Appunti Matematica

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P Q P Q1 1 00 0 11 0 10 1 1

Esercizi:

• P P PP P P P1 0 00 1 1
• P e Q (P Q)P Q P e Q (P Q)1 1 1 10 0 0 01 0 0 00 1 0 0

Numeri reali ℝ

Dall'insieme dei numeri reali ricordiamo che, dati 2 numeri reali x, y, sono definiti il numero reale somma x + y ed il numero reale prodotto xy. Per ogni numero reale x, si denota con -x l'opposto di x e, se x > 0, con x il reciproco di x.

Esistono infine due numeri reali speciali, denotati con i simboli 0 e 1, che godono particolari proprietà rispetto a somma e prodotto. Quest'ultime proprietà si possono compendiate dicendo che per ogni x, y, z in ℝ si ha:

• Proprietà associativa della somma
• Proprietà commutativa della somma
• Proprietà dell'esistenza dell'elemento neutro rispetto alla somma
• Proprietà dell'esistenza dell'elemento opposto
• Proprietà associativa del prodotto

Sistema di numeri Pagina 4

Proprietà associativa del prodotto

Proprietà

1. Proprietà commutativa del prodotto
2. Proprietà dell'esistenza dell'elemento neutro rispetto al prodotto
3. Proprietà dell'esistenza inversa dell'elemento opposto
4. Proprietà distributiva della somma rispetto al prodotto

Nel campo dei numeri reali, si stabiliscono alcune notazioni:

• Dati x, y appartenenti a ℝ, la somma tra x e l'opposto di y si indica con x + (-y)
• Il prodotto tra x e il reciproco di y si indica con x * (1/y)

Per ogni x, y in ℝ è definita la relazione x < y. A partire da questa, sono definite le relazioni:

• x > y, che significa y < x
• x ≤ y, che significa x < y o x = y
• x ≥ y, che significa x > y o x = y

Un altro gruppo di proprietà fondamentali può essere compendiato dicendo che per ogni x, y, z in ℝ si ha:

• Proprietà riflessiva dell'ordine largo
• Proprietà antisimmetrica dell'ordine largo
• Proprietà transitiva dell'ordine largo
• Proprietà di tricotomia dell'ordine largo
• Proprietà di compatibilità dell'ordine rispetto alla somma e al prodotto

sommaProprietà di compatibilità dell'ordine rispetto al prodotto

Un numero reale x si dice:

• Positivo se
• Strettamente positivo se
• Negativo se
• Strettamente negativo se

L'ultima proprietà fondamentale del sistema dei numeri reali è il principio di Dedekind:

Se X ed Y sono sono due sottoinsiemi non vuoti di ℝ tali che per ogni x ∈ Y, allora esiste z ∈ ℝ tale che per ogni x ∈ X ed y ∈ Y.

Proprietà derivabili: Sistema di numeri Pagina 5

Proprietà fondamentali del sistema dei numeri reali Lezione3+4 martedì 4 ottobre 2022

Punti importanti: Argomenti di oggi:

• |x| ≤ y -y ≤ x ≤ y Valori assoluti
• |x| < y -y < x < y Funzioni
• |x|=0 x=0
• |-x|=|x|
• |x+y| ≤ |x|+|y|
• |(|x|-|y|)| ≤ |x-y|
• x ≠ 0 ⟹ |x^(-1) |=|x|^(-1)
• |xy|=|x||y|

Argomento lezione:

La prima proprietà si basa sulla seguente definizione:

∀ x ∈ ℝ poniamo

Per ogni x

Il numero reale positivo x ∈ x si chiama valore assoluto o

modulo di x. Per ogni ℜ si ha:
Funzioni ℜ; ossia x ∈ ℜ e y ∈ ℜ.
Una Definizione: siano X ed Y due sottoinsiemi di ℜ, una funzione f: x ∈ X fa(da x in y) è una legge che ad ogni elemento x corrisponde un' unica y ∈ Y. In formula:
Si dice dominio della funzione f: ℜ → ℜ il sottoinsieme X ⊆ ℜ tali che:
ℜ
Regole euristiche:
• Il denominatore d'una funzione deve essere
• L'argomento/il radicando di una radice con indice pari deve essere
• L'argomento di un logaritmo deve essere
Sistema di numeri Pagina 6
Logaritmi
martedì 4 ottobre 2022
Punti importanti:
Argomenti di oggi:
• Definizione
• Proprietà
Argomento lezione:
Definizione di logaritmo ℜ tale
Dati due numeri a e b con a > 1 e a e b > 0 esiste tale x cha appartiene ad
che ℜ[ ]a e b devono essere positivi perché altrimenti l'elevazione di a alla x non sarebbe
definita in maniera formare di conseguenza anche b
Rappresentazione grafica
Approfondimento: numero di

Nepero e proprietà delle potenze

Numero di Nepero: È un numero irrazionale (ℝ), viene approssimato a 2,72 (2<e<3)

Proprietà delle potenze:

• Prodotto di potenze con la stessa base
• Quoziente di potenze con la stessa base
• Potenza di potenza
• Prodotto di potenze con lo stesso esponente
• Quoziente di potenze con lo stesso esponente
• Potenza con esponente negativo
• Potenza con esponente frazionario
• Potenza zeresima

Logaritmi Pagina 7

Significato studio delle funzioni

mercoledì 5 ottobre 2022

Punti per il calcolo: Argomenti di oggi:

• Dominio Definizione studio delle funzioni
• Parità e disparità Operazioni
• Intersezione con gli assi
• Studio del segno
• Limiti e Asintoti
• Studio della derivata prima
• Derivata seconda, convessità
• Massimo e minimo
• Costruzione del grafico

Argomento lezione: Lo studio di funzione è un procedimento analitico che consiste di vari passaggi che permettono di tracciare il grafico della funzione.

