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Matematica per le applicazioni II - Topologia quarta parte

Appunti di Matematica per le applicazioni II sulla Topologia quarta parte. Nello specifico gli argomenti trattati sono i seguenti: gli spazi metrici : la definizione e gli esempi, la definizione di metrica e di spazio metrico, i punti, la distanza, lo spazio metrico discreto.

Esame di Matematica per le Applicazioni II docente Prof. A. Villanacci

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L'insieme dotato della metrica suddetta si chiama spazio euclideo reale n-dimensionale e

rappresenta una naturale generalizzazione dello spazio euclideo . Si tratta di uno spazio astratto,

non visualizzabile graficamente né mentalmente, ma le cui proprietà metriche sono ben definite ed

analoghe a quelle di . La possibilità di creare ed utilizzare spazi a più di tre dimensioni

rappresenta una grande e fondamentale conquista del pensiero umano.

sono molteplici, sia a livello matematico che fisico. Si pensi che lo spazio-

Le applicazioni di

tempo della teoria della relatività ristretta (in assenza di campo gravitazionale) di Einstein è

) in cui tre coordinate sono le tre

rappresentabile da uno spazio euclideo a quattro dimensioni (

coordinate spaziali ordinarie e la quarta è il tempo (in verità, tale metrica presenta alcune eccezioni

di cui non parleremo qui) .

07 - Retta complessa C .

Consideriamo l'insieme dei numeri complessi C . Un numero complesso qualunque x è

esprimibile nel modo usuale come : è detta

e sono numeri reali ed i è l'unità immaginaria per cui . Il numero

dove parte immaginaria di x .

parte reale di x e

I numeri complessi possono essere rappresentati come coppie ordinate di per cui si ha la

corrispondenza : .

Graficamente :

Si noti che la corrispondenza fra i numeri complessi e le coppie ordinate di è biunivoca cioè ad

ogni numero complesso corrisponde una coppia ordinata e viceversa.

Prendiamo ora i due numeri complessi . Graficamente :

e

Una distanza fra loro può essere definita come distanza euclidea :

.

Graficamente :

Supponiamo ora che sia y = 0 . Abbiamo allora :

il cui significato geometrico è :

, come già sappiamo dalla teoria dei numeri complessi, rappresenta il modulo o

La distanza

valore assoluto del numero complesso x per cui si scrive :

.

Detto questo, tenendo presente che :

e ricordando la formula che definisce la metrica, possiamo scrivere :

.

L'eguaglianza della distanza fra due numeri complessi col modulo della loro differenza :

fa sì che possiamo fare un evidente paragone fra la metrica di C appena definita e la metrica della

retta reale (le due metriche sono formalmente identiche). Per questo motivo, C dotato della metrica

qui definita si chiama retta complessa.

E' molto importante notare che C è una estensione di R e che la metrica euclidea di R è

estendibile direttamente a C se si definisce il valore assoluto di un numero complesso nel modo

indicato sopra.

08 - Spazio euclideo complesso n-dimensionale (spazio unitario).

L'insieme delle n-ple ordinate di numeri complessi, in analogia con la metrica euclidea definita su

, può essere dotato di una metrica analoga.

il prodotto cartesiano di C eseguito n volte. Se e

Sia sono due punti di , si può definire una distanza fra loro in analogia con la

metrica euclidea di nel seguente modo :

.

Si noti che, a differenza della formula per la metrica di , qui abbiamo il valore assoluto invece

della parentesi. Se le n-ple fossero di numeri reali, si avrebbe di nuovo la metrica euclidea di

(perché nel campo reale si ha ) e questo a significare ancora che C è una

estensione di R e che la metrica può essere conservata formalmente uguale a se stessa nel

passaggio da R a C .

L'insieme dotato della metrica qui definita si chiama spazio euclideo complesso n-

dimensionale oppure spazio unitario e costituisce una naturale generalizzazione dello spazio

.

euclideo

L'importanza dello spazio unitario in matematica ed in fisica è enorme.

09 - Esempio di altra metrica su .

Dato un insieme, su di esso può essere definita più di una metrica. Questo fatto è molto importante e

va sottolineato : la metrica euclidea è solo una delle metriche possibili, anche se è la metrica dello

spazio intorno a noi e che ci è per questo particolarmente familiare. Uno spazio, anche lo spazio

delle n-ple complesse, può quindi possedere metriche diverse.

