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Matematica per le applicazioni II - Topologia seconda parte

Appunti di Matematica per le applicazioni II sulla Topologia seconda parte. Nello specifico gli argomenti trattati sono i seguenti: gli spazi topologici: le funzioni, il limite di una successione, il limite di una funzione, la funzione continua, l'omeomorfismo, laproprietà topologica. Vedi di più

Esame di Matematica per le Applicazioni II docente Prof. A. Villanacci

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- 6 - Sia lo spazio euclideo reale ad una dimensione dotato della topologia naturale. Sia

per

e come

ed la funzione da ad definita come per

. Allora il limite per non esiste . Graficamente :

lo spazio euclideo reale ad una dimensione dotato della topologia naturale. Sia

- 7 - Sia ed la funzione da ad definita come . Allora il limite per

non esiste . Graficamente :

Anche per il concetto di limite nelle funzioni fra spazi topologici valgono le stesse considerazioni

(di esistenza, unicità e diversità) fatte per le successioni negli spazi topologici. Il limite di una

funzione fra spazi topologici può non esistere, esistere e non essere univoco e cambiare per una

stessa funzione fra stessi insiemi se cambia la topologia costruita sugli insiemi.

Circa l'unicità del limite (se esiste) occorre notare (come per le successioni) che se lo spazio

topologico a cui appartiene il codominio della funzione è uno spazio di Hausdorff, allora il

limite (se esiste) è unico. Si noti che per l'unicità del limite (se esiste) non vi sono condizioni

restrittive da porre sullo spazio a cui appartiene il dominio.

La definizione di limite per le funzioni fra spazi topologici mostra inoltre le seguenti fondamentali

peculiarità : che sia punto di accumulazione del dominio della

- 1 - Il limite è definito in un punto

funzione. Questo fatto è molto importante ed indica che si può definire il limite anche in un punto

che non appartenga propriamente al dominio. Basta che ne sia punto di accumulazione (vedi

esempio - 5 - ). (se appartenente al dominio) non

- 2 - Il valore che la funzione assume nel punto

ha alcuna influenza sul valore del limite della funzione in (vedi esempio - 4 - ).

Possiamo riassumere questi fatti con l'affermazione intuitiva :

a stabilire il limite della funzione in è l' "andamento" della funzione nell' "intorno" di .

Il concetto di limite di una funzione è legato al concetto di continuità. Entrambi sono concetti

topologici perché definiti a partire dagli intorni. Limiti e continuità sono due fondamentali concetti

dell'analisi.

03 - Funzione continua.

due spazi topologici le cui topologie siano rispettivamente

e

Siano

e . Sia un sottoinsieme non vuoto di e sia una funzione dall'insieme

ad , ovvero . Si dice che la funzione è continua nel punto se :

di di

esiste un intorno tale che l'insieme

ovvero, in parole, se per ogni intorno

delle immagini (i punti del codominio corrispondenti ai punti del dominio) dei punti che

appartengono all'intorno ed all'insieme sia sottoinsieme di .

Graficamente :

Se la funzione è continua in ogni punto di allora si dice che essa è continua su .

Si noti subito che la continuità è un concetto relativo ad un punto del dominio della funzione.

Il concetto di continuità in un punto è legato al concetto di limite di una successione dalla seguente

importante considerazione. Sia il punto appartenente al dominio della funzione e sia

sia continua in . Sia

anche punto di accumulazione di . La funzione una

). Allora la continuità della

qualunque successione in convergente in (secondo la topologia (codominio

funzione in implica la convergenza della successione in

della funzione ) ad . Graficamente, nel caso di una funzione da ad (spazio euclideo

reale ad una dimensione dotato della topologia naturale) :

Esempi di funzioni continue e non :

e

- 1 - Siano due spazi topologici per cui è la topologia massimale. Sia

una funzione da è continua su

a . Allora . Infatti, nella topologia massimale, ogni

.

punto di ha come intorno l'insieme

- 2 - Siano è la topologia minimale. Sia

e due spazi topologici per cui

.

una funzione da a . Allora è continua su

lo spazio euclideo reale ad una dimensione dotato della topologia naturale. Sia

- 3 - Sia

la funzione da . La funzione

ad per

definita come e come

per . Graficamente :

è continua su tutto eccetto che nel punto

- 4 - Sia lo spazio euclideo reale ad una dimensione dotato della topologia naturale. Sia

per

e come . La funzione

per

la funzione da ad definita come

è continua su tutto eccetto che nel punto . Graficamente :

Le funzioni continue fra spazi topologici godono di due importanti proprietà che possono essere

utilizzate come modo alternativo, ma equivalente, di definire la continuità oppure per verificare più

semplicemente se una funzione è continua. . Sia

e due spazi topologici e sia continua su

Siano . Allora il

fatto che continua su è equivalente alle seguenti affermazioni :

aperto in risulta aperto in

- 1 - chiuso in

chiuso in risulta .

- 2 - si intende l'insieme delle immagini della relazione inversa

Per (non diciamo funzione

sia invertibile) dei punti dell'insieme (la

inversa perché non è detto che sottoinsieme di

).

stessa cosa dicasi per

Le suddette proprietà sono equivalenti alla continuità della funzione. Questo significa che se si

verifica una delle due proprietà, la funzione è continua e viceversa.

Per esempio, sia una funzione da (spazio euclideo reale a due dimensioni dotato della

continua. Si ha :

topologia naturale) a

(abbiamo indicato col tratteggio il fatto che gli insiemi indicati sono aperti).

Oppure :

(abbiamo indicato col tratto continuo il fatto che gli insiemi indicati sono chiusi)

Se una funzione è continua, non è detto in generale che la sua inversa, supposto che esista, sia

continua. Le funzioni continue dotate di funzione inversa continua giocano un ruolo molto

importante in matematica. Esse sono dette funzioni omeomorfe.

Facciamo qui un esempio di funzione continua e dotata di inversa non continua. Per fare questo

introduciamo la topologia minimale su (insieme di numeri reali). Chiamiamo questo spazio

.

topologico con la sigla (dove costituisce lo spazio euclideo reale ad una

Consideriamo la funzione

dimensione dotato della topologia naturale) definita da .


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Sara F

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DESCRIZIONE APPUNTO

Appunti di Matematica per le applicazioni II sulla Topologia seconda parte. Nello specifico gli argomenti trattati sono i seguenti: gli spazi topologici: le funzioni, il limite di una successione, il limite di una funzione, la funzione continua, l'omeomorfismo, laproprietà topologica.


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in economia e commercio
SSD:
Università: Firenze - Unifi
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Sara F di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica per le Applicazioni II e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Firenze - Unifi o del prof Villanacci Antonio.

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