Integrali generalizzati

Integrali generalizzati (o impropri)

Negli integrali propri g: [a,b] ➔ ℝ ed g è limitata (tra m e M).

Estendiamo questa nozione nel caso in cui l'intervallo di definizione di g non è limitato o g non è limitata in (a₀, b).

Definizione

Sia g: (a₀, b] continua in [a₀, b) e non limitata in (a₀, b).

Si dice che g è integrabile se ∫₀^b g(x) dx è convergente se esiste ed è finito lim_ε➔0⁺ ∫_ε^b g(x) dx (1).

In tal caso si pone ∫_a0^b g(x) dx = lim_ε➔0⁺ ∫_ε^b g(x) dx.

Se invece il limite (1) è pari a +∞ o −∞ allora l'integrale g(x) dx si dice divergente.

Se (1) non esiste ∫_a0^b g(x) dx non esiste.

Analogamente g: (a,b] ➔ ℝ è continua ma non limitata in (a₀, b).

∫_a^b g(x) dx = lim_ε➔0⁺ ∫_a^b-ε g(x) dx.

Esempio fondamentale

∫_a^b (1 / (b - x)) dx a > 0.

lim_x➔b^- (1 / (b - x)) = +∞.

g(x) è continua in [a₀, b).

Graph with label I(ε) = ∫₀^ε (1 / (b - x)) dx.

Integrali generalizzati (o impropri)

Negli integrali propri: g:[a,b] → ℝ ed g è limitata (tra m e M).

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Estendiamo questa nozione nel caso in cui l’intervallo di definizione di g non è limitato o g non è limitata in (a,b).

Definizione

Sia g:[a,b) continua in [a,b) e non limitata in [a,b).

Si dice che g è integrabile ∫_a^a g(x) dx è convergente se esiste ed è finito lim_ε→0⁺ ∫_ε^ag(x) dx (1).

In tal caso si pone ∫_a^bg(x) dx = lim_{ε → 0⁺} ∫_a^b-εg(x) dx.

Se invece il limite (1) si parla di divergente.

L’integrale ∫_a^b g(x) dx non esiste.

Analogamente se g: (a,b] →ℝ è continua ma non limitata in (a,b].

∫_a^bg(x) dx = lim_{ε → 0⁺}∫_a+ε^bg(x) dx.

Esempio fondamentale

∫g(x) = 1/(b-x) a > 0.

lim_x→b^- 1/(b-x)² = + ∞.

g(x) è continua in [a, b).

1^o caso) α=1.

∫₀^b-ε = ∫₀^b-ε = [- ]^b-ε_b-ε = [ ]_+ε^+∞ = +∞ - ⇨ Non ∈ integrabile in [ ].

∫_a^b dx= +∞.

2^o caso) x≠1 ∫¹_b-x dx = - +c.

∫₀^b-ε dx= - + ∫₀^b-ε dx = [ ].

2.1) ∃ α<λ ⇒ λ-α>0 lim_ε→0⁺ ε^1-α =0.

lim_ε→0⁺ [(b-α)-ε] =.

2.2) ∃ x⟩λ ⇒ λ-α⟨0 lim_ε→0⁺ ε^1-α = +∞.

lim_ε→0⁺ [(b-α)] = +∞ α≠0.

In modo che in: a f(x) ∈, continua quindi - (b-x)con continua si in [a,b).

∫^b-ε_u+ε = (x)con ) se x=1 [(b-α) -ε]^x.

In particolare ∫₀^λ x^α dx = ⟶ ∞ se α ≥ -1 ∫_α^∞ x^α dx = ⟶ 0 se α < -1.

Per esempio ∫₀¹ x^-1/2 dx = limα_⟶0+ [ x^1/2 ₀¹ ] = 2.

1. Criterio di confronto (C.C.)

Siano f,g : [0,b) ⟶ ℝ continue in (0,b)_{(0,ε]      (0,δ]}.

