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Coseno
π/2 → 0
π → -1
3π/2 → 0
2π → 1
cos(α) = 1
sin(α) = 0
3π/2 = -1
Tangente
tg = cos/sin
Metodo di Direzioni
- y' = x + y
- y₀(a) = 1
- x₀ = 0
- y₀ = 1
Metodo di Eulero
d y / dx = f(x, y)
- y 0 = 1
- t 0 = 0
eq retta tang
m = k x0 y 0 + m0h
Pn (xn + 1, yn + 1)
Pn (0,5, 1,5)
- passo h = 0,5
- passo da 0,5 a 1,5
XA = 0,5
y1 = 1 + 0,5 = 1,5
y = f(t, x) + xt
l = a x n + 1 tx
Applicazione delle eq diff I ordine traiettorie ortogonali
X2 + y2 = R2
Es. : Traiet ortogonali x le curve seguenti: X = Ky2 K ≠ 0
K = Ky2 → inseriamo K
derivata di K: 1 / y 2 (x)
K = X / y2 (x)
y' = 7 / 2x
visual faro y2 + 2x2 = 2c
DEFINIZIONE
differenziabilita in un punto (a,b) (2 variables):
- Se le 2 derivate parziali Dx f(a,b), Dy f(a,b) esistono se f è derivabile
- diff (a+h, b+k) = f(a,b) + fx(a,b)h + fy(a,b)k + Rh,k
- f(a+h, a+k) = f(a,b) + h fx(a,b) + k fy(a,b) + o
DELLA DIFFERENZIALE + DERIVATA
DERIVAZIONE DI FUNZIONI COMPOSTE
x = x(t)
y = y(t)
f(t) = f(x(t), y(t)) t derivabile in t allora vale.
f′(t)=fx(x(t), y(t))x′(t)+fy(x(t), y(t))y′(t)
Es. Se f(x,y) = x2y + 3xy4 e x(t) = sin(t)
? = f′(0)
F(t) = f(x(t), y(t))
F′(0) = 2x(t)y(t)
fx = 2x2 +3xy3
fxy = x2 + 12xy3
F(t) = (2x(t)y(t) + 3y4(t))
f′(0) = 2(x(0)y(0) + 3y4(0))
f′(0) = 3
Equazioni differenziali del 1o ordine
Non siamo in possesso di risolvere tutte le equazioni differenziali.
Per analizzare delle tipologie che siamo a risolvere:
Equazioni separabili
Una equazione con questo schema:
y' = g(x) f(y)
Si dice separabile perché è secondo membro è prodotto
di una funzione g(x) che dipende solo da x
e una funzione f(x) che dipende solo dalla variabile y
Procedimento: Queste soluzioni (sempre soluzioni!!!)
Ci occupiamo delle equazioni che sono attribuite
Per determinare le equazioni y ≠ c.s. (f(y) ≠ 0)
Si procede in questo modo:
dy/dx = g(x) f(y)
1° primo membro tutto quello che riguarda u
2° secondo u, cioè u y
dy/f(y) = g(x) dx
dy/f(y) = q(x) d(x):
esempio:
y = x3 y
f(y) = y3
q(x) = x4
Cerco le soluzioni y t.c. f(y) =y4 ≠ 0
dy/dx = x4y
= ovv.y≠0
dy/y = x4 dx
∫ dy/y = ∫ x4 dx
log|y| = x5/5 che è una delle primitive
log|y| = x5/3 + C C ∈ R soluzioni implicite
Esavazio
Risolvimi
y(x) = x2ex + 3y
y(0) = 1/3
y'(x) = x2exe3y
dy/dx = x2exg(y)
f(g(y)) -> mai si annulla intadi
S dy/(e3y - 3) = S x2ex dx
e3y - ex + e -> Tutte le soluzioni
Esplicitano
e3y + 1 = -3C
C = (ex - 1) / 3
e3y = ex + (e + 1) / 3
Esplicito la y
log(e-3y) = log(e + 1 - ex)
-3y = log(e + 1 - ex)
y = 1/3 log(e + 1 - ex)
log ex = A
(e + 1 - ex) > 0
ex < e + 1
x3log(e + 1)
I = (0, +∞)
A(x) = ∫ (2/x2) 5 (2x dx = (2x -x2 -2)/x) qui c’è quello tolto a dx (l.c.d)
t = x - x2 quindi
dx = (-2/x) dx = -a c t (2).
