Matematica per le applicazioni II - Topologia quarta parte

La funzione d così definita è una metrica

La dimostrazione che essa soddisfa le prime tre regole è banale mentre quella relativa alla quarta regola è più complessa dal punto di vista algebrico. Dal punto di vista geometrico, se consideriamo coincidente con il piano della geometria euclidea (cosa del tutto plausibile), la dimostrazione della disuguaglianza triangolare fa parte dei teoremi classici di Euclide.

L'insieme dotato della metrica definita sopra, essenzialmente a causa del fatto che la metrica stessa riproduce il teorema di Pitagora, si chiama spazio euclideo reale bidimensionale e corrisponde al piano euclideo. Questa metrica corrisponde al concetto ordinario di distanza fra due punti posti su di un piano. È una estensione della metrica euclidea di R definita nel paragrafo precedente. Infatti, essendo in quel caso (nel caso della retta reale R) semplicemente e (ovvero e in , poiché la retta reale R può

essere considerata), si ha :coincidente con l'asse delle ascisse del sistema di riferimento cartesiano definito income deve essere.05 - Spazio euclideo reale tridimensionale .è lo spazio ordinario della nostra esperienza. La suaLo spazio eucliceo reale tridimensionalemetrica, analogamente a quello che abbiamo fatto per , è : che si esprimono, in termini didove i punti x e y sono elementi dell'insiemeecoordinate, come (sono delle triple ordinate, estensioni a trecoordinate delle coppie ordinate).Graficamente : , ovveroLa metrica così introdotta è una estensione della metrica euclidea di R edcorrispondente ad una naturale generalizzazione in tre dimensioni del teorema di Pitagora. Questametrica riproduce il concetto ordinario di distanza fra due punti dello spazio.06 - Spazio euclideo reale n-dimensionale .La metrica euclidea che abbiamo definito su e che rappresenta il modo ordinario di misurare ladistanze fra due punti dello spazio tridimensionale

della nostra esperienza, può essere estesa (dove il prodotto cartesiano è eseguito n volte). All'insieme La distanza fra due suoi punti x e y è così definibile: (il simbolo Σ significa "sommatoria con l'indice j che varia da 1 a n") essendo e (si tratta di n-ple o ennuple ordinate, estensioni a n coordinate delle coppie ordinate). L'insieme dotato della metrica suddetta si chiama spazio euclideo reale n-dimensionale e rappresenta una naturale generalizzazione dello spazio euclideo. Si tratta di uno spazio astratto, non visualizzabile graficamente né mentalmente, ma le cui proprietà metriche sono ben definite ed analoghe a quelle di . La possibilità di creare ed utilizzare spazi a più di tre dimensioni rappresenta una grande e fondamentale conquista del pensiero umano. Sono molteplici, sia a livello matematico che fisico. Si pensi che lo spazio- Le applicazioni di tempo della teoria della relatività ristretta (in

assenza di campo gravitazionale) di Einstein è) in cui tre coordinate sono le tre rappresentabile da uno spazio euclideo a quattro dimensioni (coordinate spaziali ordinarie e la quarta è il tempo (in verità, tale metrica presenta alcune eccezioni di cui non parleremo qui).

07 - Retta complessa C .Consideriamo l'insieme dei numeri complessi C . Un numero complesso qualunque x è esprimibile nel modo usuale come : è detta e sono numeri reali ed i è l'unità immaginaria per cui . Il numero dove parte immaginaria di x .parte reale di x e I numeri complessi possono essere rappresentati come coppie ordinate di per cui si ha la corrispondenza : . Graficamente : Si noti che la corrispondenza fra i numeri complessi e le coppie ordinate di è biunivoca cioè a ogni numero complesso corrisponde una coppia ordinata e viceversa. Prendiamo ora i due numeri complessi . Graficamente : e Una distanza fra loro può essere definita come

