Matematica per le applicazioni II - Topologia quarta parte

Spazi metrici: definizione ed esempi

Prendiamo in considerazione un insieme che contiene elementi di qualsiasi tipo. Se è possibile definire una distanza fra ciascuna coppia di elementi, allora abbiamo definito uno spazio metrico. Gli elementi di questo spazio metrico si chiamano anche semplicemente punti.

Si noti, fatto molto importante, che usiamo in generale due parole tipiche della geometria (spazio e punti) anche se l'insieme in questione non è un insieme di punti geometrici. In effetti, anche se usiamo tali parole, ci dobbiamo astrarre dal loro significato comune. In matematica la parola spazio è sinonimo di insieme e punto è sinonimo di elemento di un insieme.

Anche per la distanza (anch'essa concetto derivato dalla geometria) dobbiamo astrarci e considerarla solo una funzione fra due punti ed i numeri reali positivi uniti allo zero, in quanto la distanza si prende fra due punti e dà come risultato un valore positivo o nullo.

A prima vista può sembrare strano considerare una distanza fra due elementi di un insieme che non sia prettamente un insieme di punti geometrici. In realtà si può definire (è fondamentale sottolinearlo) una distanza fra oggetti che non sono punti geometrici. L'importante è che tale distanza soddisfi alcune semplici regole valide per ogni tipo di distanza, regole desunte dalle proprietà della distanza fra punti geometrici.

Questa generalizzazione del concetto di distanza ad insiemi non propriamente geometrici è di fondamentale importanza e costituisce un fatto ricco di proficue conseguenze. Vedremo che si può definire una distanza anche fra le funzioni.

Definizione di metrica e di spazio metrico. Punti. Distanza.

Sia X un insieme non vuoto. Una applicazione (funzione): \(d: X \times X \rightarrow \mathbb{R}^+\) (dove \(X \times X\) è il prodotto cartesiano di X per se stesso, ovvero l'insieme delle coppie ordinate di elementi di X) si dice che è una metrica se valgono le seguenti proprietà:

• Per ogni x e y appartenenti ad X, \(d(x, y) \geq 0\) (positività).
• Per ogni x e y appartenenti ad X, \(d(x, y) = d(y, x)\) (simmetria).
• Per ogni x e y appartenenti ad X, \(d(x, y) = 0 \Rightarrow x = y\) e viceversa.
• Per ogni x, y, z appartenenti ad X, \(d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z)\) (disuguaglianza triangolare).

L'insieme X munito della metrica d è denotato con \((X, d)\) ed è detto spazio metrico. Gli elementi di X si dicono punti ed il valore di \(d(x, y)\) si chiama distanza di x da y.

La definizione di spazio metrico è, come si può vedere, molto semplice. Le quattro regole che definiscono una metrica sono dedotte dall'esperienza ordinaria di misurare la distanza geometrica fra due punti dello spazio. Analizziamo le quattro regole:

• La distanza fra due punti è ovviamente un numero reale positivo o nullo.
• Se i due punti coincidono, la loro distanza è nulla e viceversa (se la distanza fra due punti è nulla, allora essi coincidono).
• Se un punto dista da un altro un certo valore, il secondo dista dal primo lo stesso valore.
• Questa proprietà, un po' meno intuitiva delle altre, è dedotta dalle proprietà dei triangoli: la disuguaglianza triangolare.

Analizzando meglio, si può vedere che una di queste proprietà è superflua, essendo deducibile dalle altre. Si tratta della terza, la quale è una deduzione diretta della seconda e della quarta. Infatti, se consideriamo che \(d(x, y) = d(y, x)\) e \(d(x, x) = 0\), deve essere \(d(x, x) \leq d(x, y) + d(y, x)\). Comunque, per comodità, conviene continuare a considerare tutte e quattro le proprietà così come definite sopra.

Esempi di spazi metrici

Vediamo ora alcuni esempi di spazi metrici fra cui alcuni sono costituiti da punti geometrici mentre altri sono costituiti da elementi di tipo diverso.

Spazio metrico discreto

Consideriamo l'insieme X e dotiamolo della metrica:

• d(x, y) = 1 per ogni x e y appartenenti ad X con \(x \neq y\).
• d(x, x) = 0 per ogni x appartenente ad X.

È facile dimostrare che la metrica d così definita soddisfa le quattro regole di cui al paragrafo 04-A. Lo spazio metrico così definito è detto spazio metrico discreto. Aiutandoci con i diagrammi di Venn, potremmo riportare il seguente esempio di spazio metrico discreto: dove i punti a, b, c, d non sono punti del piano (nel qual caso le distanze non sarebbero tutte uguali a 1), ma elementi qualsiasi su cui è stata definita la metrica discreta.

Spazio euclideo reale unidimensionale R (retta reale)

Consideriamo l'insieme dei numeri reali R e definiamo la funzione d(x, y) = |x - y| (dove | ... | indica il valore assoluto o modulo) valevole per ogni x e y appartenente ad R. È facile dimostrare che questa funzione soddisfa le quattro regole di cui al paragrafo 04-A per cui d così definita è una metrica. Si tratta della metrica ordinaria con cui...