Matematica 2

MATEMATICA II

• MODULO - è la distanza di un punto dall'origine.

→ In _Rⁿ è coniugato attraverso le sue componenti.

Si identifica anche come NORMA EUCLIDEA.

Considero un intervallo [a,b]

S_o che in _R dato un punto X_o,

questo sarà interno o esterno a seconda

se l'intorno di X_o appartiene o meno all'intervallo.

In _Rⁿ introduciamo un nuovo sistema che prenderà il nome di:

INTORNO CIRCOLARE di X_o. Si indica con B_ε(x_o)

B_ε(x_o): { X∈_Rⁿ | X - x_o | < ε }

Geometricamente rappresentata un cerchio di raggio ε e centro in X_o.

Adesso posso definire punti interni e punti esterni per X∈_R.

• PUNTI INTERNI: Un punto X_o si dice interno se esiste un intorno circolare del punto che sia contenuto interamente nell'insieme di partenza.

• PUNTI ESTERNI: Un punto X_o si dice esterno se è interno all'insieme complementare di A.

• FRONTIERA (o BORDO): è un punto X_o detto di frontiera se non è né interno né esterno. Considerando dunque l'intorno circolare di X_o troviamo sia punti interni ad A che punti interni al suo complementare.

Parlando di insiemi, è necessario distinguere tra insieme aperto e chiuso.

• INSIEME APERTO: Dire che un insieme A è aperto vuol dire che prendendo un qualsiasi punto X_oϵ A riesca a determinare un intorno circolare (di X_o) contenuto in A. Un insieme aperto è formato da tutti punti interni.

• INSIEME CHIUSO: Un insieme A si dice chiuso se è il suo complementare a un insieme aperto. Quindi è chiuso se comprende anche i punti di frontiera.

• INSIEME LIMITATO Un insieme A è detto limitato se esiste una sfera centrata nell'origine di raggio M che comprende l'insieme A.

Questo da un punto di vista geometrico.

Anaitàicamente: Un insieme si dice limitato se:

∃M∈ℝ∋|X|≼M ∀X∈A

Indica che la distanza di ogni X∈A dall'origine deve essere minore o uguale al raggio della sfera con centro nell'origine.

• PUNTO DI ACCUMULAZIONE Un punto X_o si dice di accumulazione se ∀ε>0 A∩I_ε (x_o)− {x_o} ≠ ∅ (con X_o∈ℝ^m).

In altre parole X_o è un punto di accumulazione se A si espande con l'intersezione tra l'insieme A e l'intorno circolare di raggio r (con r>0) è un insieme non vuoto.

Consideriamo ora le FUNZIONI CON PIÙ VARIABILI. Queste funzioni sono del tipo:

f: A ⊆ ℝ^m → ℝ

Cioè, sono funzioni definite in sottinsiemi di ℝ^m e hanno valore in ℝ. Ad un generico punto (x, u) ∈ ℝ² (ad esempio) corrisponde un punto f(x, u) → (x, y; f(x, y)).

Esempio. Ho la funzione f(x, y) = x² + y².

È del tipo: f:(x, u) ∈ ℝ² → x² + y² ∈ ℝ

Graficamente è l'estensione di una parabola in uno spazio tridimensionale.

Questo grafico prende il nome di paraboloide.

(Ovviamente il grafico cresce all'infinito, è stato troncato per necessità.)

Continuità

Data una funzione f: A ⊆ ℝ^m → ℝ è continua se ∀

∀ε > 0 ∃ δ > 0 / |f(x) - f(x₀)| < ε, ∀x ∈ A e |x - x₀| < δ ε

lim x → x₀ f(x) = f(x₀) con x, x₀ ∈ ℝ^m

Possiamo dire che le funzioni definite in ℝ^m presentano la stessa

def. delle funzioni definite in ℝ da cui derivano.

