Matematica II

Corso di Matematica II

Testo: Calcolo - Funzioni di più variabili

Autore: Stewart

Editore: Apogeo

Sunto del Corso

Ex. 1:

Determinare i punti stazionari della funzione e studiarne la natura:

• Calcolare f_x e f_y e porle = 0; vedere per quali valori di x e y le f_x e f_y risultano nulle e scrivere i punti stazionari (x₀, y₀)
• Calcolare:
• f^''_xx (x₀, y₀), f^''_yy (x₀, y₀), f^''_xy = f^''_yx (x₀, y₀)
• Se f^''_xx (x₀, y₀)⋅f^''_yy (x₀, y₀) − [f^''_xy(x₀, y₀)]² > 0

• Allora guardare f_xx;
• Se f_xx > 0 → punto di minimo relativo
• Se f_xx < 0 → punto di massimo relativo

• Se f^''_xx (x₀, y₀)⋅f^''_yy (x₀, y₀) − [f^''_xy (x₀, y₀)]² < 0 → punto di sella
• Se f^''_xx (x₀, y₀)⋅f^''_yy (x₀, y₀) − [f^''_xy (x₀, y₀)]² = 0 → non si può determinare la natura del punto stazionario

Ex. 2:

Sia γ il segmento che unisce i punti (a, b, c) e (d, e, f), calcolare l’integrale di linea:

1. ∫[f₁(x)]dx + [f₂(y)]dy + [f₃(z)]dz = 0

Per prima cosa bisogna verificare che l’integrale sia esatto:

• dF₁/dy = dF₂/dx
• dF₂/dz = dF₃/dx
• dF₁/dz = dF₃/dy

Se le tre equazioni sono verificate si procede al calcolo del potenziale

∫Udx = ∫F₁dx = f₁ + C(y,z) ^①

• Derivo ^① rispetto a y per ottenere ∂C/∂y e la eguaglio a ∂f₂/∂y → esplicito ∂C/∂y
• Integro ∂C/∂y in dy per ottenere il valore di C(y)

Teoria Analisi II

Sia f una funzione che ha un valore estremo nel punto P(x₀, y₀, z₀) su una superficie S e C una curva di equazione vettoriale r(t) = (x(t), y(t), z(t)) che si trova su S e passa per P. Se t è il parametro corrispondente a P, allora r(t₀) = ( x₀, y₀, z₀) e f è rappresentabile attorno a r(t₀) = f(x(t), y(t), z(t)) rappresenta valori che f assume lungo la curva C. Poiché f è un estremo se f è differenziabile, usando la regola di derivazione delle funzioni composte è:

• 0 = λ’h(t₀) = Fx(x₀, y₀, z₀)+F_y(x₀, y₀, z₀) y’(t₀) + F_z x’(t₀) = ∇f
• ∇f(x₀, y₀, z₀) ⋅ ṙ(t₀)
• ∇f(x₀, y₀, z₀)
• Δr(t₀)

Il vettore gradiente ∇f(x₀, y₀, z₀) è ortogonale al vettore tangente ṙ