Tali che ∀ x ∈ (0,b), 0 ≤ f(x) ≤ g(x).

Allora se g è integrabile in (a,b] ⇒ f è integrabile in (a,b].

Se g non è integrabile in (a,b] ⇒ f non è integrabile in (a,b].

2. Criterio del confronto asintotico

Se f,g ⟶ λ in (0,δ] continue.

E se lim_x⟶0+ ^f(x)/_g(x) = λ allora _{f   (0,δ]   g    (0,δ]}.

∫_a^b f è integrabile in (a,b] ed ∫_a^b g è integrabile in (a,b] ⇔ quindi anche ∫_a^b f non è integrabile in (a,b] ⇔ ∫_a^b g non è integrabile in (a,b].

Oss. Sia c ∈ ℝ \ {0}_c in particolare c può essere ⟶0 o c_⟶0.

Allora c è integrabile in (a,b) ⇒ c _g   c è integrabile in (a,b).

∫_a^b c _g(x) dx = c ∫_a^b g(x) dx.

Inoltre g non integrabile in (a,b) ⇔ c ∫_a^b g non è integrabile in (a,b).

Esempio: stabilire se i seguenti funzioni sono integrabili in (a,b]

∫₀^{x 1}/_1-x² dx.

f(x) = ^λ_1-x².

f' definita se λ-x² ≠ 0     ¹/_{x ≠ ±1}.

f (x) = ¹/_√(λ-x²).

f' continua in ℝ \ {-, 1}.

lim^{−1+ x⟶1} f(x) = lim^{−1+ x⟶0+} f'(x) = +∞.

∫₀¹g(x) = ^λ/_{√λ - x} = ^λ/_{√(λ-x)(λ+x)} = ^λ/_√λ x ¹/_√λ-x.

∫ g(x) = ^λ/_√λ-x - ¹/_√2x - ¹/_√2.

lim_x→0+ g(x) = f(x) x - lim_x→0+ = ^λ/_{√x - x} = ¹/_√λ = 1.

∫¹₀g(x) dx = ∫^λ/2 x dx =^λ/_(x-x)³ è integrabile in [0,1].

g(x) è integrabile in [0,1].

lim_x→0+ f(x) = 1 => g(x) è integrabile in [0,1].

9. ∫_{x² + 5x + 4} dx.

∫_{∫^∞3x² - 5x + 4 = 0 => x ≠ 1, x ≠ 4}.

g(x) è continua in R\{1, 4}.

(x² - 5x + 4) = (x-x)(x-4).

g(x) = ¹/_{x² - 5x + 4} = ¹/_{x -4}.

g(x) = ¹/_{x -4}.

∫^∞g(x) = (g - ∫³).

lim_x→0+ g(x) = lim_x→∞ = ^λ/_{x -4} = ¹/₃ = 1.

g(x) = ¹/₃ = 1.

∫^∞₂ x dx = +∞ = ∫³₀ g(x) dx = -∞.

lim_x→∞ f(x) g(x) = 1.

Nuova situazione

Se f: (α, b) → ℝ continua e non nulla in (α, b) e di segno non costante in un intorno (destro) di α.

Esempio

g(α): _α^{sin A}/_x = α_lim→∞^{sin A}/_x.

Teorema

α alternante integrale ⇒ β integrabile.

Se ∫_α^b |g|dx converge allora ∫_α^b f(x)dx converge.

Idea della dimostrazione

g₁(x)g₂(x)g₃(x)β - ∀ _α0 ≤ β₁(x) ≤ |f(x)| 0 ≤ β₂(x) ≤ |f(x)|.

Indicare β(x) = β₁(x) - β₂(x).

∫_α^b |g(x)|dx = ∫_α^b β₁(x)dx + β₂(x)dx.

Se ∫_α^b |β₁(x)|dx c.c. ⇒ ∫_α^b β₁(x)dx ∈ ℝ e ∫_α^b β₂(x)dx ∈ ℝ.

