Matematica

Proprietà delle funzioni

⨍:X→ℝ succede alla funzione h? Se si prendono due valori y1,y2∊Y e y1<y2 ⇒ g(y1)<g(y2) ⇒ e dunque h(y1)<h(y2), quindi h è strettamente decrescente: la ⨍(g(y1))<⨍(g(y2)) composizione di funzioni strettamente crescenti, dà una funzione composta anch'essa strettamente crescente. Se si compongono due funzioni entrambe strettamente decrescenti, la funzione composta sarà sempre strettamente crescente. Se, invece, si compongono due funzioni con monotonie diverse, la funzione composta sarà sempre strettamente decrescente.

10/11/2022 PRODOTTO, DOMINI, GRAFICI

Il prodotto di due funzioni

Nel prodotto, ciò che vale per la somma non vale, in quanto si è vincolati dal segno. Se f:X→ℝ⁺ che indica la retta [0,+∞[ e g:X→ℝ⁺, allora se f e g sono ∀x∊X, ⨍(x)≥0 ⇒ ⨍×g è crescente.

Ma se f e g sono entrambe decrescenti, il prodotto come sarà? con x1<x2,

(⨍×g)∀x1,x2∊X⨍(x1)=⨍(x1)×g(x1)≥⨍(x2)×g(x1)≥⨍(x2)×g(x2)=(⨍×g)(x2), ovvero e⨍(x1)≥⨍(x2)g(x1)≥g(x2), dunque il prodotto è una funzione decrescente.

Dominio di una funzione composta

Dunque, il dominio della funzione è l’unione dei domini delle funzioni da cui è composta,ovvero x>1. Tale funzione è monotona? Si sa che il logaritmo e la radice quadrata sono duefunzioni strettamente crescenti. Ma (x-1)/x com’è? Lo si dimostra e si scopre che,all’aumentare dei punti del dominio, aumentano anche le immagini, dunque questa funzioneè crescente. Di conseguenza, la funzione finale è strettamente crescente.

Poiché è sia iniettiva sia suriettiva, è anche invertibile. L’insieme immagine di è [0,+∞[.

⨍ ⨍Qual è l’inversa? Sapendo che [0,+∞[ −> ]1,+∞[, allora y²=ln((x-1)/x) −>

x=1/1-e^y e⨍⁻¹: rappresenta la nostra ⨍⁻¹.

Operazioni con i grafici:

Si può operare con:

1. Traslazioni;
2. Riscalamenti;
3. Simmetrie.

Traslazioni: se io parto dal grafico di ho una variabile qualsiasi aumentata con una⨍(x), quantità significa che il grafico della mia funzione si sta spostando, se aumentata⨍(x+h), con una quantità positiva, verso sinistra, mentre, se aumenta da una quantità negativa, verso destra.

Traslazione orizzontale: Esempio con e voglio disegnare e⨍(x)=x² ⨍(x)=(x+1)² ⨍(x)=(x-2)².

In questo caso il dominio rimane lo stesso. Diversamente però avviene nel caso di un logaritmo, in cui il dominio cambia:

Traslazione verticale: viene traslato l’insieme delle immagini. Il dominio, dunque, rimane lo stesso. In caso di quantità positiva, il grafico va traslato verso l’alto, mentre, se la quantità è negativa, il grafico va traslato verso il basso. Esempio con che

è negativa si disegna l’opposta, ovvero si ribalta rispetto all’asse delle x e dunque si trova tutta nel semiasse positivo delle y.

Cosa succede se il valore assoluto è in una funzione esponenziale? Il ramo nel semiasse positivo delle y si ribalta allo stesso modo dall’altro lato. Si fa l’esempio con eˣ:

Le varie operazioni con i grafici possono anche essere combinate tra di loro. Nel caso di vi sono traslazioni e ribaltamenti.

⨍(x)=1-ln(x-1)

Si può fare anche con il valore assoluto, ad esempio - 2⎟:

⨍(x)=⎟√(2-⎟x⎟)

Queste operazioni sono utili nel caso in cui vi sono disequazioni che si possono risolvere meglio graficamente, facendo uso delle equazioni. Sono molto utili, ad esempio, per determinare le intersezioni tra due grafici di un’unica funzione (funzione composta da due funzioni).

