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Derivate parziali
∂f/∂x (x₀, y₀) = limh→0 [f(x₀+h, y₀) - f(x₀, y₀)]/h
∂f/∂y (x₀, y₀) = limx→0 [f(x₀, y₀+k) - f(x₀, y₀)]/x
Differenziabilità
lim(x,y)→(x₀,y₀) [f(x₀+h, y₀+k) - f(x₀, y₀) + fx(x₀, y₀)b + fy(x₀, y₀)k] / √(h² + k²)
Derivate parziale
∂f/∂v (x₀, y₀) = limh→0 [f(x₀ + h·ux, y₀ + h·uy) - f(x₀, y₀)]/h
Gradiente
∂f/∂v (x₀, y₀) = ∇f (x₀, y₀) · v̄
GEOMETRIA ANALITICA
- PIANO
Equazione: 2x + by + cz + d = 0
Un piano ha sempre due tracce,
tranne il nastro di Mömus
Se manca una variabile (x, y, z)
il piano è parallelo all'asse
della variabile mancante
Per un punto possono infiniti piani: "stella di piani"
Eq "stella di piani"
P0 ∈ Π 2x0 + by0 + cz0 + d = 0
d = - (ax0 + by0 + cz0)
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
- RETA
Per una retta passano infiniti piani. Uno dei modi per
rappresentare una retta in forma cartesiana, è l'intersezione
di due piani:
{ 2x + by + cz + d = 0 Π { 2x + b'y' + cz' + d' = 0 Π'
NΠ (x, y, z)
NΠ' (x', y', z')
(4) f(x, y) = log2(x2 + y2)
D: x2 + y2 > 0
(x, y) ≠ (0, 0)
tutto R2 tranne O
(5) f(x, y) = ex2y
D: R2
(6) f(x, y) = ex2+y2 / y
D: y ≠ 0
(7) f(x, y) = log2(x + y)xi + ysin x
D: x + y > 0
y > 0
(x, y) ∈ R2 : x + y > 0
(8) f(x, y) = 1 / sen(y - x)
D: sen(y - x) ≠ 0
y - x ≠ Kπ
y ≠ x + Kπ
Differenziabilità
Def: f(x,y) è derivabile in (x₀,y₀) se ∃ fx(x₀,y₀) e fy(x₀,y₀)
La derivata è
Def: Se f(x,y) è derivabile e f continua in (x₀,y₀), f è di classe C1 in (x₀,y₀)
f differenziabile in (x₀,y₀):
- f continua in (x₀,y₀)
- f derivabile in (x₀,y₀): esistano le derivate parziali, ma non è detto siano continue
- esiste il piano tangente in (x₀,y₀)
- f ammette derivate direzionali in (x₀,y₀) per ogni direzionev =(v₁,v₂)
Se f non è differenziabile in (x₀,y₀) allora:
- o non esiste almeno una tra le derivate parziali
- oppure, se esistono entrambe, almeno una delle due non sarà continua in (x₀,y₀)
Per verificare direttamente la differenziabilità:
lim(h,k)→(0,0) [f(x₀+h, y₀+k) - f(x₀,y₀) + fx(x₀,y₀)h + fy(x₀,y₀)k] / √(h²+k²)Calcolare le derivate direzionali lungo la generica direzione (cosθ, sinθ) nel punto (0,0)
1) f(x,y) = (x^3 y^3) / (x^2 + y^2)^2 (x,y) ≠ (0,0) 0 in (0,0)
v = (cosθ, sinθ)
∇f (0,0) = (0,0)
∇f (0,0) = lim (f(0+hcosθ, 0+hsinθ) - f(0,0)) / h (h→0)
lim (h^5 cos^3θ sin^3θ) / h^4 1/h = cos^2θ sin^3θ (h→0)
∀ θ ∈ [0,2π] il valore è finito, esistono tutte le ∇f (0,0)
2) f(x,y) = sin(xy) / sqrt(x^2 + y^2) (x,y) ≠ (0,0) 0 in (0,0)
v = (cosθ, sinθ)
∇f (0,0) = (0,0)
∇f (0,0) = lim (0 + hcosθ + 0 + hsinθ - 0) / h (h→0)
lim (h^2 cosθ sinθ) / h 1/h = cosθ sinθ (h→0)
Punti di Massimo e Minimo e di Sella
- Studiare i punti critici
∇f = { fx = 0 fy = 0
Th se (x0, y0) è max e min per f ⇒ ∇f (x0, y0)
- Trovare derivate parziali seconde (2)
- Costruire la matrice Hessiana
Hf = [ fxx fxy ] [ fxy fyy ]
Se:
- H > 0 e fxx > 0 ⇒ P. Minimo
- H > 0 e fxx < 0 ⇒ P. Massimo
- H < 0 ⇒ Né Max né Min ⇒ Sella
γL: x=a ⇒ f(x,y): ye2
f(0,0)=0
{0,1}=0 MIN.
