Matematica per le applicazioni II - Topologia terza parte

Spazi topologici : compattezza, connessione

Mostriamo in questo capitolo le definizioni, corredate da alcuni esempi, di due proprietà

topologiche fondamentali : la compattezza e la connessione. Approfondiremo maggiormente le

medesime negli appositi capitoli sugli spazi metrici.

01 – Ricoprimento. un suo sottoinsieme (

un insieme e

Sia ).

un insieme di indici ovvero un insieme qualunque contente elementi qualunque che

Sia può essere finito (cioè con un numero finito di

vengono utilizzati come indici. L'insieme

elementi, per esempio costituito da dieci elementi) oppure infinito (cioè con un numero infinito di

elementi). Nel caso che esso sia infinito, si può trattare di una infinità numerabile (cioè in

, ovvero "contabile") o non (esistono

corrispondenza biunivoca con l'insieme dei numeri naturali

insiemi infiniti ma non numerabili come per esempio l'insieme dei numeri reali ).

Siano dei sottoinsiemi di essendo l'indice suddetto appartenente ad , ovvero sia

.

Per esempio : . Se si verifica che , cioè che è sottoinsieme

Sia l'insieme

dell'unione di tutti gli insiemi , allora si dice che è un ricoprimento di .

Il concetto è molto intuitivo. Se un insieme è contenuto nell'unione di certi insiemi, allora si dice

che questi ultimi costituiscono un ricoprimento del primo. Graficamente :

Se è finito si dice che il ricoprimento è finito.

è numerabile.

Se è numerabile si dice che il ricoprimento

Se è dotato della topologia per cui è uno spazio topologico, se gli sono tutti

aperti per la topologia è aperto (o -aperto).

, si dice che il ricoprimento

un sottoinsieme di un ricoprimento ). Se è anch'esso un

(cioè

Sia di .

ricoprimento di , allora si dice che è un sottoricoprimento di

02 - Spazio topologico compatto.

uno spazio topologico. Esso si dice compatto (o bicompatto) se ogni suo ricoprimento

Sia

aperto contiene un sottoricoprimento aperto finito.

Esempi :

- 1 - Sia lo spazio euclideo reale ad una dimensione dotato della topologia naturale. Sia

l'insieme dei punti (estremi inclusi). L'insieme

per cui costituisce un

) . Lo

sottospazio di quindi esso stesso uno spazio topologico (con al topologia indotta da

spazio topologico è compatto. Graficamente :

- 2 - Sia lo spazio euclideo reale ad una dimensione dotato della topologia naturale. Sia

per cui (estremi esclusi). L'insieme costituisce un

l'insieme dei punti

sottospazio di ) . Lo

quindi esso stesso uno spazio topologico (con al topologia indotta da

spazio topologico non è compatto