Matematica per le applicazioni II – Topologia quinta parte

Spazi metrici: completezza

Uno spazio è completo se, intuitivamente, una volta che vi si è "dentro" non se ne può più "uscire". Viceversa, se da uno spazio si può "uscire", esso è incompleto. Naturalmente il concetto così esposto è solo qualitativo, descrittivo, e necessita, come vedremo, di una definizione molto rigorosa.

Esempio di incompletezza/completezza

L'esempio classico di incompletezza/completezza è quello dell'insieme dei numeri razionali Q e dei numeri reali R. Anzi, il concetto di completezza si può dire che nasca dal confronto di quei due insiemi. Consideriamo l'insieme dei numeri razionali (Q) ovvero dei numeri che si possono esprimere come frazioni di numeri interi (es. 1/2, -2/3, 4/1 = 4, 0/1 = 0 ecc. ecc.). L'insieme Q non è completo perché successioni di numeri razionali (sequenze numerabili di numeri razionali) possono tendere (si avvicinano sempre più) a numeri che non sono razionali. Tali numeri sono i numeri irrazionali (es. π, √2, e, (numero di Nepero), ecc. ecc.).

L'insieme dei numeri razionali Q è quindi incompleto perché, una volta al suo interno, vi se ne può uscire. L'insieme dei numeri razionali unito all'insieme dei numeri irrazionali, il cosiddetto insieme dei numeri reali R, invece, è completo. Ogni sua successione che tende ad un numero, tende ad un numero reale, contenuto nell'insieme stesso. L'insieme dei numeri reali R è completo e non "necessita" di altri numeri.

Il concetto di completezza è molto "forte" e importante e da esso derivano molte utili proprietà per cui, quando si può, si cerca sempre di "lavorare" con spazi completi.

01 - Insieme limitato

Uno spazio metrico ovvero sia dato l'insieme X dotato della metrica d. Sia A un sottoinsieme (non vuoto) proprio di X, cioè. Si dice che A è un insieme limitato se, dato un punto qualunque appartenente ad A, esiste un numero reale positivo per cui si abbia per ogni x appartenente di A.

Per esempio, in uno spazio Euclideo dotato della metrica euclidea, l'insieme A indicato in figura è limitato. L'insieme dotato della metrica euclidea, invece, non è ovviamente limitato perché dato un punto qualsiasi ed un numero reale positivo qualunque, esiste sempre un punto x di distanza maggiore di quel numero reale positivo.

02 - Successione convergente

Sia uno spazio metrico e sia una successione in X. Per successione in X intendiamo un insieme di punti di X in corrispondenza biunivoca con l'insieme dei numeri naturali N. Una successione si indica anche esplicitandone, elencandoli, gli elementi che, ovviamente, sono infiniti.

Si dice che converge per n tendente all'infinito quando esiste un punto x appartenente ad X per cui si ha: perciò la distanza fra il termine generico della successione ed il punto x tende a 0 per n tendente all'infinito. In altre parole gli elementi della successione si "avvicinano" sempre più ad un elemento dato x che si chiama il limite della successione.

Se la successione converge si scrive: per n tendente all'infinito.

È importante notare che la definizione qui data di convergenza è analoga a quella riportata nel capitolo degli spazi topologici qualora la topologia sia quella indotta dalla metrica tramite il concetto di sfera aperta (vedi il capitolo della Topologia metrica). La topologia indotta dalla metrica è una topologia di Hausdorff per cui, se una successione in uno spazio metrico...