Integrali, teoremi e integrali impropri

Integrale di Riemann

L'integrale di Riemann per una funzione \( f \) limitata e definita su un intervallo \([a, b]\) può essere sviluppato attraverso un ragionamento di approssimazione di esaustione. Seguendo la definizione, per le funzioni continue, l'integrale secondo Riemann è equivalente all'integrale secondo Lebesgue.

Metodo di suddivisione

Dividiamo l'intervallo \([a, b]\) in sottointervalli uguali. Consideriamo \( S_x \) avente n rettangoli con base \( \Delta x \) e altezza definita dalla funzione in ciascun punto. Applicando il teorema di Weierstrass, possiamo definire tali rettangoli per ottenere un'approssimazione dell'area sottostante la curva.

Definizione di partizione

Una partizione dell'intervallo \([a, b]\) è costituita da un insieme finito di numeri \( x_i \) tale che \( a = x_0 < x_1 < \ldots < x_n = b \). Per ciascuna partizione fissata, definiamo \( \Delta x_i \) come la lunghezza di ciascun sottointervallo.

Concetti di integrale inferiore e superiore

L'integrale inferiore è definito come l'area dei rettangoli inscritti, mentre l'integrale superiore consiste nell'area dei rettangoli circoscritti. La differenza tra queste due aree fornisce un'indicazione dell'errore di approssimazione.

Condizioni di integrabilità Riemann

Una funzione è Riemann-integrabile se per qualsiasi scelta della partizione la differenza tra l'integrale superiore e quello inferiore tende a zero. Questa condizione è fondamentale per stabilire l'integrabilità della funzione su un intervallo.

Proprietà fondamentali

• Se \( f \) e \( g \) sono integrabili su \([a, b]\), allora anche la somma \( f+g \) è integrabile.
• La linearità: \(\int (cf + g) = c\int f + \int g\).
• La monotonia: se \( f \leq g \), allora \(\int f \leq \int g\).

Queste proprietà sono essenziali per l'applicazione pratica degli integrali di Riemann, consentendo di calcolare aree e volumi sottostanti curve e superfici in vari contesti matematici e fisici.