Funzioni ℝ; ℝ ℝ.

Definizione: siano

X ed Y sono due sottoinsiemi di ω, ossia X ⊆ ω e Y ⊆ ω.

Una funzione f: X → Y è una legge che ad ogni elemento x ∈ X fa corrispondere un'unica y ∈ Y. In formula:

Studio delle funzioni Pagina 8

Domani mercoledì 5 ottobre 2022

Regole euristiche:

• Il denominatore di una funzione razionale deve essere diverso da zero.
• L'argomento/radicando di una radice a indice pari deve essere non negativo.
• L'argomento di un logaritmo deve essere positivo.

Argomento lezione: ℜ → ℜ → ℜ

Si dice dominio della funzione il sottoinsieme D ⊆ X tali che per ogni x ∈ D esista un punto y ∈ Y tale che y = f(x) sia definita. In formula: D ⊆ X

Una volta trovato il dominio conviene eliminare, dal grafico, le zone in cui la funzione non è definita.

Sunto

Al termine della lezione, utilizzare questo spazio per riepilogare i punti principali dell'argomento trattato.

Studio delle funzioni Pagina 9

Funzioni pari o funzione

dispari

mercoledì 5 ottobre 2022

Punti importanti:

Argomenti di oggi:

• Definizione
• Calcoli

Argomento lezione:

Se la funzione è simmetrica pari il grafico sarà simmetrico rispetto all'asse delle y, se invece è simmetrica dispari il grafico sarà simmetrico rispetto all'asse delle x. La funzione può essere né pari né dispari.

• Pari: quando è uguale a in X (basta studiarla in un quadrante)
• Dispari: quando è uguale a in X (bisogna studiarla in tutti i quadranti che occupa)

L'analisi delle simmetrie è facoltativa ma molto utile per fare dei controlli di coerenza nei passaggi successivi

Studio delle funzioni Pagina 10

Segno e intersezioni con gli assi della funzione

mercoledì 5 ottobre 2022

Punti importanti:

Argomenti di oggi:

• Segno: Definizione segno della funzione e la sua utilità
• Intersezione asse y: Come trovare i punti di intersezione
• Intersezione asse x:

Argomento lezione:

Segno

Grazie allo studio del segno della funzione si possono individuare quali intervalli della funzione si trovano sopra o sotto l'asse delle x. Le eventuali variazioni del segno si verificano nelle intersezioni sull'asse delle x. Per conoscere il segno poniamo la funzione > 0 nel dominio della funzione ricordando di prendere quelle soluzioni che rientrano nel dominio scartando tutte le altre. Dopo aver calcolato il segno si cancellano le parti del grafico dove non passerà la funzione.

Intersezione con gli assi della funzione

Le intersezioni con gli assi della funzione sono quei punti dove la funzione si interseca con gli assi (x = 0 e y = 0). Tuttavia la funzione può non intersecarsi con gli assi, farlo solo con uno o con tutti e due, l'intersezione con l'asse delle y avviene solo una volta come viene affermato dalla definizione di funzione (ad un valore di x è associato uno ed solo un valore di y). Si trova l'intersezione

conquest'asse ponendo x = 0, se 0 non rientra nel dominio (D) l'intersezione con l'asse delle x non esiste. Per trovare l'intersezione con l'asse delle x poniamo la y = 0. (Dopo aver trovato le intersezioni le si segnano sul grafico) Studio delle funzioni Pagina 11 Funzione iniettiva, suriettiva, biettiva e immagine di funzione mercoledì 12 ottobre 2022 Punti importanti: Argomenti di oggi: - Definizione funzione suriettiva, iniettiva e biettiva - Definizione immagine Argomento lezione: Funzione suriettiva: Una funzione è suriettiva se a elementi distinti di X corrispondono uno o più elementi di Y. In simboli: Immagine: Data una funzione x sottoinsieme dei numeri reali tale che x appartenga a X esiste f(x)=y. In simboli: ℝ → ℝ Immagine di X tramite y Funzione iniettiva: Una funzione è iniettiva se presi due punti x e x' distinti nel dominio presentano funzioni distinte. In simboli: Funzione iniettiva Funzione non iniettiva biettiva: Una funzione si dice biettiva (o biunivoca) quando è sia iniettiva che suriettiva.

Studio delle funzioni Pagina 12

Composizione di funzioni
mercoledì 12 ottobre 2022

Fasi per verificare la compatibilità:
Argomenti di oggi:

• Calcolare l'immagine della funzione Funzione identica
• Calcolare il dominio dell'altra funzione Composizione di funzioni

Si verifica che l'immagine appartenga al dominio.

Argomento lezione:
Funzione identica:
Dato X sottoinsieme dei numeri reali si dice funzione identica quella funzione che associa ogni elemento del suo dominio all'elemento stesso. ℝ
In simboli:
Funzione composta:
Dati l'insiemi X, Y e Z con e si indica come funzione composta quella funzione che ad ogni elemento di X corrisponda un elemento di Z. ∘f (si legge f tondino g)
In simboli:

Condizione di compatibilità:
L'immagine di f(x) deve essere contenuta nel dominio di g e viceversa, se non è vera la composizione nonÈ possibile. In simboli: Studio delle funzioni Pagina 13 Funzione inversa mercoledì 12 ottobre 2022 15:28 Procedimento per trovare la funzione inversa: Argomenti di oggi: • Verificare se la funzione è biettiva (iniettiva e suriettiva)