B(x) = ∫ ex dx = ∫ (a/x) e2/x dx = ∫ 3/4 t2 dx = ∫ 3d dx -3/t2 (≠ c)
Soluzioni
y(x) = (e7x + c3/2)
y(x) = C1e7x 3/2
CAMPO DI DIREZIONI METODO DI EULERO
(Una approssimazione geometrica prendiamo riferimenti sulla stesso condito un problema di inizio risolvi l’equatore conscutum diffizi il grafo es.
es: (∫ yd) = 1
N.B. Se saffiamo che è grado successo x un punto è (x0, y0), la curva dell’esercizio è sufficiente
Siasimurale della derivata → z è coeff. angolare.destremalaine tangente
y'(x) n
curva con m = x±*r*pg tusonepoi
quindi
\(\alpha = \frac{\lambda_1 \pm \sqrt{\lambda_1^2 - \alpha_1^2}}{2}\) \(\rightarrow\) \(-\alpha_1 \pm i\sqrt{\alpha_1^2 - \alpha_2^2}\)
\(\beta = \frac{\alpha_2}{2} + i\sqrt{\frac{\alpha_2^2 - \alpha_1^2}{2}}\)
in questo caso le soluzioni dell'eq differenziale sono \(C_1 \cdot e^{\alpha x} \cdot \sin(\beta x) + C_2 \cdot e^{\alpha x} \cdot \cos(\beta x)\) \(\forall C_1,C_2 \in \mathbb{R}\)
ESERCIZIO
\(y'' - 2y' = 0\) è lineare del secondo ordine a coefficienti costanti
se avessi 5y'' + 2y' = 0 \(\rightarrow y'' + \frac{2}{5}y' = 0\)
equaz. caratteristica di secondo grado \(2^2 - 2 \lambda = 0\)
\(2,12 = \pm \sqrt{2}\) cui radici distinte
le soluzioni saranno \(C_1 e^{\sqrt{2}x} + C_2 e^{\sqrt{x}}\) \(\forall C_1,C_2 \in \mathbb{R}\)
\(y'' - 2y' + y = 0\)
eq. caratteristica in \(\lambda\)
\(2^2 - 2 \lambda + 1 = 0\)
\((\lambda - 1)^2 \cdot 0 \(\rightarrow\) \(\lambda = 1\)
valore doppia \(\Delta = 0\)
soluzione: \(C_1 e^{\lambda x} + C_2 xe^{\lambda x}\) \(\forall C_1,C_2 \in \mathbb{R}\)
d) \(y'' + 2y' = 0\)
eq. caratteristica \( \lambda^2 + 2\lambda = 0\)
\(\lambda(\lambda+2) = 0\)
\(\lambda_1 = -2 \lambda_2 = 0\) 2 radici distinte
soluzione: \(C_1 e^{-2x} + C_2\) \(\forall C_1,C_2 \in \mathbb{R}\)
d) \(y'' + 2y = 0\)
eq. caratteristica 2\(\lambda\)
a = (a1, a2, a3)
b = (b1, b2, b3)
ab = (a1, ab2 + a2b3)
b = b | a | b cos α
es. Trovare un vettore unitario k al vettore i + j sull' a 3 è unitario (o versore) se e solo se la sua lunghezza è 1in generale se b ≠ 0 è nel generico vettoretale vettore unitario (versore) diretto come b orientato come
If u = b / |b|
Si lavoro in ℝ 3 cerca un vettore a =(a1, a2, a3) che sia n,⊥ 1 incognito
3i2
- a/ : (⧸ ) → ( )
- a/ : { } → ( )
{ a1 + a2 = 0
a2 + a3 = 0
a1 + a2 + a3 = 1
|a| = 1 |a| = {a1 i a2 i a3}
→a2 = a2
a3 = a2
√ a2 2 +a2 2 +a2 2=1 → √3a2 2 = 1 → 3a2 2 = 1/3
a2 = 1/3 trova 2 soluzioni → a2 = √1/3 → a2 = ±√1/3
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