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Costruzione di sfere aperte nello spazio euclideo
Le sfere aperte di R (la retta reale) sono gli intervalli aperti. Preso un punto di R e un numero reale positivo, la sfera aperta con centro è l'intervallo (escludendo gli estremi).
Graficamente, nello spazio euclideo tridimensionale, le sfere aperte sono i cerchi del piano ordinario con esclusione dei punti della circonferenza.
Graficamente, nello spazio euclideo tridimensionale, le sfere aperte sono le sfere dello spazio ordinario escludendo i punti della superficie sferica.
Nello spazio euclideo C dei numeri complessi (la retta complessa), un numero complesso può essere rappresentato da una coppia ordinata di due numeri reali. Esattamente, il numero complesso z = a + bi (dove a e b sono due numeri reali) corrisponde alla coppia ordinata (a, b). La metrica in C
è(analoga a quella in R ). Il modulo di un numero complesso è definito daper cui la distanza fra due punti di C è euclidea, essendo.Una sfera aperta di C è allora un cerchio, escludendo la circonferenza, come indicatodal grafico : (escludere dalla sfera aperta i punti della circonferenza)
- 6 - lo spazio delle funzioni reali continue sull'intervallo dotato dellametrica la sfera aperta di centro e raggio , , è un insieme del tipo illustrato infigura : (escludere le funzioni di "frontiera")
Ogni funzione contenuta nella striscia colorata appartiene alla suddetta sfera aperta (cone ).eccezione delle funzioni
- 7 - lo spazio delle funzioni reali continue sull'intervallo dotato dellametrica in questo caso non è possibile avere una "visualizzazione" della sfera aperta di centroe raggio . Questo può essere illustrato dall'esempio :
Le funzioni f e g distano dalla funzione valori (aree colorate) minori di un
Dato un spazio metrico ed A un suo sottoinsieme. Si dice che il punto X è un punto di accumulazione di A se ogni sfera aperta di centro X e raggio r, escludendo X stesso, ha intersezione non vuota con l'insieme A per ogni numero reale positivo r < 0.02. Questo concetto è di importanza capitale.
Un punto di accumulazione dell'insieme A può appartenere all'insieme A stesso oppure non appartiene all'insieme A ed è un suo punto di accumulazione, esso è detto punto non isolato di A.
Se appartiene all'insieme A e non è un suo punto di accumulazione, esso è detto punto isolato di A.
L'insieme dei punti di accumulazione di A si chiama derivato di A e si indica con D(A).
Esempi: -1
L'insieme dei numeri razionali Q è un sottoinsieme dello spazio euclideo R. Ogni punto di Q è un punto di accumulazione di Q e quindi non è isolato. Questo può essere spiegato pensando che tra due punti razionali c'è sempre un punto razionale compreso tra di loro (e distinto da essi), ad esempio il loro punto medio. Graficamente, si può vedere che 1/10 è un punto di accumulazione di Q quando si suppone di prendere sfere aperte di centro 1/10 e di raggio via via più piccolo. Ogni numero irrazionale (appartenente a R, ma non a Q, ma limite di successioni di Cauchy in Q) è un punto di accumulazione di Q. Questo si può vedere ad esempio costruendo il numero razionale a partire dalla successione di Cauchy dei numeri razionali (espressi in forma decimale) 1, 1.4, 1.41, 1.414, ... (non entriamo nei particolari di come una tale successione di numeri razionali possa essere ottenuta, ma sottolineiamo il fatto che si costruisce con essa un numero razionale).
C ,- 4 - gli spazi metrici euclidei R ,ogni punto di ciascun spazio è punto di accumulazione, quindi non isolato. Il derivato diciascun spazio coincide quindi con lo spazio stesso. appartenente allo spazio euclideo- 5 - l'insiemeil derivato di A è il cerchio :(prendendo anche i punti della circonferenza)I punti dell'insieme A (i punti del cerchio senza quelli appartenenti alla circonferenza)sono tutti punti non isolati. I punti della circonferenza sono punti di accumulazione di A che nonappartengono ad A . sottoinsieme dello spazio delle funzioni- 6 - l'insiemenumeriche reali continue definite su dotato della metricatale insieme è visualizzato dal grafico :L'insieme non ha punti di accumulazione per cui . La funzione y = 0 non haintorni circolari di raggio < 1 che contengono funzioni di A . Infatti :sottoinsieme dello spazio con 0 < a < 1- 7 - l'insiemesu cui è definita la metricatale insieme è visualizzato dal
grafico: La funzione y = 0 è qui punto di accumulazione (l'unico) di A. Tale punto non appartiene ad A. sottoinsieme dello spazio delle funzioni- 8 - l'insieme dotato della metrica numeriche reali continue definite su tale insieme, con la distanza fra due suoi elementi, è visualizzato dal grafico: Anche qui la funzione y = 0 è punto di accumulazione (l'unico) di A perché le funzioni di A si possono "schiacciare" a piacere sulla funzione y = 0: e quindi l'area indicata (la distanza da y = 0) può diventare piccola a piacere. Tale punto di accumulazione non appartiene ad A. Il punto di accumulazione soddisfa importanti proprietà. Fra queste: - 1 - se è punto di accumulazione dell'insieme A sottoinsieme dello spazio metrico allora l'intersezione fra ogni sfera aperta di centro, escludendo stesso, e l'insieme A è infinito, cioè contiene infiniti punti (circa il concetto di insieme).infinito ci basti una semplicereale è infinito per ogni comprensione intuitiva). Ovvero l'insieme positivo.
