Derivate parziali
∂f/∂x (xo, yo) = limh→0 (f(xo+h, yo) - f(xo, yo))/h
∂f/∂y (xo, yo) = limk→0 (f(xo, yo+k) - f(xo, yo))/k
Differenziabilità
lim(h,k)→(0,0) (f(xo+h, yo+k) - f(xo, yo) + fx(xo, yo)h + fy(xo, yo)k) / √(h2 + k2)
Derivate parziali
∂f/∂v (xo, yo) = limh→0 (f(xo+h·ux, yo+h·uy) - f(xo, yo))/h
Gradiente
∂f/∂v (xo, yo) = ▽f (xo, yo) · v
Derivate parziali
∂f/∂x (x₀, y₀) = limh→0 [f(x₀+h, y₀) - f(x₀, y₀)] / h
∂f/∂y (x₀, y₀) = limk→0 [f(x₀, y₀+k) - f(x₀, y₀)] / k
Differenziabilitá
lim(h,k)→(0,0) [f(x₀+h, y₀+k) - f(x₀, y₀) + fx(x₀, y₀)h + fy(x₀, y₀)k] / √(h² + k²)
Derivate parziali
∂f/∂v (x₀, y₀) = limh→0 [f(x₀+h⋅ux, y₀+h⋅uy) - f(x₀, y₀)] / h
Gradiente
∂f/∂v (x₀, y₀) = ∇f (x₀, y₀) ⋅ v̅
Geometria Analitica
- Piano
Equazione: ax + by + cz + d = 0
Un piano ha sempre due facce,
tranne il nastro di Möbius
Se manca una variabile (x, y, z),
il piano è parallelo all'asse
della variabile mancante
Per un punto passano infiniti piani: "stella di piani"
Eq "stella di piani"
P0 ∈ π
ax0 + by0 + cz0 + d = 0
d = - (ax0 + by0 + cz0)
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
- Retta
Per una retta passano infiniti piani. Uno dei modi per
rappresentare una retta in forma cartesiana, è l'intersezione
di due piani:
{ax + by + cz + d = 0 π
{a'x + b'y + c'z + d' = 0 π'
Nπ (x, y, z)
Nπ' (x', y', z')
Distanza di un punto da un piano:
d (P0, π) se conosciamo l'eq. del piano
= |ax0 + by0 + cz0 + d| / √(a2 + b2 + c2)
Forma Parametrica
{
x = x(t)
y = y(t)
z = z(t)
}
P1P2 = t0 P2 P2 (congiungente)
v = P1P2
x: x - x1 = (x2 - x1) t
y: y - y1 = (y2 - y1) t
z: z - z1 = (z2 - z1) t
{
x = x1 + ℓt
y = y1 + mt
z = z1 + nt
}
OP = oP1 + v t
x - x1 / x2 - x1 = y - y1 / y2 - y1 = z - z1 / z2 - z1
CONICHE
- CIRCONFERENZA
- ELLISSE
- IPERBOLE
- PARABOLA
Equazione: x2 + y2 + ax + by + c = 0
C (α, β)
(x - α)2 + (y - β)2 = r2
A = πr2
Circ. = 2πr
A = π · r2 · α/360°
Equazione: x2/a2 + y2/b2 = 1 ⋅ (-1)
C (α, β)
(x - α)2/a2 + (y - β)2/b2 = 1
Equazione: x2/a2 - y2/b2 = 1 ⋅ (-1)
Equazione: y = ax2 + bx + c
a > 0
a < 0
Funzioni di più variabili
f: D ⊆ ℝ2 → ⊆ ℝ1
(x, y) → z
G = {(x, y, z) | (x, y) ∈ D, z = f(x, y)}
Il dominio è tutto il piano tranne l'insieme di punti appartenenti alla retta.
Esercizi
f(x, y) = (x + y)(x - y)
D: ℝ2
f(x, y) = x2/x2 + y
D: x2 + y ≠ 0
y ≠ -x2
f(x, y) = √(x + 2y)
D: x + 2y ≥ 0
y ≥ -x/2
(4) f(x, y) = loge (x2 + y2)
D: x2 + y
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