Matematica

MATEMATICA

Prof. Fisica con elementi di Matematica: Gianluca Maria Guidi

e-mail: gianluca.guidi@uniurb.it

Esercizi esempi esami: www.fis.uniurb.it/guidi/compiti-ctf

Esame scritto e orale (3^mat. e 3^fisica)

Matematica: studio di una funzione e integrale

Fisica: 5 esercizi su tutto il programma

Si possono dividere gli appelli:

• 3H con stesso appello
• 2H ciascuno se divise

FUNZIONI

Abbiamo due insiemi A e B.Una funzione è un’espressione di associa un elemento di A con un elemento di B.

f: A → B

• Gli elementi di A devono essere associati ad un solo elemento di B.
• Gli elementi di A e B possono essere qualsiasi.

• L’insieme A i cui elementi si indicano con X, si chiama dominio della funzione. A è dominio di f.
• L’insieme B è l’insieme immagine, gli elementi di B si indicano con la lettera Y.

f: A → B

assoc. un elemento di A X ad un elemento Y di B. Y = f(X)

Se f(X) è la funzione X² allora f(3) = 3² = 9

Y si chiama anche immagine di X.

Per scorrere il dominio tutti gli elementi sono occupati, mentre nell’insieme B ci sono elementi che non sono pieni. Gli elementi occupati di B sono chiamati codominio.

f(X) = X²

D_f = R (insieme dei numeri reali)

C_f = insieme dei numeri positivi ≥ 0 perché un numero elevato al quadrato è sempre positivo.

MATEMATICA

FUNZIONI

Abbiamo due insiemi A e B.

Una funzione è un'espressione che associa un elemento di A con un elemento di B.

: A → B

• Gli elementi di A devono essere associati ad un solo elemento di B.
• Gli elementi di A e B possono essere qualsiasi.

• L'insieme A i cui elementi x indicano con X, si chiama DOMINIO della funzione. A è dominio di .
• L'insieme B è l'insieme immagine, gli elementi di B si indicano con la lettera Y.

: A → B

Associo un elemento di A ^x ad un elemento ^y di B. = ()

Se () è la funzione ² allora (3) = 3² = 9

Y si chiama anche immagine di X

Può accadere che nel dominio tutti gli elementi sono accoppiati, mentre nell’insieme B ci sono elementi che sono fuori. Gli elementi accoppiati di B sono chiamati CODOMINIO.

(X) = X²

D = ℝ (insieme dei numeri reali)

ℂ = insieme dei numeri positivi e 0 perché un numero elevato al due...

tratto è sempre positivo ( R⁺ ∪ {0} )

Per cui il codomino è una parte dell'insieme B.

Le funzioni possono avere altre proprietà:

INIECTIVA:

una funzione è iniettiva se ogni elemento di A è collegato ad un solo elemento di B. Quindi ogni elemento di B è immagine di un solo elemento di A. Quindi in ogni elemento di B arriva una sola freccia.

INIECTIVA

SURIETTIVA:

una funzione si dice suriettiva se f(A) = B. Ovvero il codominio è tutto l'insieme immagine.

SURIETTIVA MA NON INIECTIVA

NON È SURIETTIVAPERCHÉ C'È UN ELEMENTOFUORI DAL CODOMINIO.

f: R → R

BINOMICA o BIETTIVA:

è una funzione che è sia suriettiva che iniettiva(INIECTIVA ∧ SURIETTIVA)

BINOVIA

Esempio:

y = f(x) = x² f: R → R Cp ≠ R quindi non è suriettiva

È iniettiva? Ammettiamo che y = 4. Ma questo 4 è dato da (-2)² o (2)^2.Per cui da due elementi diversi di Δ portano freccia verso allo stesso elemento di B. Quindi non è iniettiva.

y = 3x + 2 f: R → R

È una funzione perciò a retto un valore X ottengo un solo valore Y

È iniettiva? Si perché a corrispondenza ad ogni valore X da mi data quel valore Y.È suriettiva? Si perché qualsiasi valore dell’immagine provenendo dai miei Quindi la funzione è binomica.

FUNZIONE INVERSA

se è una funzione che va da A a B e biunivoca, posso ritornare indietro in A. Quindi B diventa il dominio e A il codominio. E' per costruire quindi la funzione inversa.

f: A → B        BIUNIVOCA      y = f(x) con x ∈ A,   y ∈ B allora

f^-1: B → A        x = f^-1