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Matematica per le applicazioni II - Topologia prima parte Appunti scolastici Premium

Appunti di Matematica per le applicazioni II sulla Topologia prima parte. Nello specifico gli argomenti trattati sono i seguenti: gli spazi topologici: la definizione e le principali proprietà, il sistema d’intorni, la definizione di spazio topologico, uno spazio topologico di tre elementi.

Esame di Matematica per le Applicazioni II docente Prof. A. Villanacci

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Se x non è punto di accumulazione di A ed x appartiene ad A si dice che x è punto

isolato di A .

L’insieme dei punti di accumulazione di A si chiama derivato di A e si denota con D(A) .

Esempi :

- 1 - La topologia massimale non permette l'esistenza di punti di accumulazione. Infatti ogni

elemento x di uno spazio topologico massimale possiede l'intorno {x} per cui .

- 2 - Se X è uno spazio topologico minimale costituito da più di un elemento ed A è un suo

sottoinsieme anch'esso costituito da più di un elemento, allora D(A) = X .

uno spazio metrico e sia lo spazio topologico indotto dalla metrica

- 3 - Sia

d . Se A è un sottoinsieme di X , allora ogni punto di accumulazione di A secondo la metrica d

(vedi capitolo sulla topologia metrica) è punto di accumulazione secondo la topologia τ . Questo è

un fatto molto importante e sta alla base della topologia metrica. Come esempio di punto di

accumulazione nella topologia metrica consideriamo lo spazio euclideo reale a 2 dimensioni ,

un suo sottoinsieme A ed i punti x e y così come indicati nel grafico :

I punti x e y sono punti di accumulazione dell'insieme A . Infatti, ogni sfera aperta con centro in

x e y , escludendo x e y stessi, interseca l'insieme A almeno in un punto. Un altro esempio

interessante è costituito dallo spazio metrico delle funzioni continue sull'intervallo [a,b] dotato

della metrica

.

In questo spazio metrico la distanza fra due funzioni è data dall'area indicata nel grafico :

Data una funzione f , una sua sfera aperta di raggio r è costituita da tutte le funzioni continue che

stanno nella fascia colorata seguente :

ovvero dalle funzioni g tali che . Consideriamo ora l'insieme

A formato dalle funzioni continue tali che il loro integrale sia diverso da 0 cioè sia

.

Un punto di accumulazione di A è allora la funzione g = 0 su [a,b]. Infatti :

perché in ogni sfera aperta di g , escludendo g stesso, c'è sempre una funzione f con integrale

non nullo e quindi appartenente ad A . dell'esempio illustrato nel paragrafo 07 ed

- 4 - Consideriamo lo spazio topologico

un suo sottoinsieme proprio A . Ogni punto x appartenente ad X e minore di ogni elemento di

A è sicuramente punto di accumulazione di A .

10 – Insieme chiuso. Chiusura.

uno spazio topologico ed A un sottoinsieme di X . L’insieme A si dice che è

Sia

chiuso se D(A) è sottoinsieme di A , cioè .

L’insieme si chiama chiusura o aderenza di A .

Esempi :

- 1 - Sia R lo spazio euclideo reale ad 1 dimensione (dotato della topologia naturale).

L'intervallo [a,b] , cioè l'insieme dei punti x per cui si ha , è un insieme chiuso (i punti

a e b fanno parte dell'insieme in questione) :

lo spazio euclideo reale a 2 dimensioni (dotato della topologia naturale). Il

- 2 - Sia

cerchio di raggio 1 centrato nell'origine comprensivo anche dei punti della circonferenza, ovvero

, è un insieme chiuso :

l'insieme

11 – Insieme aperto.

uno spazio topologico ed O un suo sottoinsieme. L'insieme O si dice aperto se O

Sia

è un intorno di tutti i suoi punti, ovvero se .

L’insieme di tutti i sottoinsiemi aperti di X sarà indicato con o = {O ; O sottoinsieme aperto di

X} .

Esempi :

- 1 - Sia R lo spazio euclideo reale ad 1 dimensione (dotato della topologia naturale).

L'intervallo ]a,b[ (si noti il simbolismo), cioè l'insieme dei punti x per cui si ha a<x<b è un

insieme aperto (i punti a e b non fanno parte dell'insieme in questione) :

- 2 - Sia lo spazio euclideo reale a 2 dimensioni (dotato della topologia naturale). Il cerchio

di raggio 1 centrato nell'origine esclusi i punti della circonferenza, ovvero l'insieme

, è un insieme aperto :

12 – Spazio topologico definito a partire dagli insiemi aperti.

Gli spazi topologici possono essere definiti a partire dagli aperti (invece che dagli intorni) e questa

definizione è equivalente all’altra.

Consideriamo l'insieme X non vuoto. Sia o un sottoinsieme di P(X) (l’insieme potenza di X

, ovvero l’insieme di tutti i sottoinsiemi di X) tale che :

- 1 - l’insieme vuoto appartiene ad o

- 2 - X appartiene ad o

appartiene all'insieme A ed A è un insieme qualunque)

(dove

- 3 - se appartiene ad o , cioè

appartiene ad o allora l’unione degli

(con i = 1 , 2 , … , n) appartiene ad o allora l’intersezione degli

- 4 - se

appartiene ad o , cioè

allora esiste una ed una sola topologia τ per X nella quale o è l’insieme degli aperti. Si dice

che o induce la topologia τ .

Questo fatto introduce quindi la possibilità di definire uno spazio topologico a partire dagli insieme

ed è equivalente allo spazio con la topologia

aperti. Un tale spazio si indicherà con

τ generata dagli aperti o .

Esempi :

- 1 - Sia X un insieme non vuoto. Sia , allora X è lo spazio topologico minimale

i cui aperti sono o .

- 2 - Sia X un insieme non vuoto. Sia o = P(x) , allora X è lo spazio topologico massimale

i cui aperti sono o . uno spazio metrico e sia la sfera aperta di centro x e raggio r . Sia

- 3 - Sia

O un insieme costituito dall'unione di arbitrarie sfere aperte e sia o l'insieme di tutti gli insiemi O

. Allora X è uno spazio topologico dotato della topologia metrica indotta da d i cui aperti sono o

. un insieme parzialmente ordinato diverso dal vuoto su cui sono definiti gli

- 4 - Sia

insiemi . Sia O l'unione di arbitrari S(x) ed o l'insieme di tutti i possibili

O . Allora X è lo spazio topologico illustrato al paragrafo 07 i cui aperti sono o .

13 – Punto interno, esterno, di frontiera.

Sia uno spazio topologico, A un sottoinsieme di X ed x un punto di A . Se A è un

, allora si dice che x è un punto interno di A.

intorno di x , cioè

Un punto x appartenente ad X si dice esterno ad A se è interno al complementare di A

rispetto ad X , cioè ad .

Un punto x appartenente ad X si dice di frontiera per A se non è né interno né esterno ad A.

dotato della topologia naturale :

Esempio in

a è punto interno ad A , b di frontiera e c esterno.

14 – Interno e frontiera di un insieme.

uno spazio topologico ed A un suo sottoinsieme. Si chiama interno di A l’insieme

Sia

dei punti interni di A e lo si indica con Int(A) .

Si chiama frontiera di A l’insieme dei punti di frontiera di A e lo si indica con F(A) .


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AUTORE

Sara F

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+1 anno fa


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e commercio
SSD:
Università: Firenze - Unifi
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Sara F di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica per le Applicazioni II e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Firenze - Unifi o del prof Villanacci Antonio.

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