- 2 - il punto è punto di accumulazione dell'insieme A sottoinsieme dello spazio se e solo se esiste una successione in A (che abbia tutti gli elementi metricodiversi da ) per cui si abbia la convergenza (per ) in X .
Il significato dei suddetti teoremi è molto intuitivo per cui ci limitiamo ad enunciarli senza dimostrazione.
Conseguenze dirette della definizione di punto di accumulazione sono le seguenti definizioni di capitale importanza per la topologia indotta dalla metrica.
03 - Insieme chiuso, denso in sé, perfetto. Chiusura di un insieme. Insieme denso in un altro.
Sia - chiuso se
- denso in sé se .
- perfetto se
L'insieme si chiama chiusura di A .
Se A e B sono sottoinsiemi di X si dice che A è denso in B se . In particolare si dice che A è denso in X.
Esempi:
- L'insieme Q dei numeri razionali è un sottoinsieme dello spazio euclideo R. Poiché D(Q) = R, l'insieme Q è denso in sé e denso in R. L'insieme Q non è chiuso, dove x appartiene allo spazio metrico.
- L'insieme è chiuso perché il suo derivato è l'insieme vuoto (non ha punti di accumulazione) e perché l'insieme vuoto è sottoinsieme di qualunque insieme, anche di X. Questo significa che l'insieme, formato da un unico punto, costituisce un insieme chiuso.
- Gli spazi metrici euclidei R, , C sono insiemi perfetti (quindi sia chiusi che densi in sé) appartenenti allo spazio euclideo R.
- Gli intervalli , , , sono tutti chiusi (ciò giustifica il nome di intervallo chiuso) e sono tutti densi in sé. L'intervallo è inoltre perfetto, appartenente allo spazio euclideo.
- L'insieme si tratta del cerchio escludendo i punti.
Il concetto di densità della circonferenza (escludendo i punti della circonferenza) è costituito da tutto il cerchio. L'insieme A è denso in sé. La chiusura di A (comprendendo i punti della circonferenza) è perfetto. L'insieme è sottoinsieme dotato della topologia dello spazio delle funzioni numeriche reali continue definite su un intervallo simmetrico. L'insieme A è costituito dai polinomi di qualunque grado con coefficienti reali definiti. Si tratta di funzioni continue. Esattamente A è sottoinsieme proprio dell'intervallo chiuso perché tutti i polinomi sono funzioni continue e perché vi sono funzioni continue che non sono esprimibili come polinomi di grado finito (per esempio la funzione y = sin x). Ogni funzione continua (in particolare non polinomiale) è "approssimabile" da un polinomio. Approssimabile significa che la distanza fra una funzione data ed un polinomio scelto opportunamente può essere resa piccola a piacere, ovvero,
data una funzione continua f(x) si può trovare un polinomio p(x) che disti da f(x) un valore minore di un certo numero reale positivo preso a piacere (e quindi piccolo quanto si vuole). Graficamente: La dimostrazione di questo risultato è complicata per cui ci limitiamo ad affermare, intuitivamente, che, in effetti, possiamo "costruire" polinomi con il numero di "oscillazioni" che vogliamo (tale numero dipende dal grado: maggiore è il grado di un polinomio, maggiore è in generale il numero delle sue oscillazioni) e dall'andamento desiderato. Il derivato di A è quindi per cui A è denso in sé e denso in .04 - Punto interno. Insieme aperto. un punto di A. Esso si dice uno spazio metrico ed A un suo sottoinsieme. Sia Sia punto interno di A se esiste una
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