Matematica per le applicazioni II -Topologia sesta parte

Esempi :

- 1 - l'insieme dotato della metrica discreta

la metrica discreta consiste nel definire una distanza fissa, pari ad 1 , per ogni coppia

di punti distinti dell'insieme (mentre la distanza fra un punto e se stesso è ovviamente nulla). In

questo caso lo spazio consiste nei soli tre punti a , b , c come indicato dal diagramma :

Costruiamo alcune sfere aperte con centro nel punto a :

- 2 - lo spazio euclideo R (la retta reale)

le sfere aperte di R sono gli intervalli aperti. Preso il punto di R ed il numero

e raggio

reale positivo , la sfera aperta con centro è l'intervallo

(escludendo gli estremi). Graficamente :

- 3 - lo spazio euclideo

le sfere aperte di sono i cerchi del piano ordinario con esclusione dei punti della

circonferenza. Graficamente :

(escludere dalla sfera aperta i punti della circonferenza)

- 4 - lo spazio euclideo

le sfere aperte di sono le sfere dello spazio ordinario escludendo i punti della

superficie sferica. Graficamente :

(escludere dalla sfera aperta i punti della superficie sferica)

- 5 - lo spazio euclideo C dei numeri complessi (la retta complessa)

un numero complesso può essere rappresentato da una coppia ordinata di .

Esattamente il numero complesso è l'unità immaginaria e

(dove sono

,

due numeri reali) corrisponde alla coppia ordinata di . La metrica in C è

(analoga a quella in R ). Il modulo di un numero complesso è definito da

per cui la distanza fra due punti di C è euclidea, essendo

.

Una sfera aperta di C è allora un cerchio, escludendo la circonferenza, come indicato

dal grafico : (escludere dalla sfera aperta i punti della circonferenza)

- 6 - lo spazio delle funzioni reali continue sull'intervallo dotato della

metrica la sfera aperta di centro e raggio , , è un insieme del tipo illustrato in

figura : (escludere le funzioni di "frontiera")

Ogni funzione contenuta nella striscia colorata appartiene alla suddetta sfera aperta (con

e ).

eccezione delle funzioni

- 7 - lo spazio delle funzioni reali continue sull'intervallo dotato della

metrica in questo caso non è possibile avere una "visualizzazione" della sfera aperta di centro

e raggio . Questo può essere illustrato dall'esempio :

Le funzioni f e g distano dalla funzione valori (aree colorate) minori di un dato

ed esistono infinite altre funzioni più "strette" ad "alte" distanti anch'esse valori minori di .

02 - Punto di accumulazione. Punto non isolato. Punto isolato. Derivato.

uno spazio metrico ed A un suo sottoinsieme. Si dice che il punto appartenente

Sia

ad X è un punto di accumulazione di A se : stesso, ha intersezione diversa

ovvero se ogni sfera aperta di centro e raggio , escludendo .

dall'insieme vuoto ( ) con l'insieme A per ogni numero reale positivo

Questo concetto è di importanza capitale.

Un punto di accumulazione dell'insieme A può appartenere all'insieme A stesso oppure non.

appartiene all'insieme A ed è un suo punto di accumulazione esso è detto punto non

Se

isolato di A .

Se appartiene all'insieme A e non è un suo punto di accumulazione esso è detto punto isolato

di A .

L'insieme dei punti di accumulazione di A si chiama derivato di A e si indica con D(A) .

Esempi :

- 1 - l'insieme dei numeri razionali Q sottoinsieme dello spazio euclideo R

ogni punto di Q è punto di accumulazione di Q e quindi non isolato. Questo può

essere spiegato pensando che fra due punti razionali vi è sempre un punto razionale compreso fra i

due (e distinto da essi), per esempio il loro punto medio. Graficamente :

In questo caso si vede che 1/10 è punto di accumulazione di Q quando si suppone di

prendere sfere aperte di centro 1/10 e di raggio via via metà.

Ogni numero irrazionale (appartenente ad R , non appartenente a Q , ma limite di successioni di

Cauchy in Q ) è punto di accumulazione di Q . Questo lo si può vedere per esempio costruendo il

numero razionale a partire dalla successione di Cauchy dei numeri razionali (espressi in forma

decimale) 1 ; 1,4 ; 1,41 ; 1,414 ; ... (non entriamo nei particolari di come una tale successione di

numeri razionali possa essere ottenuta ma sottolineiamo il fatto che si costruisce con essa un

). Prendendo una qualunque

numero con infinite cifre decimali non periodiche che rappresenta

sfera aperta di centro si trovano sicuramente punti di Q al suo interno. Il numero è

quindi punto accumulazione di Q . Graficamente :

(scala arbitraria)

Infine, il derivato di Q è R , cioè D(Q) = R .Ciò è di importanza capitale.

- 2 - l'insieme sottoinsieme di R dotato della metrica euclidea

esso possiede il solo punto di accumulazione 0 che non appartiene ad A . Ogni punto

di A è punto isolato. Graficamente :

Il derivato di A è . appartenenti allo spazio euclideo R

- 3 - gli intervalli , , ,

i derivati dei suddetti intervalli sono gli intervalli chiusi .

, , ,

Gli estremi a , b , c , d , e , f , g , h sono punti di accumulazione dei quattro intervalli (a

due a due) ed appartengono o non ai relativi intervalli. Ogni punto di ciascun intervallo è punto di

accumulazione di quell'intervallo e quindi è non isolato. Non vi sono punti isolati.

, C ,

- 4 - gli spazi metrici euclidei R ,

ogni punto di ciascun spazio è punto di accumulazione, quindi non isolato. Il derivato di

ciascun spazio coincide quindi con lo spazio stesso. appartenente allo spazio euclideo

- 5 - l'insieme

il derivato di A è il cerchio :

(prendendo anche i punti della circonferenza)

I punti dell'insieme A (i punti del cerchio senza quelli appartenenti alla circonferenza)

sono tutti punti non isolati. I punti della circonferenza sono punti di accumulazione di A che non

appartengono ad A . sottoinsieme dello spazio delle funzioni

- 6 - l'insieme

numeriche reali continue definite su dotato della metrica

tale insieme è visualizzato dal grafico :

L'insieme non ha punti di accumulazione per cui . La funzione y = 0 non ha

intorni circolari di raggio < 1 che contengono funzioni di A . Infatti :

Appunti di Matematica per le applicazioni II sulla Topologia sesta parte. Nello specifico gli argomenti trattati sono i seguenti: glispazi metrici : la topologia metrica, la sfera aperta, intorno, insieme chiuso, denso in sé, perfetto, la chiusura di un insieme, l'insieme denso in un altro.