Che materia stai cercando?

Matematica per le applicazioni II - Topologia quarta parte Appunti scolastici Premium

Appunti di Matematica per le applicazioni II sulla Topologia quarta parte. Nello specifico gli argomenti trattati sono i seguenti: gli spazi metrici : la definizione e gli esempi, la definizione di metrica e di spazio metrico, i punti, la distanza, lo spazio metrico discreto.

Esame di Matematica per le Applicazioni II docente Prof. A. Villanacci

Anteprima

ESTRATTO DOCUMENTO

02 - Spazio metrico discreto.

Consideriamo l'insieme X e dotiamolo della metrica :

per ogni x e y appartenenti ad X con ( x diverso da y )

e : per ogni x appartenente ad X .

E' facile dimostrare che la metrica d così definita soddisfa le quattro regole di cui al paragrafo 04-

A . Lo spazio metrico così definito è detto spazio metrico discreto.

Aiutandoci con i diagrammi di Venn, potremmo riportare il seguente esempio di spazio metrico

discreto :

dove i punti a , b , c , d non sono punti del piano (nel qual caso le distanze non sarebbero tutte

uguali a 1 ), ma elementi qualsiasi su cui è stata definita la metrica discreta.

03 - Spazio euclideo reale unidimensionale R (retta reale).

Consideriamo l'insieme dei numeri reali R e definiamo la funzione :

(dove | ... | indica il valore assoluto o modulo) valevole per ogni x e y appartenente ad R .

E' facile dimostrare che questa funzione soddisfa le quattro regole di cui al paragrafo 04-A per cui

d così definita è una metrica.

Si tratta della metrica ordinaria con cui si misura la distanza fra due punti posti su una retta

orientata:

Il valore assoluto presente nella definizione della metrica assicura che la distanza fra due punti sia

sempre positiva o nulla. Per esempio :

.

L'insieme dei numeri reali dotato della metrica così definita si chiama spazio euclideo reale

unidimensionale o semplicemente retta reale. Il perché dell'aggettivo euclideo, dipende dal fatto

che si deve al grande Euclide (circa 300 a.C.) lo studio analitico delle proprietà dello spazio

ordinario in cui si svolge la nostra vita quotidiana.

04 - Spazio euclideo reale bidimensionale .

(prodotto cartesiano dell'insieme dei numeri reali R per se

Consideriamo l'insieme ed

dove sono numeri reali).

stesso, ovvero l'insieme delle coppie ordinate

, segnatamente , che possiamo

Prendiamo due punti qualunque di e

raffigurare nel grafico cartesiano :

Definiamo ora la funzione : .

Essa è giustificabile graficamente con l'aiuto del teorema di Pitagora :

per cui :

e

essendo .

La funzione d così definita è una metrica. La dimostrazione che essa soddisfa le prime tre regole è

banale mentre quella relativa alla quarta regole è più complessa dal punto di vista algebrico. Dal

punto di vista geometrico, se consideriamo coincidente con il piano della geometria euclidea

(cosa del tutto plausibile), la dimostrazione della disuguaglianza triangolare fa parte dei teoremi

classici di Euclide.

L'insieme dotato della metrica definita sopra, essenzialmente a causa del fatto che la metrica

stessa riproduce il teorema di Pitagora, si chiama spazio euclideo reale bidimensionale e

corrisponde al piano euclideo. Questa metrica corrisponde al concetto ordinario di distanza fra due

punti posti su di un piano. è una estensione della metrica euclidea di R definita nel paragrafo

La metrica euclidea di

precedente. Infatti, essendo in quel caso (nel caso della retta reale R ) semplicemente e

(ovvero e in , poiché la retta reale R può essere considerata

), si ha :

coincidente con l'asse delle ascisse del sistema di riferimento cartesiano definito in

come deve essere.

05 - Spazio euclideo reale tridimensionale .

è lo spazio ordinario della nostra esperienza. La sua

Lo spazio eucliceo reale tridimensionale

metrica, analogamente a quello che abbiamo fatto per , è : che si esprimono, in termini di

dove i punti x e y sono elementi dell'insieme

e

coordinate, come (sono delle triple ordinate, estensioni a tre

coordinate delle coppie ordinate).

Graficamente : , ovvero

La metrica così introdotta è una estensione della metrica euclidea di R ed

corrispondente ad una naturale generalizzazione in tre dimensioni del teorema di Pitagora. Questa

metrica riproduce il concetto ordinario di distanza fra due punti dello spazio.

06 - Spazio euclideo reale n-dimensionale .

