Matematica 2

MATEMATICA II

• MODULO: è la distanza di un punto dall'origine.

In ℝⁿ è misurato attraverso le sue componenti.

Si identifica anche come NORMA EUCLIDEA.

Considero un intervallo [a,b]

Io so che in ℝ dato un punto X_o, questo sarà interno o esterno a seconda se l'intervallo di X_o appartiene o meno all'intervallo.

In ℝⁿ introduciamo un nuovo intervallo che prende il nome di INTORNO CIRCOLARE di X_o. Si indica con B_r(x_o).

B_r(x_o): X ∈ ℝⁿ | X - X_o | < r

Geometricamente rappresenta un cerchio di raggio r e centro in X_o

Adesso posso definire i punti interni e punti esterni per X ∈ ℝⁿ

• PUNTI INTERNI: Un punto X_o si dice interno se esiste un intorno circolare del punto che sia contenuto interamente nell'insieme di partenza.
• PUNTI ESTERNI: Un punto X_o si dice esterno se è interno dell'insieme complementare di A.

• FRONTIERA (O BORDO): Un punto X_o è detto di frontiera se non è mai interno né esterno: considerando dunque l'intorno circolare di X_o troviamo sia punti interni ad A che punti interni al suo complementare.

Parlando di insiemi è necessario distinguere tra insieme aperto e chiuso.

• INSIEME APERTO: Dire che un insieme A è aperto vuol dire che prendendo un qualsiasi punto X_o ε A riesco a determinare un intorno circolare di X_o contenuto in A.

Un insieme aperto è formato da tutti punti interni.

• INSIEME CHIUSO: Un insieme A si dice chiuso se il suo complementare è un insieme aperto. Quindi è chiuso se comprende anche i punti di frontiera.

MATEMATICA II

• MODULO: è la distanza di un punto dall'origine. In ⁿ è misurata attraverso le sue componenti. Si identifica anche come NORMA EUCLIDEA.

Considero un intervallo [a,b]

Io so che in ⁿ dato un punto X_o, questo sarà interno o esterno a seconda se l'intorno di X_o appartiene o meno all'intervallo.

In ⁿ "introduciamo un nuovo intorno che prende il nome di INTORNO CIRCOLARE di X_o. Si indica con B_r(x_o).

B_r(x_o) = { X ∈ ⁿ | x - x_o | < r }

Geometricamente rappresenta un cerchio di raggio r e centro in X_o.

Adesso posso definire punti interni e punti esterni per X ∈ ⁿ:

• PUNTI INTERNI: Un punto X_o si dice interno se esiste un intorno circolare del punto che sia contenuto interamente nell'insieme di partenza.

• PUNTI ESTERNI: Un punto X_o si dice esterno se è interno all'insieme complementare di A.

• FRONTIERA (O BORDO): Un punto X_o è detto di frontiera se non è mai interno né esterno: considerando dunque l'intorno circolare di X_o troviamo sia punti interni ad A che punti interni al suo complementare.

Parlando di insiemi è necessario distinguere tra insieme aperto e chiuso

• INSIEME APERTO: Dire che un insieme A è aperto vuol dire che prendendo un qualsiasi punto X_o ∈ A riesco a determinare un intorno circolare di X_o contenuto in A. Un insieme aperto è formato da tutti punti interni.

• INSIEME CHIUSO: Un insieme A si dice chiuso se il suo complementare è un insieme aperto. Quindi è chiuso se comprende anche i punti di frontiera.

• INSIEME LIMITATO: Un insieme A è detto limitato se esiste una sfera centrata nell'origine di raggio M che comprende l'insieme.

Questo da un punto di vista geometrico.

Anaficamente:

Un insieme si dice limitato se:

 ∃ M > 0   |x| ≤ M   ∀ x ∈ A

indica che la distanza di ogni x ∈ A dall'origine deve essere minore o uguale al raggio della sfera con centro nell'origine.

• PUNTO DI ACCUMULAZIONE: Un punto x₀ si dice di accumulazione per A se ∀ ε > 0   A ∩ B(x₀) ≠ ∅   (con x₀ ∈ ℝ^m).

In altre parole x₀ è un punto di accumulazione per A se per ogni r > 0 l'intersezione tra l'insieme A e l'intorno circolare di raggio r con centro in x₀ è un insieme non vuoto.

Consideriamo ora le FUNZIONI CON PIÙ VARIABILI. Queste funzioni sono del tipo:

 f : A ⊆ ℝ^m → ℝ

cioè, sono funzioni definite in sottinsiemi di ℝ^m e hanno valore in ℝ ad un generico punto (x, u) ∈ ℝ² (ad esempio) corrisponde un punto f(x, u)

esempio Ho la funzione f(x, u) = x² + u²