Matematica 2

Matematica

2

Applicazioni Lineari

Si definisce a.e. f : ℝ³ → ℝ² tale che

• f(v+w) = f(v) + f(w)
• f(r,v) = r·f(v) con r ∈ ℝ

Definisco Ker f : {(x,y,z) ∈ ℝ³ : f(x,y,z) = 0}

Definisco Dim Ker f il numero delle variabili libere

Definisco Im f : {(x,y) ∈ ℝ² : w = f(v)}

Definisco Dim Im f = ℝ^l - Dim Ker f

Questo significa che se la dimensione dell'immagine coincide con lo spazio di arrivo allora posso prendere la base standard.

In caso contrario Dim Im f mi dà il numero dei vettori che formano una base e sono dati dalle colonne lineamente indipendenti della matrice associata f.

Autovalori ed autovettori

Definisci:

Se f(v) = λv

L'autovalore (numero)

Trovo autovalori:

det(A - λI) = 0

Trovare un'equazione in λ e le soluzioni possono essere:

1. distinte (molteplicità 1)
2. doppie (molteplicità 2)
3. triple (molteplicità 3)

Autovettori

V_λ = {v ∈ ℝⁿ: f(v) = λv}

Significa l'insieme dei vettori appartenenti ad ℝⁿ tale che f(v) = λv

Si risolve con il sistema essendo:

Trovo un sottospazio che ha una sua dimensione dim>1 e quindi la dimensione mi dice il numero di vettori che formano una base.

Endomorfismo semplice:

1. Se V_λ+V_λ2+V_λ3+...+V_λn = dim V

Esempio: con tre soluzioni distinte in ℝ³ essendo ognuna con dim = 1 viene 3 = dim ℝ³ e quindi l'endomorfismo è semplice

2. f è semplice se esiste una base di ℝ³ fatta di autovettori.

Osservazione: Autovettori che provengono da autovalori distinti sono linearmente indipendenti

Circonferenza in R²

Modo 1: (x - α)² + (y - β)² = r²

• centro (α, β)
• raggio = r

Modo 2: x² + y² - 2αx - 2βy + γ = 0

• centro (α, β)
• raggio = √(α² + β² - γ)

Se manca il termine noto γ, la circonferenza passa per l'origine e la retta si ottiene uguagliando a 0 i termini di I grado:

-2αx - 2βy = 0

Fascio di circonferenze

Sia r ax + by + c = 0

P(x₀, y₀)

allora

(x - x₀)² + (y - y₀)² + h (ax + by + c) = 0

E il fascio di circonferenze tangenti ad r nel punto A.

Ora, se ho un altro punto B, oppure un raggio, posso trovare l'equazione della circonferenza che sarà una sola.

Distanza tra due punti

P(x₁, y₁, z₁) e Q(x₂, y₂, z₂)

d(P, Q) = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²)

Distanza punto - piano

P(x₀, y₀, z₀)   π: ax + by + cz + d = 0

d(P, π) = |ax₀ + by₀ + cz₀ + d| / √(a² + b² + c²)

Distanza punto - retta

P₀(x₀, y₀, z₀)   r:  { x = x₁ + ℓ t y = y₁ + m t z = z₁ + n t

dovè (x₁, y₁, z₁) è un punto P₁ sulla rettadovè (ℓ, m, t) è il vettore di direzione della retta

d(P₀, r) = |(P₀ − P₁) x (ℓ, m, t)| / |(ℓ, m, t)|

dovè per modulo di un vettore v(a, b, c) = √(a² + b² + c²)

Circonferenza in R³

È intesa come una X tra un piano ed una sfera

(x - α)² + (y - β)² + (z - γ)² = R²

a x + b y + c z + d ≤ 0

Il centro della π è sulla retta passante per il centro della sfera C(α, β, λ) e ⊥ al piano π

R² = r² + d²

(x = α + l t

y = β + m t

z = γ + n t

(fascia di rette passanti per il centro della sfera)

(l, m, n) ∧ (a, b, c) = 0 e trovo l, m, n

• Trovo la retta
• Trovo X con il piano π (per cui trovo il valore di t)
• Sostituisco t nell'equazione della retta e trovo le coordinate del centro della circonferenza