Matematica

MATEMATICA

Prof. Fisica con elementi di matematica: Gianluca Maria Guidi

e-mail: gianluca.guidi@uniurb.it

Esercizi esempi esami: www.fis.uniurb.it/guidi/compiti-ctp

Esame scritto e orale (1^o mat. e 3^o fisica)

Matematica: studio di una funzione e integrale

Fisica: 5 esercizi su tutto il programma

• Si possono dividere gli appelli
• 3h con stesso appello
• 2h ciascuno se divise

FUNZIONI

Abbiamo due insiemi A e B.

Una funzione è un'espressione che associa un elemento di A con un elemento di B.

f: A → B

• Gli elementi di A devono essere associati ad un solo elemento di B
• Gli elementi di A e B possono essere qualsiasi

L'insieme A i cui elementi x indichiamo con X, si chiama dominio della funzione. A è dominio di f.

L'insieme B è l'insieme immagine. Gli elementi di B indichiamo con la lettera Y.

f: A → B associa un elemento di A x ad un elemento y di B. y = f(x).

Se f(x) è la funzione x² allora f(3) = 3² = 9

Y si chiama anche immagine di X.

Può accadere che nel dominio tutti gli elementi siano accoppiati, mentre all'insieme B ci sono elementi liberi. Gli elementi liberi di B sono chiamati codominio.

f(x) = x²

D_f = R (insieme dei numeri reali)

C_f = {insieme dei numeri positivi ≥ 0 verrà numeri elevato al quadrato}

INIEZIONE: una funzione è iniettiva se ogni elemento di A è collegato ad uno solo elemento di B. Quindi ogni elemento di B è immagine di un solo elemento di A. Quindi in ogni elemento di B arriva una sola freccia.

SURIETTIVA: una funzione si dice suriettiva se φ(A) = B. Ovvero il codominio è tutto l'insieme immagine.

BIUNIVOCA o BIETTIVA: è una funzione che è sia suriettiva che iniettiva (iniettiva e suriettiva).

Esempio:

γ: f(x) = x² f: ℝ → ℝ Cφ ≠ ℝ quindi non è suriettiva

È iniettiva? Ammettiamo di y=4. Ma questo 4 è dato da (-2)² o (2)² Per cui da due elementi diversi di A partono frecce che vanno allo stesso elemento di B. Quindi non è iniettiva.

γ: y=3x+2 LINEARE f: ℝ → ℝ È una funzione per la quale è detto un valore X, otteniamo un solo valore Y.

È iniettiva? Si prende, a caso, vario X e non è dato quel valore Y. È suriettiva? Si prende qualsiasi valore Y dell'immagine trasformato da φ. Quindi la funzione è biunivoca.

Completezza

Un insieme qualsiasi I è completo se qualsiasi sottoinsieme limitato possiede estremo superiore ∞ I.

Esempio:

• Q {x ∞ ℕ / x² < 2} NON COMPLETO
• R {x ∞ ℝ / x² < 2} COMPLETO

Sono entrambi insiemi limitati superiormente. Nel secondo caso, il numero più alto a cui possiamo arrivare è 2 e √2. Nel primo esempio, nonostante √2, ma √2 non appartiene a Q per cui questo insieme non è completo.

Insieme Non Limitato

• D: {x ∞ ℝ / 1 ≤ x < +∞} oppure D: {x ∞ ℝ / 1 ≤ x}

Questo insieme non è superiormente limitato

_{1 ≤ x sup (D) = +∞}

Insieme superiormente limitato:

_{x ≤ 1 inf (D) = -∞}

Gli Intervalli Numerici

• a, b ∞ ℝ con a ≤ b
• {x ∞ ℝ / a ≤ x ≤ b} Intervallo Chiuso e Limitato
• È chiuso perché include gli estremi, c'è un minore o uguale si può scrivere anche: [a, b]
• {x ∞ ℝ / a < x < b} Intervallo Limitato e Aperto
• È aperto perché a e b non sono compresi nell'insieme. Si scrive anche (a, b)
• {x ∞ ℝ / a ≥ x ≤ b} Intervallo Semiaperto
• Si può scrivere [a, b) ⊕ (a, b]
• {x ∞ ℝ / x ≥ 1} Intervallo Illimitato perde ha un estremo ∞
• Si scrive [1, +∞[ ⊕ [1, +∞]

BIETTIVITA:

La funzione per essere biettiva deve essere sia suriettiva sia iniettiva.

Biettiva.

Questo è suriettivo ma anche iniettivo.

Se una funzione è biettiva possiamo anche calcolare l'inverso.

