Matematica per le applicazioni II - Topologia terza parte

Definizione di ricoprimento

Se si verifica che A è un sottoinsieme dell'unione di tutti gli insiemi B, allora si dice che A è un ricoprimento di B. Il concetto è molto intuitivo. Se un insieme è contenuto nell'unione di certi insiemi, allora si dice che questi ultimi costituiscono un ricoprimento del primo. Graficamente:

Se il ricoprimento è finito, si dice che il ricoprimento è finito. Se è numerabile, si dice che il ricoprimento è numerabile. Se è dotato della topologia per cui è uno spazio topologico, se gli insiemi sono tutti aperti per la topologia, è aperto (o -aperto). Un sottoinsieme di un ricoprimento è anch'esso un ricoprimento. Se è anche un ricoprimento di B, allora si dice che è un sottoricoprimento di B.

Esempi

1. Sia lo spazio euclideo reale ad una dimensione dotato della topologia naturale. Sia X l'insieme dei punti (estremi inclusi). L'insieme X costituisce un sottospazio di R. Quindi esso stesso è uno spazio topologico (con la topologia indotta da R) e è compatto. Graficamente:

2. Sia lo spazio euclideo reale ad una dimensione dotato della topologia naturale. Sia Y l'insieme dei punti (estremi esclusi). L'insieme Y costituisce un sottospazio di R. Quindi esso stesso è uno spazio topologico (con la topologia indotta da R) e non è compatto. Graficamente:

   Il perché di questo può essere mostrato considerando il ricoprimento aperto (infinito) numerabile indicato in figura: e via via più ottenuto prendendo intervalli aperti tutti centrati nel punto medio di larghi prendendo gli estremi nelle metà residue. Tale ricoprimento di Y non ammette nessun sottoricoprimento finito.

3. Sia lo spazio euclideo

Lo spazio euclideo reale a due dimensioni dotato della topologia naturale. Sia lo spazio topologico con la topologia indotta da indicato nel grafico (con la linea continua consideriamo presi i punti di frontiera):

Lo spazio topologico è compatto.

Lo spazio euclideo reale a due dimensioni dotato della topologia naturale. Sia lo spazio topologico con la topologia indotta da indicato nel grafico (con la linea tratteggiata consideriamo esclusi i punti di frontiera):

Non è compatto.

Spazio topologico connesso e sconnesso. Uno spazio topologico. Esso si dice sconnesso se esistono due sottoinsiemi di Sia per cui si abbia: e non vuoti e e : , ovvero e assieme costituiscono ma sono disgiunti. Nel caso contrario si dice che è connesso.

Esempi:

- 1 - Lo spazio euclideo a dimensioni (con naturale) dotato della topologia naturale è uno spazio topologico connesso.

- 2 - Gli spazi degli esempi - 1 - e - 2 - del precedente paragrafo, ovvero gli insiemi: e sono

connessi.

Lo spazio euclideo reale a due dimensioni dotato della topologia naturale. Sia- 3 - Sialo spazio topologico con la topologia indotta da indicato nel grafico :è connesso.

Lo spazio- 4 - Sia lo spazio euclideo reale a due dimensioni dotato della topologia naturale. Sialo spazio topologico con la topologia indotta da indicato nel grafico :Lo spazio topologico è sconnesso.

- 5 - Sia lo spazio euclideo reale ad una dimensione dotato della topologia naturale. Sialo spazio topologico con la topologia indotta da indicato nel grafico :(dove (attenzione al simbolismo per considerare o meno gliestremi dei singoli intervalli !!)). Lo spazio è sconnesso.

lo spazio euclideo reale a due dimensioni dotato della topologia naturale. Sia- 6 - Sialo spazio topologico con la topologia indotta da indicato nel grafico :