Che materia stai cercando?

Matematica per le applicazioni II - Topologia prima parte

Appunti di Matematica per le applicazioni II sulla Topologia prima parte. Nello specifico gli argomenti trattati sono i seguenti: gli spazi topologici: la definizione e le principali proprietà, il sistema d’intorni, la definizione di spazio topologico, uno spazio topologico di tre elementi.

Esame di Matematica per le Applicazioni II docente Prof. A. Villanacci

Anteprima

ESTRATTO DOCUMENTO

- 4 - dato un intorno di x esiste almeno un altro intorno di x tale che il primo insieme è

intorno di ogni punto del secondo insieme. Ovviamente il secondo insieme è sottoinsieme del primo :

02 – Definizione di spazio topologico. sia l’insieme di tutti i sistemi d’intorni definiti per

Sia X un insieme non nullo e

ogni x appartenente ad X . Allora l’insieme X dotato di questi sistemi di intorni è uno spazio

topologico e si indica con . L’insieme dei sistemi d’intorni τ è una topologia definita su

X e gli elementi di X si chiamano punti dello spazio topologico.

Vediamo ora alcuni esempi di spazi topologici.

03 - Uno spazio topologico di 3 elementi. = {X}. L'insieme τ =

Sia X = {1 , 2 , 3} e = {{1} , {1 , 2} , {1 , 3} , X} , = {X} ,

} è una topologia per cui

{ è uno spazio topologico.

, ,

Graficamente :

04 - Spazio topologico minimale. per ogni x appartenente ad X . Allora (X ; {X})

Sia X un insieme non vuoto e

è uno spazio topologico detto spazio topologico minimale o banale .

Per esempio se X = {1 , 2 , 3} :

05 - Spazio topologico massimale.

Sia X un insieme non vuoto e sia P(X) l’insieme potenza di X (ovvero l’insieme di tutti i

per ogni x appartenente ad X uguale all’insieme

sottoinsiemi di X ). Sia il sistema d’intorni

di tutti i sottoinsiemi di X che contengono x , cioè . Allora

(più precisamente l'unione di tutti i sistemi d'intorni di x dà la potenza di X ,

cioè , ma il concetto è ugualmente chiaro) per cui (X ; P(X)) è uno spazio

topologico. Esso è detto spazio topologico massimale o discreto.

Per esempio se X = {1 , 2 , 3} abbiamo :

graficamente :

06 - Topologia metrica.

uno spazio metrico (vedi capitolo sugli spazi metrici). Sia

Sia una sfera aperta

di centro x e raggio r > 0 (la sfera aperta è definita come l'insieme

dove è la distanza fra i punti x e y ) . Consideriamo il sistema d’intorni

per ogni x appartenente ad X . La topologia

, detta topologia metrica generata da d , determina lo spazio topologico .

Nel caso di la topologia metrica si chiama anche topologia naturale.

è lo spazio euclideo reale a n dimensioni in cui la metrica è definita come generalizzazione del

teorema di Pitagora, cioè :

e

dove sono due punti (n-ple ordinate) di .

Raffigurazione della metrica in (spazio euclideo reale a 2 dimensioni) :

(spazio euclideo reale a 2 dimensioni). L'insieme U raffigurato

Esempio di intorno in

rappresenta un intorno di x :

Quanto qui affermato mostra l’importante fatto che ogni spazio metrico è anche uno spazio

topologico dove la topologia è determinata dalle sfere aperte dello spazio metrico in questione.

Questo è un risultato di fondamentale importanza.

07 - Altro esempio di spazio topologico.

un insieme parzialmente ordinato diverso dal vuoto. Siano gli insiemi

Sia . Allora è una topologia e

e

è uno spazio topologico.

Per esempio se X = R (numeri reali) :

08 - Topologia più fine di un'altra. , e

Consideriamo due topologie diverse definite sullo stesso insieme X , è

. Otteniamo così gli spazi topologici e . Se si verifica che

per ogni x appartenente ad X allora si dice che τ’ è più fine di

sottoinsieme proprio di

τ’’ e si scrive τ’’ < τ’ .

Esempio :

- Sia X = R (insieme dei numeri reali). Sia τ’ la topologia metrica naturale su R e

τ’’ la topologia discreta su R . Siccome {x} appartiene a ma non appartiene a

(perché le sfere aperte hanno un raggio diverso da 0 ), si ha che è sottoinsieme proprio di

per ogni x appartenente ad R per cui τ’ < τ’’ ovvero τ’’ è più fine di τ’ .

09 – Punto di accumulazione, non isolato, isolato. Derivato.

uno spazio topologico ed A un sottoinsieme di X . Un punto x appartenente ad

Sia

X si dice punto di accumulazione di A se per ogni intorno U di x si ha

(dove è l'insieme vuoto).

Se x è punto di accumulazione di A ed x appartiene ad A si dice che x è punto non

isolato di A .

Se x non è punto di accumulazione di A ed x appartiene ad A si dice che x è punto

isolato di A .

L’insieme dei punti di accumulazione di A si chiama derivato di A e si denota con D(A) .

Esempi :

- 1 - La topologia massimale non permette l'esistenza di punti di accumulazione. Infatti ogni

elemento x di uno spazio topologico massimale possiede l'intorno {x} per cui .

- 2 - Se X è uno spazio topologico minimale costituito da più di un elemento ed A è un suo

sottoinsieme anch'esso costituito da più di un elemento, allora D(A) = X .

uno spazio metrico e sia lo spazio topologico indotto dalla metrica

- 3 - Sia

d . Se A è un sottoinsieme di X , allora ogni punto di accumulazione di A secondo la metrica d

(vedi capitolo sulla topologia metrica) è punto di accumulazione secondo la topologia τ . Questo è

un fatto molto importante e sta alla base della topologia metrica. Come esempio di punto di

accumulazione nella topologia metrica consideriamo lo spazio euclideo reale a 2 dimensioni ,

un suo sottoinsieme A ed i punti x e y così come indicati nel grafico :

I punti x e y sono punti di accumulazione dell'insieme A . Infatti, ogni sfera aperta con centro in

x e y , escludendo x e y stessi, interseca l'insieme A almeno in un punto. Un altro esempio

interessante è costituito dallo spazio metrico delle funzioni continue sull'intervallo [a,b] dotato

della metrica

.

In questo spazio metrico la distanza fra due funzioni è data dall'area indicata nel grafico :

Data una funzione f , una sua sfera aperta di raggio r è costituita da tutte le funzioni continue che

stanno nella fascia colorata seguente :

ovvero dalle funzioni g tali che . Consideriamo ora l'insieme

A formato dalle funzioni continue tali che il loro integrale sia diverso da 0 cioè sia

.


PAGINE

14

PESO

264.19 KB

AUTORE

Sara F

PUBBLICATO

+1 anno fa


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e commercio
SSD:
Università: Firenze - Unifi
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Sara F di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica per le Applicazioni II e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Firenze - Unifi o del prof Villanacci Antonio.

Acquista con carta o conto PayPal

Scarica il file tutte le volte che vuoi

Paga con un conto PayPal per usufruire della garanzia Soddisfatto o rimborsato

Recensioni
Ti è piaciuto questo appunto? Valutalo!

Altri appunti di Matematica per le applicazioni ii

Matematica per le applicazioni II - Topologia seconda parte
Appunto
Matematica per le applicazioni II - Topologia terza parte
Appunto
Matematica per le applicazioni II - Topologia quarta parte
Appunto
Matematica per le applicazioni II – Topologia quinta parte
Appunto