Matematica per le applicazioni II – Topologia quinta parte

Analisi delle funzioni al crescere di n

Si vede bene che al crescere di n le funzioni si "schiacciano" sull'asse delle x. Si può così intuire che esse tendono alla funzione y = 0. Per verificare se l'intuizione è giusta occorre però attenersi rigorosamente alla definizione di metrica scelta per questo spazio. La distanza fra una generica funzione della successione e la funzione (supposta) limite y = 0 è evidentemente (cioè) in quanto la distanza fra due funzioni in questa metrica è il valore massimo che la differenza fra le due funzioni (in valore assoluto) può assumere al variare di x nell'intervallo. Graficamente: della successione dalla funzione y = 0, la distanza fra la generica funzione essendo, tende a 0 al tendere di n all'infinito. Per questo motivo possiamo affermare con sicurezza che per come avevamo giustamente intuito, appartenenti a - 4 - la successione delle funzioni su cui è definita la metrica dove la funzione.

trigonometricasi tratta delle funzioni(seno di x ) ha il seguente grafico :

Il grafico dei termini della successione è quindi :

Come nell'esempio precedente, anche qui sembra che la successione tenda alla funzione y = 0 . Considerando il tipo di metrica qui utilizzata, l'affermazione è vera. La distanza fraper cui possiamoe la funzione limite y = 0 è evidentementeuna generica funzioneaffermare che per . appartenenti a su cui è definita la- 5 - la successione delle funzionimetrica tali funzioni sono e sono rappresentate dal grafico :

Si noti il fatto molto importante che esse passano tutte per i punti 0 e .Osservando il grafico, le funzioni appaiono "schiacciarsi" sull'asse delle x per cui si potrebbeipotizzare che esse tendono alla funzione y = 0 . In verità, poiché esse passano tutte per , si hache la distanza di una generica funzione della successione dalla funzione y = 0 è sempre 1perché 1 rappresenta

Appunto la massima differenza fra ciascuna funzione e y = 0 al variare. Possiamo scrivere allora per ogni n per cui la successione di x nell'intervallo non converge, non ha limite.

- 6 - la successione delle funzioni appartenenti a con 0 < a < 1 su cui è definita la metrica in questo caso le funzioni sono le medesime dell'esempio precedente ma definite sull'intervallo dove a è un punto qualunque interno a . Graficamente : Su un tale dominio la successione ha limite e tende alla funzione y = 0 perché la distanza fra la generica funzione per per cui a < 1 , tende a 0 per n tendente all'infinito. Abbiamo cioè 0 < . su cui è definita la appartenenti a

- 7 - la successione delle funzioni metrica qui abbiamo scelto una differente metrica e la distanza fra due funzioni è data dall'area (non negativa) fra due funzioni come indicato nell'esempio in figura : E'

chiaro che la distanza fra e y = 0 è data dall'area del triangoloide :(qui nel caso di n = 3 )Tale distanza, al crescere di n , tende a 0 perché l'area del triangoloide si riduce sempre più. Possiamo allora affermare che, nella presente metrica, la successione tende a y = 0 , perciò .Si noti che una medesima successione, come mostrato in questi ultimi esempi, può avere limiti diversi (o addirittura non convergere) al variare del dominio o della metrica. Questo fatto è di estreme importanza.Diamo altri due esempi di successioni che non convergono (non hanno limite).
- 8 - la successione n in R (dotato della metrica euclidea)si tratta dei numeri 1;2;3;... che ovviamente non convergono ad un valore di R .
- 9 - la successione in Q (insieme dei numeri razionali dotato della metrica euclidea) gli elementi di questa successione sono le frazioni 2 ; 9/4 ; 64/27 ; 625/256 ; ... .Graficamente :
Come si intuisce dal grafico, l'andamento della