Derivata parziale

Sia f: A ⊆ ℝ^m → ℝ e A è un insieme aperto

Per calcolare la derivata parziale in x_i:

x = (x₁, x₂, ..., x_i, ..., x_m)

Calcolo il rapporto incrementale rispetto x_i: (vuol dire che tutte le

coordinate restano costanti tranne x_i):

lim h→0 [f(x₁, ..., x_i + h, ..., x_m) - f(x₁, ..., x_i, ..., x_m)] / h

Se questo limite esiste ed è finito, diremo che f è derivabile parzialmente

te rispetto x_i e si indica con: ∂f(x)/∂x_i o D_if(x), f_xi(x)

Esiste anche un metodo alternativo.

In ℝ^m esiste un versore i-esimo e_i = (0, ..., 1, ..., 0)

quindi il limite può essere rescritto come:

lim h→0 [f(x + h⋅e_i) - f(x)] / h

si conserva h solo per la coordinata x_i.

Proprietà

• D_i(αf(x) + βg(x)) = αD_if(x) + βD_ig(x)
• Di f(x)/g(x) = D_if(x) ⋅ g(x) - f(x) ⋅ D_ig(x)/g²(x)

Notiamo che le regole di derivazione sono le stesse di ℝ

13 MARZO 2019

Finora abbiamo considerato funzioni del tipo:

f: A ⊂ ℝⁿ → ℝ, A è aperto

Andiamo a vedere perché l'insieme A è un aperto.

Immaginiamo di avere una funzione definita su un cerchio di raggio 1 e centro l'origine degli assi.

Verifichiamo se f(x,y) è derivabile parzialmente rispetto a x nel punto (1,0)

lim_h→0 ^{f(1+h,k) - f(1,0)}/_h (k è l'incremento)

Il problema è come appena andiamo ad incrementare la y perché

fuori dal cerchio e dunque k in quel punto non ho informazioni sulla funzione

Posso anche verificare l'esistenza di f_x(0,1)

lim_h→0 ^{f(h,1) - f(0,1)}/_h

ma con l'incremento di x

esco ancora una volta dal cerchio

Il cerchio è un tipico esempio di insieme per cui non posso definire la derivata parziale per tutti i punti appartenenti al bordo

Un altro sistema di questo tipo potrebbe essere il seguente:

Se valuto la derivabilità nell'origine, incrementando δx e δy esco fuori dal dominio; dunque

la funzione definita in questo insieme non è derivabile nell'origine.

Per questo, a priori, lavoriamo con insiemi

aperti che non possano dare problemi con i bordi

• Una funzione composta è costante quando x̄(t) ha come componenti (cos t/sin t).
• Quando calcolo β(x(t)) considero soltanto i punti della funzione che hanno come componenti quelle di x̄(t) :

la funzione in quel punto vale 1 perché: cos²t + sin²t = 1

Da un punto di vista geometrico abbiamo una circonferenza.

Posso dunque concludere che se costringo la funzione a muoversi lungo i parametri già calcolati, vale a dire che è costretta a muoversi lungo una circonferenza.

Derivata SECONDA delle funzioni composte

d² / dt² β(x(t)) = d / dt (d / dt β(x(t)))

quindi: la funzione deve essere differenziabile

f ∈ C²(A) = f ∈ continua e ha derivate continue

F'(t) = d / dt β(x(t)) = [Dβ(x(t)); x'(t)]

allora:

F''(t) = d² / dt² β(x(t)) = [Dβ(x(t)); x'(t), x'(t)] + [Dβ(x(t)), x^(t)]

∑_i,j=1^m β_xixj(x(t)) · x'(t) · x'_j(t)

Prima di andare avanti c'è bisogno di fissare alcuni concetti:

Consideriamo una matrice qualunque A e un vettore λ^→, il prodotto della matrice A per il vettore λ^→ produce Aλ^→ dove gli elementi somn indicati con a_i,j.

Voglio calcolare (Aλ, λ) = ∑_i,j=1ⁿ a_i,j · λ_j · λ_i

Questa sommatoria è detta FORMA QUADRATICA associata ad una matrice.

La FORMA QUADRATICA è un polinomio di secondo grado. Si chiama forma quadratica perché se moltiplico ogni componente di λ^→ per uno scalare "s" mi dà s².