In effetti, che la metrica euclidea sia la metrica dello spazio fisico della nostra esperienza quotidiana

non è un fatto scontato. Secondo la teoria della relatività generale di Einstein, infatti, lo spazio

fisico è incurvato dalle masse, quindi in generale non è a metrica euclidea. Su piccola scala, come

qui sul nostro pianeta, esso è in ottima approssimazione euclidea. Solo su larga scala od in presenza

di forti campi gravitazionali (per esempio presso stelle massicce, stelle di neutroni e buchi neri) lo

spazio fisico sembra non possedere più la metrica euclidea.

Diamo qui un esempio molto semplice (senza dimostrazione) di una differente metrica di cui può

essere dotato l'insieme . Sia :

e sono n-ple di numeri complessi.

dove

Una tale metrica, diversa da quella euclidea (che indicheremo semplicemente con d ) ma altrettanto

valida dal punto di vista matematico, dota lo spazio a cui è applicata di proprietà metriche

completamente diverse da quelle a cui siamo normalmente abituati.

Supponiamo infatti di limitarci al semplice caso di . Per esso abbiamo la metrica euclidea :

e l'altra metrica : . , avremo allora :

Supponendo anche che il punto y sia l'origine

e : .

Per mostrare come le due differenti metriche inducano nel medesimo spazio strutture metriche

completamenti diverse, troviamo tutti i punti che distano un numero minore od uguale ad 1

dall'origine . Vogliamo perciò trovare i punti per cui :

.

e

Nel primo caso (metrica euclidea d ) il problema consiste nel trovare le coppie ordinate

per cui valga la disequazione :

ovvero

che graficamente corrisponde ad un cerchio di raggio 1 centrato nell'origine :

Nel secondo caso (metrica d' ) il problema consiste nel trovare le coppie ordinate per cui

valga la disequazione :

che graficamente corrisponde al quadrato :

Osservando i due grafici così trovati, notiamo che le proprietà metriche di cambiano

completamente passando da una metrica all'altra. .

10 - Spazio delle funzioni reali continue su un intervallo chiuso

Consideriamo l'insieme delle funzioni numeriche reali continue definite sull'intervallo chiuso

cioè costituito dalle funzioni :

continue (intuitivamente, una funzione reale è continua se il suo grafico cartesiano non presenta

interruzioni, ovvero, quando lo si disegna, non si stacca la matita dal foglio).

Chiamiamo questo insieme . Graficamente :

dove f(x) , g(x) , h(x) , i(x) sono esempi di tali funzioni continue.

Definiamo la funzione :

che associa a due funzioni f e g il numero reale positivo (o nullo) d .

La formula appena scritta significa che, per ogni valore di x appartenente all'intervallo chiuso

, si deve :

- 1 - calcolare il valore della differenza fra f(x) e g(x)

- 2 - eseguire il valore assoluto, cioè rendere tale differenza positiva se essa è negativa

- 3 - scegliere fra tutti i possibili risultati ottenuti al variare della x il valore superiore.

Ciò che si ottiene è esemplificato dal seguente grafico :

La funzione d così definita rappresenta la massima distanza (presa su rette verticali) fra i punti

delle curve che corrispondono alle due funzioni f e g . E' semplice dimostrare che la funzione d

soddisfa le leggi che definiscono una metrica per cui l'insieme dotato della suddetta metrica è

uno spazio metrico.

Questo esempio di spazio metrico non costituito da punti geometrici è molto importante e mostra

tutta la potenza di astrazione della matematica. La possibilità di costruire spazi formati da funzioni

(spazi funzionali) è un fatto di estrema importanza ed è alla base di sviluppi proficui che

coinvolgono a fondo anche la fisica.

Per renderci conto del significato geometrico della metrica qui definita consideriamo le funzioni g

che distano da una data funzione f un valore minore o uguale ad 1 , cioè cerchiamo le funzioni g

per le quali : .


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AUTORE

Sara F

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+1 anno fa


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e commercio
SSD:
Università: Firenze - Unifi
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Sara F di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica per le Applicazioni II e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Firenze - Unifi o del prof Villanacci Antonio.

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