Matematica per le applicazioni II - Topologia prima parte

Spazi topologici

Sia X un insieme non vuoto e è uno spazio topologico detto spazio topologico minimale o banale. Per esempio se X = {1, 2, 3}: 05 - Spazio topologico massimale.

Sia X un insieme non vuoto e sia P(X) l'insieme potenza di X (ovvero l'insieme di tutti i sottoinsiemi di X). Sia il sistema d'intorni di tutti i sottoinsiemi di X che contengono x, cioè. Allora (più precisamente l'unione di tutti i sistemi d'intorni di x dà la potenza di X, cioè, ma il concetto è ugualmente chiaro) per cui (X; P(X)) è uno spazio topologico. Esso è detto spazio topologico massimale o discreto. Per esempio se X = {1, 2, 3} abbiamo: graficamente: 06 - Topologia metrica.

Uno spazio metrico (vedi capitolo sugli spazi metrici). Sia Sia una sfera aperta di centro x e raggio r > 0 (la sfera aperta è definita come l'insieme dove è la distanza fra i punti x e y).

topologia è uno spazio topologico. Per esempio se X = R (numeri reali) :08 - Topologia più fine di un'altra. , eConsideriamo due topologie diverse definite sullo stesso insieme X , è. Otteniamo così gli spazi topologici e . Se si verifica cheper ogni x appartenente ad X allora si dice che τ' è più fine disottoinsieme proprio diτ'' e si scrive τ'' < τ'.Esempio :- Sia X = R (insieme dei numeri reali). Sia τ' la topologia metrica naturale su R eτ'' la topologia discreta su R . Siccome {x} appartiene a ma non appartiene a(perché le sfere aperte hanno un raggio diverso da 0 ), si ha che è sottoinsieme proprio diper ogni x appartenente ad R per cui τ' < τ'' ovvero τ'' è più fine di τ' .09 – Punto di accumulazione, non isolato, isolato. Derivato.uno spazio topologico ed A un

sottoinsieme di X. Un punto x appartenente a SiaX si dice punto di accumulazione di A se per ogni intorno U di x si ha(dove è l'insieme vuoto). Se x è punto di accumulazione di A ed x appartiene ad A si dice che x è punto non isolato di A. Se x non è punto di accumulazione di A ed x appartiene ad A si dice che x è punto isolato di A. L'insieme dei punti di accumulazione di A si chiama derivato di A e si denota con D(A). Esempi:

1. La topologia massimale non permette l'esistenza di punti di accumulazione. Infatti ogni elemento x di uno spazio topologico massimale possiede l'intorno {x} per cui .
2. Se X è uno spazio topologico minimale costituito da più di un elemento ed A è un suo sottoinsieme anch'esso costituito da più di un elemento, allora D(A) = X. uno spazio metrico e sia lo spazio topologico indotto dalla metrica
3. Sia d. Se A è un sottoinsieme di X, allora ogni punto di

accumulazione di A secondo la metrica d (vedi capitolo sulla topologia metrica) è punto di accumulazione secondo la topologia τ. Questo è un fatto molto importante e sta alla base della topologia metrica. Come esempio di punto di accumulazione nella topologia metrica consideriamo lo spazio euclideo reale a 2 dimensioni, un suo sottoinsieme A ed i punti x e y così come indicati nel grafico:

I punti x e y sono punti di accumulazione dell'insieme A. Infatti, ogni sfera aperta con centro in x e y, escludendo x e y stessi, interseca l'insieme A almeno in un punto. Un altro esempio interessante è costituito dallo spazio metrico delle funzioni continue sull'intervallo [a,b] dotato della metrica. In questo spazio metrico la distanza fra due funzioni è data dall'area indicata nel grafico:

Data una funzione f, una sua sfera aperta di raggio r è costituita da tutte le funzioni continue che stanno nella fascia colorata seguente:

ovvero

dalle funzioni g tali che . Consideriamo ora l'insieme A formato dalle funzioni continue tali che il loro integrale sia diverso da 0 cioè sia.Un punto di accumulazione di A è allora la funzione g = 0 su [a,b]. Infatti: perché in ogni sfera aperta di g, escludendo g stesso, c'è sempre una funzione f con integrale non nullo e quindi appartenente ad A. dell'esempio illustrato nel paragrafo 07 ed- 4 - Consideriamo lo spazio topologico un suo sottoinsieme proprio A. Ogni punto x appartenente ad X e minore di ogni elemento di A è sicuramente punto di accumulazione di A. 10 – Insieme chiuso. Chiusura. uno spazio topologico ed A un sottoinsieme di X. L'insieme A si dice che è Siachiuso se D(A) è sottoinsieme di A, cioè. L'insieme si chiama chiusura o aderenza di A. Esempi: - 1 - Sia R lo spazio euclideo reale ad 1 dimensione (dotato della topologia naturale). L'intervallo [a,b], cioè

