Matematica 2

Matematica 2

Applicazioni lineari

Si definisce un'applicazione lineare f: R³ ⟶ R² tale che:

• f(v + w) = f(v) + f(w)
• f(r · v) = r · f(v) con r ∈ R

Definisco Ker f: {(x, y, z) ∈ R³ : f(x, y, z) = 0}

Definisco Dim Ker f il numero delle variabili libere. La dimensione mi dà il numero dei vettori che formano una base di Ker f.

Definisco Im f: {(x, y) ∈ R² : w = f(v)}

Definisco Dim Im f = R^l - Dim Ker f. Questo significa che se la dimensione dell'immagine coincide con lo spazio di arrivo, allora posso prendere la base standard. In caso contrario, Dim Im f mi dà il numero dei vettori che formano una base e sono dati dalle colonne linearmente indipendenti della matrice associata f.

Se l'applicazione è data in coordinate, allora la matrice associata ha per righe i coefficienti delle coordinate:

f: R³ → R²

(x, y, z) → (x + y, x + z)

Matrice associata ad f: A = (^{1 1 0}_{1 0 1})

Se l'applicazione è data in coordinate polari la matrice associata ha per colonne i coefficienti delle coordinate:

f: R² → R²

• (i) → (i) significa i + 0j
• (j) → (2i + j) significa 2i + 1j

Matrice associata ad f: A = (^{1 2}_{0 1})

Se Ker f = {0} allora f è iniettiva. Se Dim Im S ≅ con il sottospazio di arrivo allora è suriettiva. È biettiva se è sia iniettiva che suriettiva (ISOFORMISMO). È invertibile se e solo se è iniettiva.

Sistemi lineari

Omogenei

Ax = 0

1. Se A è quadrata allora il sistema è risolubile solo se det A = 0, la soluzione banale (0,0,0) c'è sempre.
2. Se A non è quadrata allora il sistema è risolubile solo se: rg A < rg (massimo) [per rango massimo si intende il minimo tra righe e colonne].

N.B. Se il rango di A è massimo allora il sistema non ha soluzioni oltre a quella banale.

Non omogenei

A(^x/_y/_z/_t) = (^a/_b/_c)

1. Il sistema ha soluzione con n variabili libere se rg A = rg (A|B) ed n = rango A - 1.
2. Il sistema non ha soluzioni se: rg A < rg (A|B).

N.B. Se il rango di A è massimo allora il sistema ha sicuramente soluzioni.

Matrici

Prodotto A x B = C(n x m) (m x p) (n x p)

Determinante

A (_{a c}^{b d}) det A = (ad - bc)

Vettori lineamente indipendenti

1. Modo: av + bw ≠ 0

Se con a e b ≠ 0 il risultato viene 0 essi sono dipendenti. Se ho 2 vettori indipendenti v e w, posso vedere se un terzo vettore x è combinazione lineare dei primi due: x = av + bw. Se è vero, il terzo vettore è dipendente.

2. Modo: Li metto in una matrice in colonna e se det(A) = 0 essi sono dipendenti.

Autovalori ed autovettori

Definisco :

Se F(v) = λv

Trovo autovalori: det(A - λI) = 0

Trovo un'equazione in λ e le soluzioni possono essere:

• Distinte (molteplicità 1)
• Doppie (molteplicità 2)
• Triple (molteplicità 3)

Autovettori V_λ = {v ∈ Rⁿ : ρ(v) = λv}

Si risolve con il sistema essendo :

( a b c )( x ) = ( 0 )

( d e f )( y ) ( 0 )

( g h i )( z ) ( 0 )

Endoformismo semplice :

1. Se V_x + V_y + V_z + V_-x = dim V
2. F è semplice se esiste una base di R³ fatta di autovettori.

Osservazione: Autovettori che provengono da autovalori distinti sono linearmente indipendenti. La matrice di f rispetto alla base di autovettori è diagonale cioè:

Base = { V₁ , V₂ , V₃ }

Matrice diagonale

(_λ 0 0

0 _λ2 0

0 0 _λ3)

Cioè ha tutti 0 tranne la diagonale che sono gli autovalori.

Rette in R²

Equazione canonica 1: a x + b y + c = 0

Equazione canonica 2: y = m x + c

Fascio di rette che passano per P(x₀, y₀)

(Y - Y₀) = m (X - X₀)

Se impongo che passi anche per un altro punto Q(x, y), sostituisco x e y nel fascio e trovo una sola retta.