Matematica per le applicazioni II -Topologia sesta parte

Spazi metrici: topologia metrica

In uno spazio metrico è possibile costruire una topologia in modo del tutto naturale. Dato un punto dello spazio ed un numero reale positivo, è immediato costruire l'insieme formato da tutti i punti che distano dal punto dato meno di quel numero. Un tale insieme, detto sfera aperta, ha tutte le caratteristiche per essere un intorno.

Uno spazio metrico genera quindi una topologia basata sulle sfere aperte che si possono costruire nello spazio. In questo capitolo mostriamo la topologia vista con un approccio prettamente metrico in perfetta analogia e corrispondenza con gli analoghi concetti mostrati nella sezione degli spazi topologici.

Sfera aperta. Intorno

Uno spazio metrico e un suo punto. Sia un numero reale positivo. L'insieme di tutti i punti di X che distano da meno di, si chiama sfera aperta (o intorno circolare) di centro e raggio.

Il motivo per cui si usa il sostantivo "sfera" dipende dal fatto che in alcuni contesti l'insieme in questione corrisponde geometricamente ad una sfera di centro e raggio (escludendo i punti della superficie sferica).

Il motivo per cui si utilizza l'aggettivo "aperta" dipende dal fatto che, a causa della disuguaglianza < r, vengono esclusi i punti per cui la distanza da è = r.

Un sottoinsieme di X contenente una sfera aperta si chiama semplicemente intorno di.

Esempi

• 1 - L'insieme dotato della metrica discreta

La metrica discreta consiste nel definire una distanza fissa, pari ad 1, per ogni coppia di punti distinti dell'insieme (mentre la distanza fra un punto e se stesso è ovviamente nulla). In questo caso lo spazio consiste nei soli tre punti a, b, c come indicato dal diagramma: Costruiamo alcune sfere aperte con centro nel punto a.

• 2 - Lo spazio euclideo R (la retta reale)

Le sfere aperte di R sono gli intervalli aperti. Preso il punto di R ed il numero reale positivo, la sfera aperta con centro è l'intervallo (escludendo gli estremi). Graficamente:

• 3 - Lo spazio euclideo

Le sfere aperte di sono i cerchi del piano ordinario con esclusione dei punti della circonferenza. Graficamente: (escludere dalla sfera aperta i punti della circonferenza).

• 4 - Lo spazio euclideo

Le sfere aperte di sono le sfere dello spazio ordinario escludendo i punti della superficie sferica. Graficamente: (escludere dalla sfera aperta i punti della superficie sferica).

• 5 - Lo spazio euclideo C dei numeri complessi (la retta complessa)

Un numero complesso può essere rappresentato da una coppia ordinata di. Esattamente il numero complesso è l'unità immaginaria e (dove sono due numeri reali) corrisponde alla coppia ordinata di. La metrica in C è (analoga a quella in R). Il modulo di un numero complesso è definito da per cui la distanza fra due punti di C è euclidea, essendo. Una sfera aperta di C è allora un cerchio, escludendo la circonferenza, come indicato dal grafico: (escludere dalla sfera aperta i punti della circonferenza).

• 6 - Lo spazio delle funzioni reali continue sull'intervallo dotato della metrica

La sfera aperta di centro e raggio, è un insieme del tipo illustrato in figura: (escludere le funzioni di "frontiera"). Ogni funzione contenuta nella striscia colorata appartiene alla suddetta sfera aperta (con eccezione delle funzioni).

• 7 - Lo spazio delle funzioni reali continue sull'intervallo dotato della metrica

In questo caso non è possibile avere una "visualizzazione" della sfera aperta di centro e raggio. Questo può essere illustrato dall'esempio: le funzioni f e g distano dalla funzione valori (aree colorate) minori di un dato ed esistono infinite altre funzioni più "strette" ad "alte" distanti anch'esse valori minori di.

Punto di accumulazione. Punto non isolato. Punto isolato. Derivato

In uno spazio metrico ed A un suo sottoinsieme. Si dice che il punto appartenente ad X è un punto di accumulazione...