distanza euclidea :
Graficamente :
Supponiamo ora che sia y = 0 . Abbiamo allora :
il cui significato geometrico è |x|, come già sappiamo dalla teoria dei numeri complessi, rappresenta il modulo o
La distanza valore assoluto del numero complesso x per cui si scrive : |x|.
Detto questo, tenendo presente che :
e ricordando la formula che definisce la metrica, possiamo scrivere :
L'eguaglianza della distanza fra due numeri complessi col modulo della loro differenza :
fa sì che possiamo fare un evidente paragone fra la metrica di C appena definita e la metrica della retta reale (le due metriche sono formalmente identiche). Per questo motivo, C dotato della metrica qui definita si chiama retta complessa.
È molto importante notare che C è una estensione di R e che la metrica euclidea di R è estendibile direttamente a C se si definisce il valore assoluto di un numero complesso nel modo indicato sopra.
08 - Spazio euclideo complesso n-dimensionale (spazioè notevole. Trova applicazioni in diversi campi, come l'analisi complessa, la teoria dei segnali e la meccanica quantistica. In particolare, lo spazio euclideo complesso n-dimensionale è utilizzato per descrivere sistemi fisici che coinvolgono grandezze complesse, come onde elettriche e campi magnetici. In matematica, lo studio dello spazio euclideo complesso n-dimensionale permette di generalizzare concetti e teoremi dell'analisi reale. Ad esempio, si possono definire funzioni complesse di variabile complessa e studiare le loro proprietà, come la continuità, la differenziabilità e l'integrabilità. In fisica, lo spazio euclideo complesso n-dimensionale è utilizzato per descrivere sistemi quantistici, in cui le grandezze fisiche sono rappresentate da operatori che agiscono su funzioni d'onda complesse. Questo approccio permette di descrivere fenomeni come l'interferenza quantistica e l'entanglement. In conclusione, lo spazio euclideo complesso n-dimensionale è un concetto fondamentale sia in matematica che in fisica, che permette di estendere e generalizzare il concetto di spazio euclideo reale. La sua importanza deriva dalla sua capacità di descrivere sistemi complessi e fenomeni fisici che coinvolgono grandezze complesse.

è enorme.09 - Esempio di altra metrica su .Dato un insieme, su di esso può essere definita più di una metrica. Questo fatto è molto importante eva sottolineato : la metrica euclidea è solo una delle metriche possibili, anche se è la metrica dellospazio intorno a noi e che ci è per questo particolarmente familiare. Uno spazio, anche lo spaziodelle n-ple complesse, può quindi possedere metriche diverse.In effetti, che la metrica euclidea sia la metrica dello spazio fisico della nostra esperienza quotidiananon è un fatto scontato. Secondo la teoria della relatività generale di Einstein, infatti, lo spaziofisico è incurvato dalle masse, quindi in generale non è a metrica euclidea. Su piccola scala, comequi sul nostro pianeta, esso è in ottima approssimazione euclidea. Solo su larga scala od in presenzadi forti campi gravitazionali (per esempio presso stelle massicce, stelle di neutroni e buchi neri)

