℝ / 0 < x < 1}

Studio di Funzione

Il Dominio

Premessa

Data due insiemi X e Y, si dice funzione da X in Y una relazione che associa ad ogni elemento dell'insieme X, detto Dominio, un unico elemento di Y, detto Codominio.

y = x²

Dom: [0,2] → [0,4] Cod

y = x²

Dom: [0,1] → [0,1] Cod

Nell'identificazione del dominio, bisogna fare attenzione a:

1. Denominatori ⇒ Se ce ne sono, devono essere posti ≠ 0. Es: y = ^x/_x-4 ⇒ D = {x ∈ ℝ / x ≠ ±2}
2. Radici di indice pari ⇒ I loro argomenti vanno posti ≥ 0. Es: y = √(3-x) ⇒ D = {x ∈ ℝ / x ≤ 3}
3. Logaritmi ⇒ I loro argomenti vanno posti > 0. Es: y = log_a(3-x) ⇒ D = {x ∈ ℝ / x < 3}
4. f^g(x) ⇒ La funzione f(x) > 0. Es: y = (x-1)^-sinx ⇒ D = {x ∈ ℝ / x > 1}

Es: y = √(x² -1) / (x + 2x)

x² - x ≠ 0 ⇒ (x + 1) ≠ 0 ⇒ x ≠ -1 ⇒ x ²-1 ≥ 0 ⇒ x ≤ -1

D = {x ∈ ℝ / x ≥ 1}

Es: y = (log₂(x² + 9)) / e^x(sinx - 1)

^(1-sinx-1) ≠ 0 ⇒ sinx ≠ 1

2sinx - 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ ^π/₆ + 2kπ

D = {x ∈ ℝ/x ≠ π/6 + kπ} ∧ x ≠ π/6 + kπ

Es: y = log₂(log₂(x)) e^-sin(x)

x > 0 (argom. log. interno)

log₂x > 0 ⇒ 0 < x < 1

D = {x ∈ ℝ / 0 < x < 1}

SIMMETRIE E PERIODICITÀ: FUNZ. PARI, DISPARI, PERIODICHE

• Una funzione f(x) si dice pari se per ogni x appartenente a D, f(-x) = f(x)

→ Una funzione pari è simmetrica rispetto all'asse delle ordinate

• Una funzione g(x) si dice dispari se per ogni x appartenente a D, g(-x) = -g(x)

→ Una funzione dispari è simmetrica rispetto all'origine

RECAP

g(x)

• g(x) ⇒ PARI, ASSE SIMMETRICO RISPETTO A Y
• g(x) ⇒ DISPARI GRAFICO SIMMETRICO RISPETTO ALL'ORIGINE
• ALTRI ⇒ NÉ PARI NÉ DISPARI GRAFICO NON SIMMETRICO RISPETTO A Y O ALL'ORIGINE

OSS. 1: Analizzare le simmetrie (PARI/DISPARI) può essere utile per controllare la coerenza nei passaggi successivi.

OSS. 2: Cerco simmetrie (PAR/DISR) solo se il D è simmetrico rispetto a O

es:

• O = {x ∈ ℝ / x ± 2}
• O = {x ∈ ℝ / x - 1< x ≤ 3}

g(x) si dice periodica di periodo T (con T reale positivo) se vale che g(x + T) = g(x)

Il grafico di una funzione periodica si ripete uguale ogni periodo

OSS. 1: Se g(x) è periodica di T allora è anche perioda di k·T (k - 1) ⋀ k ∈ ℕ

OSS. 2: Se scopro che g(x) è periodica, posso limitare lo studio ad un solo periodo

FUNZIONI PARI, DISPARI, PERIODICHE

ES 1:

Si dica se g(x) = sin x + ¹/_{sin x} è pari, dispari e/o periodica

PARI/DISPARI

g(-x) = sin(-x) + ¹/_sin(-x) = -sin x - ¹/_{sin x} = -g(x)

La f(x) è dispari: grafico simmetrico rispetto all'origine

PERIODICA

g(x + 2π) = sin(x + 2π) + ¹/_{sin(x + 2π)} = sin x + ¹/_{sin x} = g(x)

g(x) è periodica di 2π

Sapere che g(-x) = -g(x) dice che l'intervallo di interesse è solo π

ES 2:

Si dica per quali valori dei parametri reali a e b la funzione f(x) = ae^x + bx è una funzione pari tale che f(0