Quindi, per linearità ∫_α^b β₁(x)dx - ∫_α^b β₂(x)dx ∈ ℝ = g è integrabile.

Torniamo all'esercizio

∫₀¹ f(x) = ¹/_√x sin ¹/_x non è limitata in (0,1].

È integrabile in [0,1]?

Vediamo se è assolutamente integrabile in [0,1], cioè se ∫ | f(x) | è integrabile in [0,1].

O₆ | f(x) | = ¹/_√x | sin ¹/_x | ≤ ¹/_√x e ¹/_√x = ϱ(x).

g(x) = ¹/_√x è integrabile in [0,1]? Sì.

Quindi per il C.C. anche | f(x) | è integrabile in [0,1] ⇒ f(x) = ¹/_√x sin ¹/_x integrabile in [0,1].

∫₀^{1 1}/_√x sin ¹/_x dx.

Nuova definizione: integrale su intervalli illimitati

Sia g: [a_ω, +∞) → ℝ continua in [a_ω, +∞) (-∞,b].

Defs

Sia g: [a_ω, +∞) → ℝ continua, si dice che ∫ g è integrabile in a_ω.

∫^+∞ g(x) dx = convergente se esiste ed è finito lim _{ω ➝ +∞} b∫^ω g(x) dx.

In tal caso si pone a_ω∫^+∞ g(x) dx = lim _{ω ➝ +∞} b∫^ω g(x) dx.

Se il limite (2) è +∞ oppure -∞) si dice che l'integrale b∫^+∞ g(x) dx è divergente e g non è integrabile in [a_ω,™∞).

Se il limite (2) non esiste allora l'integrale non esiste.

Analogamente se g:[-∞,b] → ℝ continua si pone [-∞,b]∫ g(x) dx = lim_{a ➝-∞} b∫^a g(x) dx.

Infine se g: ℝ→ ℝ continua si pone -∞∫^∞ g(x) dx = [-∞,a]∫ g(x) dx + [a,∞]∫ g(x) dx.

Dove a è un punto qualsiasi.

Esercizio fondamentale

Sia α > 0 studiamo l'integrabilità di f(x) = ¹⁄_x^α in (1,+∞).

Caso 1. α = 1.

∫₁^{w 1}⁄_x dx = lim_w→+∞ [log x]₁^w = lim_w→+∞ log w - log 1 = +∞.

∫₁^{w 1}⁄_x dx diverge e non è integrabile in [1,+∞).

Caso 2. α ≠ 1 (cioè α > 0).

∫₁^{w 1}⁄_x^α dx = (x^-α+1⁄_-α+1)₁^w = c = x^-α+1⁄_-α+1 + c.

Caso 2.1. α ∈ (0, 1).

α < 1 &rdca; -α+1 > 0.

lim_w→+∞ ∫₁^{w 1}⁄_x^α dx = lim_w→+∞ [x^-α+1⁄_-α+1]₁^w = lim_w→+∞ (¹⁄_-α+1(w^1-α - 1)) = +∞.

Se α ∈ (0, 1) allora ∫₁^{w 1}⁄_x^α dx = +∞ e ¾ non è integrabile in [1,+∞).

Caso 2.2. α > 1    1-α < 0.

lim_w→+∞ ∫₁^{w 1}⁄_x^α dx = lim_w→+∞ ¹⁄_-α+1 [x^-α+1]₁^w = lim_w→+∞ (¹⁄_-α+1 (w^1-α - 1)) = A = ¹⁄_-α+1 - 1.

∫₁^{w 1}⁄_x^α dx = ¹⁄_α-1 se α > 1      x^1-α è integrabile in [1,+∞).

Quindi ∫₁^{+∞ 1}⁄_x^α = { ^∞ α ≤ 1 ¹⁄_α-1 α > 1 }.

∫₀^{A 1}⁄_x^α dx = {^+∞ α ≥ 1¹⁄_1-α α < 1 }.