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Matematica per le applicazioni II – Topologia quinta parte Appunti scolastici Premium

Appunti di Matematica per le applicazioni II sulla Topologia quinta parte. Nello specifico gli argomenti trattati sono i seguenti: gli spazi metrici: la completezza, l'insieme limitato, la successione convergente, la successione di Cauchy, lo spazio metrico completo. Vedi di più

Esame di Matematica per le Applicazioni II docente Prof. A. Villanacci

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02 - Successione convergente. una successione in X . Per successione in X

uno spazio metrico e sia

Sia

intendiamo un insieme di punti di X in corrispondenza biunivoca con l'insieme dei numeri naturali

N . Una successione si indica anche esplicitandone, elencandoli, gli elementi che,

ovviamente, sono infiniti.

Esempio di successione in :

Si dice che converge per n tendente all'infinito quando esiste un punto x appartenente ad

X per cui si ha : per

cioè per cui la distanza fra il termine generico della successione ed il punto x tende a 0 per n

tendente all'infinito. In altre parole gli elementi della successione si "avvicinano" sempre più ad un

elemento dato x che si chiama il limite della successione.

Se la successione converge si scrive :

per .

E' importante notare che la definizione qui data di convergenza è analoga a quella riportata nel

capitolo degli spazi topologici qualora la topologia sia quella indotta dalla metrica tramite il

concetto di sfera aperta (vedi il capitolo della Topologia metrica).

La topologia indotta dalla metrica è una topologia di Hausdorff per cui, se una successione in uno

spazio metrico converge, il limite è unico.

Si noti anche che l'insieme dei punti di una successione convergente è un insieme limitato.

Esempi :

- 1 - la successione in R (dotato della metrica euclidea)

che evidentemente converge a 0 .

ovvero la sequenza dei numeri

Graficamente :

infatti la distanza da 0 (il limite della successione) di ciascun elemento della

successione tende a 0 .

- 2 - la successione in (dotato della metrica euclidea)

questa successione di coppie ordinate, , tende a

ovvero a 0 inteso come origine degli assi cartesiani costruiti su . Graficamente :

- 3 - la successione delle funzioni appartenenti a su cui è definita la

metrica tali funzioni sono e sono rappresentate dal seguente grafico :

Si vede bene che al crescere di n le funzioni si "schiacciano" sull'asse delle x . Si può

così intuire che esse tendono alla funzione y = 0 . Per verificare se l'intuizione è giusta occorre però

attenersi rigorosamente alla definizione di metrica scelta per questo spazio. La distanza fra una

generica funzione della successione e la funzione (supposta) limite y = 0 è evidentemente

(cioè ) in quanto la distanza fra due funzioni in questa metrica è il valore massimo che

la differenza fra le due funzioni (in valore assoluto) può assumere al variare di x nell'intervallo

. Graficamente : della successione dalla funzione y = 0 ,

La distanza fra la generica funzione

essendo , tende a 0 al tendere di n all'infinito. Per questo motivo possiamo affermare con

sicurezza che per come avevamo giustamente intuito.

appartenenti a

- 4 - la successione delle funzioni su cui è definita la

metrica dove la funzione trigonometrica

si tratta delle funzioni

(seno di x ) ha il seguente grafico :

Il grafico dei termini della successione è quindi :

Come nell'esempio precedente, anche qui sembra che la successione tenda alla

funzione y = 0 . Considerando il tipo di metrica qui utilizzata, l'affermazione è vera. La distanza fra

per cui possiamo

e la funzione limite y = 0 è evidentemente

una generica funzione

affermare che per .


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Sara F

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DESCRIZIONE APPUNTO

Appunti di Matematica per le applicazioni II sulla Topologia quinta parte. Nello specifico gli argomenti trattati sono i seguenti: gli spazi metrici: la completezza, l'insieme limitato, la successione convergente, la successione di Cauchy, lo spazio metrico completo.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e commercio
SSD:
Università: Firenze - Unifi
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Sara F di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica per le Applicazioni II e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Firenze - Unifi o del prof Villanacci Antonio.

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