Matematica per le applicazioni II - Topologia seconda parte

Proprietà degli spazi topologici

Si scriverà: per ogni spazio topologico X oppure ∅. Graficamente:

Esempi:

1. Lo spazio topologico costituito dall'insieme dei numeri naturali dotato della topologia minimale. Sia a un punto di accumulazione di X. Sia la funzione f da X definita come f(x) = a per ogni x (si noti che a è punto di accumulazione di X). Si ha f(x) = a per ogni x che è un qualunque numero naturale. Ciò dipende dal fatto che gli unici intorni dei punti di tale spazio sono X stesso. Graficamente:

2. Sia X uno spazio topologico qualunque. Sia A un qualunque sottoinsieme non vuoto di X. Sia f una qualunque funzione da X a A. Sia a un punto di accumulazione di A. Allora non esiste un qualunque punto di X che può essere punto di accumulazione di nessun sottoinsieme di A, perché nessun intorno di nessun punto di accumulazione di A è condizione essenziale nella topologia massimale. L'essere a punto di accumulazione di A è condizione sufficiente. Graficamente:

3. Sia X lo spazio euclideo reale ad una dimensione dotato della topologia naturale. Sia a un punto di X. Allora si ha a è punto di accumulazione di X e la funzione f da X ad X definita come f(x) = a per ogni x. Graficamente:

4. Sia X lo spazio topologico qualunque. Sia A un sottoinsieme di X. Sia f una funzione da X a A. Sia a un punto di accumulazione di A. Allora non esiste un punto di X che può essere punto di accumulazione di A, perché nessun intorno di nessun punto di accumulazione di A è condizione essenziale nella topologia massimale. L'essere a punto di accumulazione di A è condizione sufficiente. Graficamente:

Lo spazio euclideo reale ad una dimensione è dotato della topologia naturale. Sia (a,b) l'intervallo aperto per cui a < x < b e f la funzione da a a b definita come f(x) = x. Allora si ha lim x → a+ f(x) = a. Graficamente:

Lo spazio euclideo reale ad una dimensione è dotato della topologia naturale. Sia (a,b) l'intervallo aperto per cui a < x < b e f la funzione da a a b definita come f(x) = x. Allora si ha lim x → b- f(x) = b. Graficamente:

Lo spazio euclideo reale ad una dimensione è dotato della topologia naturale. Sia (a,b) l'intervallo aperto per cui a < x < b e f la funzione da a a b definita come f(x) = x. Allora il limite per x → a+ non esiste. Graficamente:

Lo spazio euclideo reale ad una dimensione è dotato della topologia naturale. Sia (a,b) l'intervallo aperto per cui a < x < b e f la funzione da a a b definita come f(x) = x. Allora il limite per x → b- non esiste. Graficamente:

Anche per il concetto di limite nelle funzioni fra spazi topologici valgono le stesse considerazioni (di esistenza, unicità e diversità) fatte per le successioni negli spazi topologici. Il limite di una funzione fra spazi topologici può non esistere, esistere e non essere

univoco e cambiare per unastessa funzione fra stessi insiemi se cambia la topologia costruita sugli insiemi.

Circa l'unicità del limite (se esiste) occorre notare (come per le successioni) che se lo spaziotopologico a cui appartiene il codominio della funzione è uno spazio di Hausdorff, allora il limite (se esiste) è unico. Si noti che per l'unicità del limite (se esiste) non vi sono condizioni restrittive da porre sullo spazio a cui appartiene il dominio.

La definizione di limite per le funzioni fra spazi topologici mostra inoltre le seguenti fondamentali peculiarità: che sia punto di accumulazione del dominio della funzione. Questo fatto è molto importante ed indica che si può definire il limite anche in un punto che non appartenga propriamente al dominio. Basta che ne sia punto di accumulazione (vedi ad esempio -5-). (se appartenente al dominio) non

Il valore che la funzione assume

sottoinsieme di <span class="math"> .Graficamente: Se la funzione è continua in ogni punto di <span class="math"> A allora si dice che essa è continua su <span class="math"> A.