La metrica euclidea che abbiamo definito su e che rappresenta il modo ordinario di misurare la

distanze fra due punti dello spazio tridimensionale della nostra esperienza, può essere estesa

(dove il prodotto cartesiano è eseguito n volte).

all'insieme

La distanza fra due suoi punti x e y è cosi definibile :

(il simbolo significa "sommatoria con l'indice j che varia da 1 a n ") essendo

e (si tratta di n-ple o ennuple ordinate, estensioni a n

coordinate delle coppie ordinate).

L'insieme dotato della metrica suddetta si chiama spazio euclideo reale n-dimensionale e

rappresenta una naturale generalizzazione dello spazio euclideo . Si tratta di uno spazio astratto,

non visualizzabile graficamente né mentalmente, ma le cui proprietà metriche sono ben definite ed

analoghe a quelle di . La possibilità di creare ed utilizzare spazi a più di tre dimensioni

rappresenta una grande e fondamentale conquista del pensiero umano.

sono molteplici, sia a livello matematico che fisico. Si pensi che lo spazio-

Le applicazioni di

tempo della teoria della relatività ristretta (in assenza di campo gravitazionale) di Einstein è

) in cui tre coordinate sono le tre

rappresentabile da uno spazio euclideo a quattro dimensioni (

coordinate spaziali ordinarie e la quarta è il tempo (in verità, tale metrica presenta alcune eccezioni

di cui non parleremo qui) .

07 - Retta complessa C .

Consideriamo l'insieme dei numeri complessi C . Un numero complesso qualunque x è

esprimibile nel modo usuale come : è detta

e sono numeri reali ed i è l'unità immaginaria per cui . Il numero

dove parte immaginaria di x .

parte reale di x e

I numeri complessi possono essere rappresentati come coppie ordinate di per cui si ha la

corrispondenza : .

Graficamente :

Si noti che la corrispondenza fra i numeri complessi e le coppie ordinate di è biunivoca cioè ad

ogni numero complesso corrisponde una coppia ordinata e viceversa.

Prendiamo ora i due numeri complessi . Graficamente :

e

Una distanza fra loro può essere definita come distanza euclidea :

.

Graficamente :

Supponiamo ora che sia y = 0 . Abbiamo allora :

il cui significato geometrico è :

, come già sappiamo dalla teoria dei numeri complessi, rappresenta il modulo o

La distanza

valore assoluto del numero complesso x per cui si scrive :

.

Detto questo, tenendo presente che :

e ricordando la formula che definisce la metrica, possiamo scrivere :

.

L'eguaglianza della distanza fra due numeri complessi col modulo della loro differenza :

fa sì che possiamo fare un evidente paragone fra la metrica di C appena definita e la metrica della

retta reale (le due metriche sono formalmente identiche). Per questo motivo, C dotato della metrica

qui definita si chiama retta complessa.

E' molto importante notare che C è una estensione di R e che la metrica euclidea di R è

estendibile direttamente a C se si definisce il valore assoluto di un numero complesso nel modo

indicato sopra.

08 - Spazio euclideo complesso n-dimensionale (spazio unitario).

L'insieme delle n-ple ordinate di numeri complessi, in analogia con la metrica euclidea definita su

, può essere dotato di una metrica analoga.

il prodotto cartesiano di C eseguito n volte. Se e

Sia sono due punti di , si può definire una distanza fra loro in analogia con la

metrica euclidea di nel seguente modo :

.

Si noti che, a differenza della formula per la metrica di , qui abbiamo il valore assoluto invece

della parentesi. Se le n-ple fossero di numeri reali, si avrebbe di nuovo la metrica euclidea di

(perché nel campo reale si ha ) e questo a significare ancora che C è una

estensione di R e che la metrica può essere conservata formalmente uguale a se stessa nel

passaggio da R a C .


PAGINE

16

PESO

145.86 KB

AUTORE

Sara F

PUBBLICATO

+1 anno fa


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e commercio
SSD:
Università: Firenze - Unifi
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Sara F di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica per le Applicazioni II e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Firenze - Unifi o del prof Villanacci Antonio.

Acquista con carta o conto PayPal

Scarica il file tutte le volte che vuoi

Paga con un conto PayPal per usufruire della garanzia Soddisfatto o rimborsato

Recensioni
Ti è piaciuto questo appunto? Valutalo!

Altri appunti di Matematica per le applicazioni ii

Matematica per le applicazioni II - Topologia prima parte
Appunto
Matematica per le applicazioni II - Topologia seconda parte
Appunto
Matematica per le applicazioni II - Topologia terza parte
Appunto
Matematica per le applicazioni II – Topologia quinta parte
Appunto