lospazio fisico sembra non possedere più la metrica euclidea. Diamo qui un esempio molto semplice (senza dimostrazione) di una differente metrica di cui può essere dotato l'insieme. Sia $x$ e $y$ n-ple di numeri complessi, dove $x\; =\; (x\_1,\; x\_2,\; ...,\; x\_n)$ e $y\; =\; (y\_1,\; y\_2,\; ...,\; y\_n)$. Una tale metrica, diversa da quella euclidea (che indicheremo semplicemente con $d$) ma altrettanto valida dal punto di vista matematico, dota lo spazio a cui è applicata di proprietà metriche completamente diverse da quelle a cui siamo normalmente abituati. Supponiamo infatti di limitarci al semplice caso di $n\; =\; 2$. Per esso abbiamo la metrica euclidea $d(x,\; y)\; =\; \backslash sqrt\{(x\_1\; -\; y\_1)^2\; +\; (x\_2\; -\; y\_2)^2\}$ e l'altra metrica $d\text{'}(x,\; y)\; =\; |x\_1\; -\; y\_1|\; +\; |x\_2\; -\; y\_2|$. Se prendiamo ad esempio i punti $x\; =\; (1,\; 2)$ e $y\; =\; (3,\; 4)$, avremo allora: - Con la metrica euclidea: $d(x,\; y)\; =\; \backslash sqrt\{(1\; -\; 3)^2\; +\; (2\; -\; 4)^2\}\; =\; \backslash sqrt\{4\; +\; 4\}\; =\; \backslash sqrt\{8\}\; \backslash approx\; 2.83$ - Con l'altra metrica: $d\text{'}(x,\; y)\; =\; |1\; -\; 3|\; +\; |2\; -\; 4|\; =\; 2\; +\; 2\; =\; 4$ Supponendo anche che il punto $y$ sia l'origine $(0,\; 0)$, avremo: - Con la metrica euclidea: $d(x,\; 0)\; =\; \backslash sqrt\{(1\; -\; 0)^2\; +\; (2\; -\; 0)^2\}\; =\; \backslash sqrt\{1\; +\; 4\}\; =\; \backslash sqrt\{5\}\; \backslash approx\; 2.24$ - Con l'altra metrica: $d\text{'}(x,\; 0)\; =\; |1\; -\; 0|\; +\; |2\; -\; 0|\; =\; 1\; +\; 2\; =\; 3$ Per mostrare come le due differenti metriche inducano nel medesimo spazio strutture metriche completamente diverse, troviamo tutti i punti che distano un numero minore o uguale a 1 dall'origine. Vogliamo perciò trovare i punti per cui $d(x,\; 0)\; \backslash leq\; 1$ e $d\text{'}(x,\; 0)\; \backslash leq\; 1$. Nel primo caso (metrica euclidea $d$) ilproblema consiste nel trovare le coppie ordinate per cui valga la disequazione x^2 + y^2 <= 1, ovvero che graficamente corrisponde ad un cerchio di raggio 1 centrato nell'origine. Nel secondo caso (metrica d'), il problema consiste nel trovare le coppie ordinate per cui valga la disequazione |x| + |y| <= 1, che graficamente corrisponde al quadrato. Osservando i due grafici così trovati, notiamo che le proprietà metriche cambiano completamente passando da una metrica all'altra. 10 - Spazio delle funzioni reali continue su un intervallo chiuso Consideriamo l'insieme delle funzioni numeriche reali continue definite sull'intervallo chiuso [a, b] ed è costituito dalle funzioni continue (intuitivamente, una funzione reale è continua se il suo grafico cartesiano non presenta interruzioni, ovvero, quando lo si disegna, non si stacca la matita dal foglio). Chiamiamo questo insieme C[a, b]. Graficamente, C[a, b] è l'insieme delle funzioni continue su [a, b], dove f(x), g(x), h(x), i(x) sono esempi di tali funzioni continue. Definiamo la

funzione :che associa a due funzioni f e g il numero reale positivo (o nullo) d .La formula appena scritta significa che, per ogni valore di x appartenente all'intervallo chiuso, si deve :

1. calcolare il valore della differenza fra f(x) e g(x)
2. eseguire il valore assoluto, cioè rendere tale differenza positiva se essa è negativa
3. scegliere fra tutti i possibili risultati ottenuti al variare della x il valore superiore.

Ciò che si ottiene è esemplificato dal seguente grafico :

La funzione d così definita rappresenta la massima distanza (presa su rette verticali) fra i punti delle curve che corrispondono alle due funzioni f e g . È semplice dimostrare che la funzione d soddisfa le leggi che definiscono una metrica per cui l'insieme dotato della suddetta metrica è uno spazio metrico.

Questo esempio di spazio metrico non costituito da punti geometrici è molto importante e mostra tutta la potenza di astrazione della matematica.

La possibilità di costruire spazi formati da funzioni (spazi funzionali) è un fatto di estrema importanza ed è alla base di sviluppi proficui che coinvolgono a fondo anche la fisica. Per renderci conto del significato geometrico della metrica qui definita consideriamo le funzioni g che distano da una data funzione f un valore minore o uguale ad 1, cioè cerchiamo le funzioni g per le quali:

Tali funzioni sono tutte le funzioni continue definite su [intervallo] il cui grafico sta nella fascia incolore [immagine], che corrisponde a tutte le funzioni continue per cui [equazione] (nel grafico abbiamo posto una funzione g(x) di esempio).

11 - Esempio di altra metrica su [intervallo]

Sull'insieme delle funzioni numeriche reali continue definite sull'intervallo chiuso [intervallo] è possibile costruire altre metriche. Per esempio la funzione [equazione] costituisce una metrica (omettiamo l...