Matematica per le applicazioni II - Topologia terza parte

Spazi topologici: compattezza e connessione

Mostriamo in questo capitolo le definizioni, corredate da alcuni esempi, di due proprietà topologiche fondamentali: la compattezza e la connessione. Approfondiremo maggiormente le medesime negli appositi capitoli sugli spazi metrici.

01 – Ricoprimento

Sia un insieme e un suo sottoinsieme. Sia I un insieme di indici ovvero un insieme qualunque contenente elementi qualunque che possono essere finiti (cioè con un numero finito di elementi, per esempio costituito da dieci elementi) oppure infinito (cioè con un numero infinito di elementi). Nel caso che esso sia infinito, si può trattare di una infinità numerabile (cioè in corrispondenza biunivoca con l'insieme dei numeri naturali) o non numerabile (esistono insiemi infiniti ma non numerabili come per esempio l'insieme dei numeri reali).

Siano A_i dei sottoinsiemi di E essendo l'indice suddetto appartenente a I. Per esempio: A_i con i in I. Se si verifica che E ⊆ ⋃A_i, cioè che E è sottoinsieme dell'unione di tutti gli insiemi A_i, allora si dice che A_i è un ricoprimento di E.

Il concetto è molto intuitivo. Se un insieme è contenuto nell'unione di certi insiemi, allora si dice che questi ultimi costituiscono un ricoprimento del primo. Graficamente:

• Se I è finito si dice che il ricoprimento è finito.
• Se I è numerabile si dice che il ricoprimento è numerabile.

Se E è dotato della topologia per cui è uno spazio topologico, se gli A_i sono tutti aperti per la topologia T, si dice che il ricoprimento è apertamente finito (o finito-aperto). Sia B un sottoinsieme di un ricoprimento A_i. Se B è anch'esso un ricoprimento di E, allora si dice che B è un sottoricoprimento di A_i.

02 - Spazio topologico compatto

Sia E uno spazio topologico. Esso si dice compatto (o bicompatto) se ogni suo ricoprimento aperto contiene un sottoricoprimento aperto finito.

Esempi

• 1 - Sia lo spazio euclideo reale ad una dimensione dotato della topologia naturale. Sia [a, b] l'insieme dei punti (estremi inclusi). L'insieme [a, b] costituisce un sottospazio di ℝ, quindi esso stesso è uno spazio topologico (con la topologia indotta da ℝ). Questo spazio topologico è compatto.
• 2 - Sia lo spazio euclideo reale ad una dimensione dotato della topologia naturale. Sia (a, b) l'insieme dei punti (estremi esclusi). L'insieme (a, b) costituisce un sottospazio di ℝ, quindi esso stesso è uno spazio topologico (con la topologia indotta da ℝ). Questo spazio topologico non è compatto.