A volte è impossibile risolvere delle funzioni algebricamente. Ad esempio, eˣ<1/(x-1).

⨍(x):

Ma chi è x₀? Si sa solo che è

compreso tra 1 e 2. Si può determinare a vista d'occhio.

Esercizio. + √(1+x) dire se è invertibile nel suo dominio ⨍(x)=√(1-x)

Esercizio. (il log è in base 2) dire se è invertibile nel suo ⨍(x)=arcsen(1-log(2)(x-1)) dominio e, in caso affermativo, calcolare ⨍⁻¹(π/6).

Il dominio della funzione è 2≤x≤5 (si prendono i valori unione). Il logaritmo è una funzione strettamente crescente, ma, avendo il segno - davanti, diventa strettamente decrescente. L'arcoseno è strettamente crescente. La composizione tra strettamente crescente e strettamente decrescente dà una funzione strettamente decrescente. Ciò basta per poter verificare la sua iniettività, poiché se una funzione è monotona è anche iniettiva. Bisogna calcolare allora nel punto π/6. Poiché l'arcoseno è 1/2 a π/6, allora tutto l'argomento ⨍⁻¹ dell'arcoseno deve essere

uguale a 1/2. Si pone allora l'argomento uguale a 1/2 e si trova x,che risulta essere √2 + 1. Dunque, la funzione è uguale a π/6 quando x=√2 + 1.

Esercizio. Tracciare il grafico di max {x², x+3}⨍(x)=I valori massimi, dunque, sono prima parabola, retta e poi di nuovo parabola.

Esercizio. x∊]1,π[ dire se è monotona nell'intervallo dato, invertibile e, in⨍(x)=sen(lnx)caso affermativo, invertirla.

La funzione lnx è sempre crescente, ma la funzione seno varia: quando 1<x<π, lnx<lnπ≃1,2.

Per questi valori, per x∊]1,π[, si può dire che lnx∊[0,π/2], in quanto π/2 è poco più di 1,5.

Nell'intervallo [0,π/2] la funzione seno è strettamente crescente e, poiché il logaritmo nell'intervallo ]1,π[ è pure strettamente crescente, allora la funzione composta sarà strettamente crescente. È allora invertibile. Come si trova? y=sen(lnx) ->

arcseny=lnx ->e^arcseny=x -> e^arcseny.⨍⁻¹(y)=Esercizio. 1/(x-2)² determinare il dominio, l’insieme delle immagini e detto A=]⨍(x)=-∞,-3], determinare ⨍(A).Si tratta della funzione per cui avviene una traslazione di due unità verso destra.⨍=1/x²ℝ/{2}Il dominio è e il dominio delle immagini è ]-∞,-3]⊆X, con ⨍(A)=]0,1/25].

Esercizio. (x+1)/(x-1) stesse richieste di prima. X=Dom⨍ e A: [2,+∞[.⨍(x)=La funzione, spezzandola, può diventare e così si può disegnare⨍=1+2/(x-1)utilizzando i metodi studiati (traslazione, simmetrie, ecc.).17/11/2022 ℝIn questo caso il dominio è e l’insieme delle immagini è Il massimo e il minimo⨍(x)⊆ℝ.sono quei valori che la funzione assume come tali nell’insieme dunque un valore⨍(x),dell’insieme immagine. Il massimo della funzione è allora il massimo dell’insiemeimmagine, mentre il

centro minore di r = {x∊ℝ: = ]x₀-r, x₀+r[. Questo si chiama intorno⎟x-x₀⎟<r}di x₀.

Più generalmente: x₀∊X si dice punto interno a X se I(x₀,r)⊆X. Nel caso, ad∃r>0:esempio, dell’intervallo I[-2,1], i punti interni sono tutti quelli compresi tra -2 e 1(-2<x₀<1). Nel caso, però, di x₀=1, non si tratta di un punto interno, perché nel suo intornonon si trovano elementi dell’insieme (in questo caso a destra) e lo stesso vale per x₀=-2 (inquesto caso a sinistra).

Se l’insieme è I[-2,1[, un punto x₀ si dice interno all’intervallo quando -2<x₀<1 e l’1 non siprende nemmeno in considerazione perché non appartiene all’insieme considerato.

Se l’insieme è I[-2,+∞[, tutti i punti interni sono quelli che si trovano