Matematica 2

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Appunti matematica 2 - tutto il programma (Prima Parte )Teoria , Esercizi svolti basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni dell’università degli Studi di Milano …

Esame Geologia

Facoltà Scienze matematiche fisiche e naturali

Università Università degli Studi di Milano

A.A. 2019-2020

105 pagine

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Matematica e formule avanzate

Funzioni e calcoli trigonometrici

2π√3/2π/6π/3π/4π/2√2/2√3/3√2/2√2/2π/3√3/2√3√2/2√3√3−π/2π/2π/6OπsinO sin(α)=0π/2−1 tan π/2−π/2 tan = cos/sin

Equazioni differenziali e metodo di Eulero

y + 1 y' + x + y = 1 x = 0 y₀ = 1

Soluzione y⁰(x) y₀₀ + t₀ = _α^°/_α^° = +^ℎ = ₀ + ₀

Metodo di Eulero: d/dx f(x) m = x₀ + y₀ eq retta tang. m = K₀ + fg₀ y = KP₀ (x₀, y₀) = (x₀ +h, y₀ + mh₀)

x₁ y₀(1) passo h = 0.5 (2) passo da 0.5 a 1.5 x₁ = 0.5 y = 1 + 0.5 = 1.5 P₁ (0.5, 1.5)

u₂ = x_t + 4.2 eq retta t₂ 2s retta t₂ y = ⊗ x + 0.51.5 = x + l l = ? y = 2.5

Equazioni differenziali del secondo ordine

Equazioni differenziali del secondo ordine a coeff. costanti lineari:

y'' + ay' + ay = 0

Per la risoluzione eq ausiliaria caratteristica in secondo grado λ² + aλ + a = 0 Δ = 0 a₁ = a₂ = 0

Soluzioni sono c₁e^αx + c₂xe^αx dove Δ < 0 a₁ = r₁ - α 2 < 0

λ₁, λ₂ = -a &pm; √(a₂ - 4a₀) / 2 λ₁, λ₂ = -α &pm; i(β) = (-1)(a₀ - a₂)... → 0

Le soluzioni Che^αx sin(βx) + c₁e^αx cos(βx)

Prodotto scalare e vettori

Prodotto scalare: a·b = |a|·|b|·cosθ 0 < θ < π

Il versore è un vettore unitario cioè di modulo 1 a = b/|b|

Esempio: a = <5,7,0> u = ? u = a/|a| = <5,7,0> / √25+1+0 = <5/√26, 1/√26, 0>

|u| = √(5/√26)² + (7/√26)² |u| = 1

Funzioni di due variabili reali

Funzione di due variabili: f(x,y)

Dominio - dove esiste la funzione es.

f(x,y) = x² + y² D = R²
g(x,y) = ^x+y+1/_x-1 x ≠ 1 x+y ≠ -1 > 0 → y ≥ x-1
h(x,y) = x² + y³ sin(x)⁴
[g(x,y)= x log₁₀(y²-x)] y² - x > 0 → x < y²

Curve di livello

Curve di livello: f(x,y)= K K costante

Es. tracciare le curve di livello delle funzioni:

f(x,y) = √9-x²-y² K = 0,1,2,3

K=0 → √9-x²-y² = 0 → x² + y² = 9
K=1 → 9-x²-y² = 1 → x² + y² = 8
K=2 → 9-x²-y² = 4 → x² + y² = 5
K=3 → 9-x²-y² = 9 → x² + y² = 0

Limiti e continuità

Il limite non esiste quando:

C₁ ha come limite ± ∞

C₂ suo limite è L₂ ⇒ L₁ ≠ L₂

C₃ non ha limite L₃

Una funzione è continua se ha il limite

Derivate parziali

Derivata parziale: f(x,y) = x⁴ + x⁴y³ - 2y⁴

f_x = 3x

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