f(1,0)=0
f(1,1)=e2 MAX
5. f(x,y) = x2 + y2 - xy + x + y
D = { x ≤ 0, y ≤ 0, x + y ≥ -3 }
3o quadrante
x + y = -3 ⇒ y = -3 - x
xy 0-3 -30
P1 (0, -3)
P2 (-3, 0)
{ 2x - y + 1 = 0
2y - x + 1 = 0
y = 2x + 1
3x + 3 = 0
{''' y = 2x + 1
x = -1
{ x=-1
y=-1
P3 (-1, -1)
MIN ASSOLUTO
limh→0 (h cosθ sinθ) / h2 - 1/h = ∞ non esiste
6.
f(x, y) = { (x arctan(xy))/(x2 + y2) se (x, y) ≠ (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
È continua?
lim(x, y)→(0, 0) x arctan(xy) / (x2 + y2) = limρ→0 (ρ2 cosθ sinθ) / ρ2 = ρ cos2θ sinθ = ρ continua
∂f / ∂x (x, y) = (arctan(xy) + (x arctan(xy)2) - y) (x2 + y2) - 2x (x arctan(xy)) / (x2 + y2)2
= (x2 arctan(xy) + y2 arctan(xy)) + x2 y / 1 + x3 y3 + y3 - 2x arctan(xy) / ((x2 + y2)2)
= -x2 arctan(xy), y2 arctan(xy) + y2 x2 y3 / 1+x3 y2
= (x2 + y2)2
∂f / ∂y (x, y) = (arctan(xy) + (x arctan(xy)2) - x) / (x2 + y2)2 - 2y (x arctan(xy)) / (x2 + y2)2
= x2 arctan(xy) + y2 arctan(xy) + x3 / (x3 y3 + x2 y2) + 2xy arctan(xy) / (x2 + y2)2
= y \log(y + 2) - \int \frac{y + 1}{y + 2} \, dy =
= y \log(y + 2) - y + 2 \log(y + 2)
= \left[ y \log(y + 2) - y + 2 \log(y + 2) \right]_1^2 = \left[ y \log(y + 1) - y + \log(y + 1) \right]_1^2
= 2\log 4 - 2 + 2 \log 4 - \log 3 + 1 - 2\log 3 - (2 \log 3 - 2 + \log 3 - \log 2 + 1 - \log 2)
= 5 \log 4 - 6 \log 3 = \log \frac{4^5}{3^6} - \log \frac{1024}{729}
3. \int \int_{[0,y],[0,x]} x e^{x^y} \, dx \, dy = \int_0^1 \left( \int_0^y x e^{x^y} \, dy \right) dx = \int_0^1 e^{x^y} \bigg|_{y=0}^{y=a} \, dy
= \int_0^1 e^x x - 1 \, dx = \left[ \frac{1}{2} e^{2x} - x \right]_0^1 = \frac{2}{e} - 1 - \frac{1}{2} = \frac{e^3 - 3}{2}
4. \int \int \frac{x^2}{1+x^y} \, dx \, dy = \int_0^1 x \left( \int_{1+y}^a \frac{1}{1+x^y} \, dy \right) \, dx = \int_0^d x \, \text{arctg} \, y \, \bigg|_{v=0}^{y=1} \, dy
= \int_0^1 \text{arctg} \frac{\pi}{4} \frac{1}{x^2} = \int_0^4 x \cdot \frac{\pi}{4} \, dx - \left[ \frac{\pi}{4} x^3 \right]_0^1
= \frac{\pi}{12} \approx 0.26
CAMBIO DI VARIABILI
Come nel calcolo di integrali di funzione a una variabile (integrazione per sostituzione), anche nelle integrazioni di funzioni di n variabili è necessario, a volte, utilizzare un metodo analogo: trasformare il coordinato nel piano.
Def.
D(x,y) ∫∫ f(x,y) dx dy => {x = ρ(u,v)y = h(u,v)}
D(u,v) ∫∫ f (ρ(u,v), h(u,v)) dudv · det J
MATRICE JACOBIANA
J = ⎢dρ/du dρ/dv⎥ ⎢dh/du dh/dv⎥ = det JACOBIANO
Coordinate polari
{x = ρcosθy = ρsenθ}
J = ⎢cosθ -ρsinθ⎥ ⎢sinθ ρcosθ⎥ = ρ
d x d y = ρ dρ dθ
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