INVERSIONE:

L'inverso è γ = g(y) e si indica con f^-1(x)

Deve essere iniettiva e suriettiva.

Il grafico di una funzione inversa è:

f: iniettibile → f^-1 Se f(3)=1 => 3=f^-1(1)

Quindi se nella funzione diretta il punto P ∈ (A, B)

In quella inversa avrà coordinate P(B, A).

Il grafico della funzione inversa si ottiene facendo

La riflessione rispetto alla retta y = x

bisettrice I^a e III^a quadrante

Se il punto ha coordinate P(c, c), anche l'inverso avrà coordinate P'(c, c).

Quindi i punti coincidono.

Esempio: Prendiamo la funzione f(x) = y = 3x - 2

La funzione inversa sarà: x = y + 2 / 3 che si può anche scrivere y = x + 2 / 3

Le disegniamo:

Non è biettiva quindi non c'è l'inverso. Però attraverso i calcoli possiamo trovare le sue inverse.

Questo avviene perché restringiamo il dominio.

A = R⁺ = { x ∈ R / x ≥ 0 }

Prendiamo solo la parte positiva della funzione, in questo modo la funzione è iniettiva

Conclusione: La funzione è biettiva quando è iniettiva con immagine e dominio.

I LIMITI

Trovare il limite di una funzione significa vedere come si comporta la funzione quando ci avviciniamo a determinati valori.

1° CASO:

f: A → R; x₀ ∈ A, x₀ punto di accumulazione lim_x→x₀ f(x) = ℓ , ℓ ∈ R Man mano che X va verso X₀, il valore di f(x) dovrebbe rimanere in ℓ ∀ E > 0 ∃ δ_ε > 0 : x < x₀ < δ_ε ⟹ | f(x) - ℓ | < E con x ≠ x₀

Si può anche scrivere: ∀ E > 0 ∃ δ_ε > 0 : -E < x - x₀ < δ_ε ⟹ | f(x) - ℓ | < E

Il valore della funzione dista da ℓ un valore minore di E. Quindi anche se scelgo valori più piccoli esiste un valore di X per cui la funzione si avvicina ad ℓ.

Qualsiasi x che porti dall'intorno di X₀ deve cadere nell'intervallo ℓ ± E.

Esempio 1

f(x) = 3x per x ≠ 1 f(x) = 4 per x = 1 lim_x→1 f(x) = 3

La funzione vicino x = 1 tende a y = 3. Per cui il limite vale 3. Non importa cosa fa la funzione in X₀, ma nelle vicinanze.

Esempio 2

lim_x→4 x = 4 con f(x) = x, x₀ = 4 Per dimostrare faccio: |x - 4| < E - E < x - 4 < E

Questa non definisce un intorno di X. In questo caso δ_ε = E

Esempio 3

lim_x→4 3x = 12 f(x) = 3x x₀ = 4

| f(x) - ℓ | < E |3x - 12| < E |3x - 12| < E 12 - 2x ⟨ 3x < E + 12 Questa volta l'E = ^ε/₃

-^E/₃ < x ⟨ < 4 ^E/₃

Non definisce un intorno di X₀.

f(x) = x² non è monotona

Sì può solamente utilizzare il teorema delle funzioni monotone perché considero la funzione dove è monotona. Quindi:

lim x² = +∞ (estr. sup.) x→+∞ lim x² = +∞ (estr. sup.) x→-∞

In generale:

lim xⁿ = +∞ x→+∞

lim xⁿ = +∞ se n è pari -∞ se n è dispari

Se f(x) = x^2m+1 ⇒ D = R_C = R sono sempre crescenti FUNZIONE DISPARI

Se f(x) = x^2m ⇒ D = R_C = R⁺ sono decrescenti per x<0 e crescenti per x>0

COME RISOLVERE ALTRI LIMITI:

lim (1/x² - 1) = 1/x² = f(x) x = g(x) quindi lim (f(x) + g(x)) x→+1

lim x = 1 x→+1

⇒ lim (1/(x-1)x) = +∞ +1 = +∞ Infatti +∞ + l = +∞ x→+1

Altri casi sono:

• -∞ + l = l -∞ -∞
• -∞ +∞ = +∞
• -∞ -(-∞) = +∞
• l/∞ = 0
• -∞ -∞ = -∞
• +∞ +∞ = +∞
• +∞ -(-∞) = -∞
• l/0 = ±∞

In generale:

x l ≠ 0 +∞ x l > 0 l < 0 x l < 0 +∞ +∞ x l > 0

con l ≠ 0 +∞ x l > 0 x l ≠ 0 -∞ x l < 0 x l < 0 -∞ x l < 0