l'insieme dei punti x per cui si ha , è un insieme chiuso (i punti a e b fanno parte dell'insieme in questione) :lo spazio euclideo reale a 2 dimensioni (dotato della topologia naturale). Il- 2 - Siacerchio di raggio 1 centrato nell'origine comprensivo anche dei punti della circonferenza, ovvero, è un insieme chiuso :l'insieme11 – Insieme aperto.uno spazio topologico ed O un suo sottoinsieme. L'insieme O si dice aperto se OSiaè un intorno di tutti i suoi punti, ovvero se .L'insieme di tutti i sottoinsiemi aperti di X sarà indicato con o = {O ; O sottoinsieme aperto diX} .Esempi :- 1 - Sia R lo spazio euclideo reale ad 1 dimensione (dotato della topologia naturale).L'intervallo ]a,b[ (si noti il simbolismo), cioè l'insieme dei punti x per cui si ha a<x<b è uninsieme aperto (i punti a e b non fanno parte dell'insieme in questione) :- 2 - Sia lo spazio euclideo reale a 2 dimensioni (dotato

Il cerchio di raggio 1 centrato nell'origine, esclusi i punti della circonferenza, è un insieme aperto.

Spazio topologico definito a partire dagli insiemi aperti. Gli spazi topologici possono essere definiti a partire dagli aperti (invece che dagli intorni) e questa definizione è equivalente all'altra.

Consideriamo l'insieme X non vuoto. Sia O un sottoinsieme di P(X) (l'insieme potenza di X, ovvero l'insieme di tutti i sottoinsiemi di X) tale che:

1. L'insieme vuoto appartiene ad O
2. X appartiene ad O
3. Se A appartiene ad O e A è un insieme qualunque, allora l'unione degli A (con i = 1, 2, ..., n) appartiene ad O
4. Se A appartiene ad O, allora l'intersezione degli A (con i = 1, 2, ..., n) appartiene ad O
5. Se O appartiene ad O, allora esiste una ed una sola topologia τ per X nella quale O è l'insieme degli aperti. Si dice che

Ogni insieme può essere dotato di una topologia, che è una collezione di sottoinsiemi chiamati aperti, che soddisfano alcune proprietà. Questa collezione di aperti è indicata con il simbolo τ e definisce la topologia τ su X.

Esistono due modi principali per definire la topologia su X:

1. Definire la topologia τ come la collezione di tutti gli aperti di X. In questo caso, la topologia τ è detta topologia generata dagli aperti di X.
2. Definire la topologia τ come la collezione di tutti gli aperti che soddisfano una certa proprietà. Ad esempio, si può definire la topologia τ come la collezione di tutti gli aperti che sono sfere aperte di centro x e raggio r. In questo caso, la topologia τ è detta topologia metrica indotta da una metrica d su X.

Ecco alcuni esempi di spazi topologici:

1. Sia X un insieme non vuoto. La topologia τ generata dagli aperti è la topologia minimale su X, i cui aperti sono l'insieme vuoto e X stesso.
2. Sia X un insieme non vuoto. La topologia τ generata dagli aperti è la topologia massimale su X, i cui aperti sono tutti gli insiemi di X.
3. Sia X uno spazio metrico e sia d una metrica su X. La topologia τ generata dagli aperti è la topologia metrica indotta da d su X, i cui aperti sono tutte le sfere aperte di centro x e raggio r.
4. Sia X un insieme parzialmente ordinato non vuoto su cui è definita una relazione di ordine. La topologia τ generata dagli aperti è la topologia di ordine su X, i cui aperti sono gli insiemi che soddisfano la proprietà di essere superiori o inferiori ad un certo elemento di X.

spazio topologico illustrato al paragrafo 07 i cui aperti sono o .13 – Punto interno, esterno, di frontiera.

Sia uno spazio topologico, A un sottoinsieme di X ed x un punto di A . Se A è un, allora si dice che x è un punto interno di A.intorno di x , cioèUn punto x appartenente ad X si dice esterno ad A se è interno al complementare di Arispetto ad X , cioè ad .Un punto x appartenente ad X si dice di frontiera per A se non è né interno né esterno ad A.dotato della topologia naturale :Esempio ina è punto interno ad A , b di frontiera e c esterno.14 – Interno e frontiera di un insieme.uno spazio topologico ed A un suo sottoinsieme. Si chiama interno di A l’insiemeSiadei punti interni di A e lo si indica con Int(A) .Si chiama frontiera di A l’insieme dei punti di frontiera di A e lo si indica con F(A) .Esempio in dotato della topologia naturale :15 – Insieme denso in un altro.Se è uno

Spazio topologico ed A è due suoi sottoinsiemi, si dice che A è denso in B se A è sottoinsieme di B e B è sottoinsieme di Ā (chiusura di A), cioè se .

Esempi:

1. Nello spazio euclideo reale R ad 1 dimensione dotato della topologia naturale, l'intervallo aperto ]a,b[ è denso nell'intervallo chiuso [a,b].
2. Nello spazio euclideo reale a 2 dimensioni dotato della topologia naturale, il cerchio senza circonferenza è denso nel cerchio con circonferenza.

16 - Sottospazio topologico. È uno spazio topologico ed Y un suo sottoinsieme non vuoto. Dalla topologia τ si può dedurre la topologia τ' semplicemente prendendo tutte le intersezioni fra Y e gli intorni rispetto a τ di tutti i punti di Y.