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Matematica per le applicazioni II – Topologia quinta parte Appunti scolastici Premium

Appunti di Matematica per le applicazioni II sulla Topologia quinta parte. Nello specifico gli argomenti trattati sono i seguenti: gli spazi metrici: la completezza, l'insieme limitato, la successione convergente, la successione di Cauchy, lo spazio metrico completo. Vedi di più

Esame di Matematica per le Applicazioni II docente Prof. A. Villanacci

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- 3 - la successione delle funzioni appartenenti a su cui è definita la

metrica tali funzioni sono e sono rappresentate dal seguente grafico :

Si vede bene che al crescere di n le funzioni si "schiacciano" sull'asse delle x . Si può

così intuire che esse tendono alla funzione y = 0 . Per verificare se l'intuizione è giusta occorre però

attenersi rigorosamente alla definizione di metrica scelta per questo spazio. La distanza fra una

generica funzione della successione e la funzione (supposta) limite y = 0 è evidentemente

(cioè ) in quanto la distanza fra due funzioni in questa metrica è il valore massimo che

la differenza fra le due funzioni (in valore assoluto) può assumere al variare di x nell'intervallo

. Graficamente : della successione dalla funzione y = 0 ,

La distanza fra la generica funzione

essendo , tende a 0 al tendere di n all'infinito. Per questo motivo possiamo affermare con

sicurezza che per come avevamo giustamente intuito.

appartenenti a

- 4 - la successione delle funzioni su cui è definita la

metrica dove la funzione trigonometrica

si tratta delle funzioni

(seno di x ) ha il seguente grafico :

Il grafico dei termini della successione è quindi :

Come nell'esempio precedente, anche qui sembra che la successione tenda alla

funzione y = 0 . Considerando il tipo di metrica qui utilizzata, l'affermazione è vera. La distanza fra

per cui possiamo

e la funzione limite y = 0 è evidentemente

una generica funzione

affermare che per . appartenenti a su cui è definita la

- 5 - la successione delle funzioni

metrica tali funzioni sono e sono rappresentate dal grafico :

Si noti il fatto molto importante che esse passano tutte per i punti 0 e .

Osservando il grafico, le funzioni appaiono "schiacciarsi" sull'asse delle x per cui si potrebbe

ipotizzare che esse tendono alla funzione y = 0 . In verità, poiché esse passano tutte per , si ha

che la distanza di una generica funzione della successione dalla funzione y = 0 è sempre 1

perché 1 rappresenta appunto la massima differenza fra ciascuna funzione e y = 0 al variare

. Possiamo scrivere allora per ogni n per cui la successione

di x nell'intervallo

non converge, non ha limite.

- 6 - la successione delle funzioni appartenenti a con 0 < a < 1 su cui è

definita la metrica

in questo caso le funzioni sono le medesime dell'esempio precedente ma definite

sull'intervallo dove a è un punto qualunque interno a . Graficamente :

Su un tale dominio la successione ha limite e tende alla funzione y = 0 perché la

della successione e la funzione y = 0 è che, essendo

distanza fra la generica funzione per

per cui

a < 1 , tende a 0 per n tendente all'infinito. Abbiamo cioè

0 < . su cui è definita la

appartenenti a

- 7 - la successione delle funzioni

metrica qui abbiamo scelto una differente metrica e la distanza fra due funzioni è data dall'area

(non negativa) fra due funzioni come indicato nell'esempio in figura :

E' chiaro che la distanza fra e y = 0 è data dall'area del triangoloide :

(qui nel caso di n = 3 )

Tale distanza, al crescere di n , tende a 0 perché l'area del triangoloide si riduce

sempre più. Possiamo allora affermare che, nella presente metrica, la successione tende a y = 0 ,

per

cioè .

Si noti che una medesima successione, come mostrato in questi ultimi esempi, può avere limiti

diversi (o addirittura non convergere) al variare del dominio o della metrica. Questo fatto è di

estreme importanza.


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Sara F

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DESCRIZIONE APPUNTO

Appunti di Matematica per le applicazioni II sulla Topologia quinta parte. Nello specifico gli argomenti trattati sono i seguenti: gli spazi metrici: la completezza, l'insieme limitato, la successione convergente, la successione di Cauchy, lo spazio metrico completo.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e commercio
SSD:
Università: Firenze - Unifi
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Sara F di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica per le Applicazioni II e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Firenze - Unifi o del prof Villanacci Antonio.

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