Matematica per le applicazioni II - Topologia seconda parte

Spazi topologici: funzioni

In questo capitolo presentiamo i concetti fondamentali relativi alle funzioni fra spazi topologici. In particolare introdurremo i concetti di limite e continuità. Tali concetti sono alla base di tutta la matematica e sono concetti prettamente topologici. Questo sottolinea ancora una volta il fatto che la vera "anima" della matematica è la topologia.

Limite di una successione

Sia uno spazio topologico e sia una successione in. Si intende una funzione da (l'insieme dei numeri naturali 1, 2, 3,...) a. Per successione in. Una tale successione può, cioè una corrispondenza fra i numeri naturali ed i punti di oppure, più sinteticamente, dalla precedente scrittura venire indicata dall'elenco.

Si dice che la successione converge al punto per tendente appartenente ad per all'infinito, oppure che ha limite tendente all'infinito, se: ovvero, in parole, se per ogni intorno tale che il termine n-esimo della successione appartenga ad per tutti i valori di maggiori di quel.

Nel caso esista il limite, si scriverà: oppure oppure per.

Il concetto di limite di una successione è quindi basato sul concetto di intorno. Se il punto è il limite di una successione, allora, comunque si prenda un intorno di, tutti i termini della successione oltre un certo prefissato termine devono cadere nell'intorno preso. Ciò può essere visualizzato dal grafico:

Esempi

• 1 - Successione: (spazio euclideo reale ad una dimensione dotato della topologia naturale). I termini della successione sono 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... . La successione converge a , cioè e lo si può intuire dal seguente grafico:
• 2 - Esempio grafico di successione in (spazio euclideo reale a due dimensioni dotato della topologia naturale) dove il limite è il punto:
• 3 - Successione: (ovvero nell'insieme di tre elementi dotato della topologia minimale (ovvero ogni punto ha come unico intorno stesso). La successione in questione ha tre diversi limiti:., , Questo risultato apparentemente paradossale è, come è facile vedere, conseguente alla definizione di limite di una successione. Infatti il limite è vero perché l'unico intorno dell'elemento è l'intero insieme e quindi tutti gli elementi della successione cadono in esso. Lo stesso ragionamento vale per gli altri due casi. Graficamente:
• 4 - Stessa successione dell'esempio precedente nell'insieme dotato della topologia massimale (ovvero un intorno di un punto di è ogni sottoinsieme di che contenga il punto stesso). In questo caso il limite è:. Questo è evidente osservando il grafico:
• 5 - Successione nell'insieme dotato della topologia massimale. La successione non ha limite. Ciò è evidente osservando il grafico:

Conclusioni

Dagli esempi si deducono tre fatti di estreme importanza:

• 1 - Una successione può non avere limite.
• 2 - Una successione può avere più limiti, ovvero se una successione possiede limite, non è detto che esso sia unico.
• 3 - Una stessa successione su uno stesso insieme può avere limiti diversi al cambiare della topologia definita sull'insieme stesso.