Matematica II

Corso di matematica II

Testo

Calcolo - Funzioni di più variabili

Autore

Stewart

Editore

Apogeo

Sunto del corso

"Formulario" di analisi II

Ex. 1: Determinare i punti stazionari della funzione e studiare la natura

Calcolare f_x e f_y e porle = 0; vedere per quali valori di x e y le f_x e f_y risultano nulle e scrivere tutti i punti stazionari (x₀, y₀).

Calcolare: f"_xx(x₀, y₀); f"_yy(x₀, y₀); f"_xy = f"_yx (x₀, y₀).

Se f"_xx(x₀, y₀)·f"_yy(x₀, y₀) - [f"_xy(x₀, y₀)]² > 0 allora guardare f"_xx; se f"_xx > 0 → punto di minimo relativo.

Se f"_xx(x₀, y₀)·f"_yy(x₀, y₀) - [f"_xy(x₀, y₀)]² < 0 → punto di massimo relativo.

Se f"_xx(x₀, y₀)·f"_yy(x₀, y₀) - [f"_xy(x₀, y₀)]² = 0 → non si può determinare la natura del punto stazionario.

Ex. 2: Calcolare l'integrale di linea

Sia γ il segmento che unisce i punti (a, b, c) e (d, e, f), calcolare l’integrale di linea.

∫_γ[F₁(x)] dx + [F₂(y)] dy + [F₃(z)] dz = 0.

Per prima cosa bisogna verificare che l'integrale sia esatto: dF₁/dy = dF₂/dx, dF₂/dz = dF₃/dx, dF₃/dz = dF₃/dy.

Se le tre uguaglianze sono verificate si procede al calcolo del potenziale: ∫U dx = ∫F₁ dx = f₁ + C(y,z) (1).

Derivo (1) rispetto a y per ottenere ∂C/∂y e la eguaglio a ∂f₂/∂y → calcolo ∂C/∂y.

Integro ∂C/∂y in dy per ottenere il valore di C(1).

Derivo la (1) rispetto a z per ottenere ∂C/∂z e la eguaglio a ∂f₃/∂z → esplicito ∂C/∂z.

Integro ∂C/∂z in dz per ottenere C(z).

Soluzione generale: U = f₁ + C(y) + C(z).

Soluzione ristretta ai punti: U(d, e, f) - U(a, b, c) = 0.

Ex. 3: Trovare la soluzione generale del sistema

dx/dt = ax + by, dy/dt = cx + dy.

Si determinano poi le soluzioni soddisfacenti le condizioni x(t)=e, y(t)=f.

[dx/dt] = [^{a b}][^x], [dy/dt] = [^{c d}][^y].

Det (A - λI) = |^{a-λ b}| = (a-λ)(d-λ) - (b∙c) |^{c d-λ}|.

Risolvere l'equazione di secondo grado e trovare i valori di λ.

Det (A - λ₁I)(V₁) = 0.

|^{a-λ₁ b}| |^V₁| = |^{c d-λ₁}| |^V₂|.

(a-λ₁)V₁ + bV₂ = 0, cV₁ + (d-λ₁)V₂ = 0 ⇒ {^{V₁ = k₁}, ^{V₂ =} j₁}.

Det (A - λ₂I)(V₂) = 0.

|^{a-λ₂ b}| |^V₁| = |^{c d-λ₂}| |^V₂|.

(a-λ₂)V₁ + bV₂ = 0, cV₁ + (d-λ₂)V₂ = 0 ⇒ {^{V₁ = k₂}, ^{V₂ =} j₂}.

Soluzione generale: [^x] = C₁e^λ₁t[^k₁] + C₂e^λ₂t[^k₂].

[^y] [^j₁] [^j₂].

x(t) = e, y(t) = f  ⇒  x = k₁C₁e^λ₁t + k₂C₂e^λ₂t y = J₁C₁e^λ₁t + J₂C₂e^λ₂t.

Risolvere il sistema trovando C₁ e C₂.

Ex. 4: Trovare la soluzione generale dell'equazione

d²y + b¹ + cY = e^kt      al variare di λ.

Trovare l'equazione omogenea associata: aλ² + bλ + c = 0  ⇒  λ₁   y₁ = e^λ.