Matematica per le applicazioni II - Topologia prima parte

Spazi topologici : definizione e principali proprietà

Gli spazi topologici sono insiemi per tutti gli elementi (detti anche semplicemente punti) dei quali è

definito un sistema (ovvero un insieme) di intorni.

Gli intorni di un punto sono sottoinsiemi dello spazio topologico datati di alcune proprietà la

principale delle quali è che essi debbano contenere il punto stesso.

Gli spazi topologici sono allora strutture molto generali baste sul concetto molto generico di

appartenenza.

Uno spazio metrico, come vedremo, è sempre considerabile come uno spazio topologico. Il

viceversa non è sempre vero. Le proprietà topologiche degli spazi metrici sono desunte direttamente

dai concetti definiti sugli spazi topologici. Gli spazi topologici costituiscono quindi strutture di

riferimento basilari.

Gli spazi topologici e la topologia costituiscono la vera anima della matematica. Con i concetti della

topologia si possono trattare insiemi di qualunque tipo ed in particolare insiemi costituiti da punti

geometrici e da funzioni.

Seguono i concetti fondamentali che definiscono uno spazio topologico.

01 –Sistema d’intorni. un insieme non vuoto

Sia X un insieme diverso dal vuoto. Per ogni x di X sia

di sottoinsiemi di X tali che : si dice che è un sistema di intorni di x .

Ogni U appartenente ad si dice intorno di x e

Il significato dei 4 punti sopra enunciati è il seguente :

- 1 - un intorno di x è un insieme che contiene x :

- 2 - se un intorno di x è sottoinsieme di un sottoinsieme di X allora quell’insieme è

esso stesso un intorno di x :

- 3 - se due insiemi sono intorni di x allora la loro intersezione è essa stessa un intorno di x :

- 4 - dato un intorno di x esiste almeno un altro intorno di x tale che il primo insieme è

intorno di ogni punto del secondo insieme. Ovviamente il secondo insieme è sottoinsieme del primo :

02 – Definizione di spazio topologico. sia l’insieme di tutti i sistemi d’intorni definiti per

Sia X un insieme non nullo e

ogni x appartenente ad X . Allora l’insieme X dotato di questi sistemi di intorni è uno spazio

topologico e si indica con . L’insieme dei sistemi d’intorni τ è una topologia definita su

X e gli elementi di X si chiamano punti dello spazio topologico.

Vediamo ora alcuni esempi di spazi topologici.

03 - Uno spazio topologico di 3 elementi. = {X}. L'insieme τ =

Sia X = {1 , 2 , 3} e = {{1} , {1 , 2} , {1 , 3} , X} , = {X} ,

} è una topologia per cui

{ è uno spazio topologico.

, ,

Graficamente :

04 - Spazio topologico minimale. per ogni x appartenente ad X . Allora (X ; {X})

Sia X un insieme non vuoto e

è uno spazio topologico detto spazio topologico minimale o banale .

Per esempio se X = {1 , 2 , 3} :

05 - Spazio topologico massimale.

Sia X un insieme non vuoto e sia P(X) l’insieme potenza di X (ovvero l’insieme di tutti i

per ogni x appartenente ad X uguale all’insieme

sottoinsiemi di X ). Sia il sistema d’intorni

di tutti i sottoinsiemi di X che contengono x , cioè . Allora

(più precisamente l'unione di tutti i sistemi d'intorni di x dà la potenza di X ,

cioè , ma il concetto è ugualmente chiaro) per cui (X ; P(X)) è uno spazio

topologico. Esso è detto spazio topologico massimale o discreto.

Per esempio se X = {1 , 2 , 3} abbiamo :

graficamente :

06 - Topologia metrica.

uno spazio metrico (vedi capitolo sugli spazi metrici). Sia

Sia una sfera aperta

di centro x e raggio r > 0 (la sfera aperta è definita come l'insieme

dove è la distanza fra i punti x e