La successione è tale da indicare la convergenza ad un limite ben preciso inferiore a 3. Per n = 10000 si ottiene un valore di circa 2,7181459268249. Ulteriori indagini analitiche sulla successione mostrano, invece, che, pur avendo essa un "comportamento" convergente (sembra avvicinarsi ad un valore ben definito), in effetti non converge ad un numero razionale appartenente a Q (l'insieme delle frazioni di numeri interi). Il numero a cui la successione converge è un numero irrazionale (reale ma non razionale, cioè non espresso come frazione di due numeri interi) indicato con valore approssimato a 3 cifre decimali è 2,718. Questo esempio mostra che vi sono successioni dal "comportamento" convergente che non convergono effettivamente ad un punto appartenente all'insieme in cui la successione è definita. Questa particolarità è di fondamentale importanza e discrimina gli spazi metrici in

Due categorie, quelli cosiddetti completi e quelli non completi. Prima di definire esattamente cosa sia la completezza, però, occorre definire un criterio di convergenza che non sia legato al fatto che la successione converga o non ad un elemento dell'insieme in cui essa è definita, ma che descriva il "comportamento" della successione in modo "intrinseco", che cioè non necessiti di considerare altri punti all'infuori di quelli della successione stessa.

03 - Successione di Cauchy. Uno spazio metrico e sia una successione in X. Si dice che essa è una successione di Cauchy se: in dipendenza di un numero reale positivo esiste un numero naturale ovvero se per ogni numero per ogni numero naturale m ed ne sia minore di tale che la distanza fra gli elementi. In altre parole, la distanza fra due elementi della successione, al crescere del loro maggiori di indice, deve tendere a 0, cioè, più si procede nella successione, più le

distanze fra due elementiqualsiasi di essa diminuiscono.E' evidente che nella definizione di successione di Cauchy non si fa riferimento esplicito ad un punto preciso a cui essa converge. In questo modo si introduce un criterio di convergenza "intrinseco" alla successione stessa.L'esempio - 9 - del paragrafo precedente è un esempio classico di successione di Cauchy che non converge ad un elemento dell'insieme in cui la successione è definita (nella fattispecie, Q ).L'esempio - 8 - , invece, mostra una successione che non è una successione di Cauchy in quanto i suoi elementi hanno distanza che non tende a 0 al crescere dell'indice.Nell'esempio - 7 - abbiamo invece una successione convergente (ad un elemento dell'insieme in cui essa è definita) che è ovviamente una successione di Cauchy.In generale possiamo affermare che tutte le successioni convergenti (ad elementi degli insiemi in cui esse sono definite) sono

Successioni di Cauchy mentre il viceversa, come già ampiamente mostrato, non è vero. Una successione di Cauchy può convergere ad un elemento non contenuto nell'insieme di definizione della successione.

04 - Spazio metrico completo.

Uno spazio metrico si dice completo se ogni successione di Cauchy in X è convergente ad un punto di X.

Esempi:

1. lo spazio Q (insieme dei numeri razionali) dotato della metrica euclidea siccome, come visto in precedenza, vi sono successioni di Cauchy in Q non convergenti in Q, tale spazio non è completo. Si può allora immaginare che tali successioni convergano a valori non razionali (irrazionali). L'unione dei numeri razionali (Q) e dei numeri irrazionali forma l'insieme dei numeri reali R. Questa definizione di R, ottenuta utilizzando le successioni di Cauchy, è analoga a quella data nel capitolo sui numeri tramite i tagli di Dedekind.
2. gli spazi metrici euclidei R, sono

completiquesto fatto è di estrema importanza e dotato- 3 - lo spazio delle funzioni reali continue definite sull'intervallodella metricaè uno spazio metrico completo e dotato- 4 - lo spazio delle funzioni reali continue definite sull'intervallodella metricail fatto che questo spazio non sia completo è molto importante (in negativo) in quanto sicerca sempre la completezza. Il tentativo di "ampliare" tale spazio rendendolo completo porta alladefinizione dello spazio di Hilbert (lo spazio delle funzioni a quadrato sommabile) checostituisce, fra l'altro, la base matematica della Meccanica Quantistica.Mostriamo con un esempio grafico il perchè lo spazio in questione non è completo.Consideriamo la successione delle funzioni continue così come indicate nel grafico :