Gli "o-piccolo" per risolvere i limiti di funzioni, Analisi matematica

Lezione 14

Gli “o piccolo”

Definizione: Siano e due funzioni e sia , un

¿

∈

x R

f g 0

punto di accumulazione per il dominio di entrambe le

funzioni. Sia definitivamente per .

x → x

g( x) ≠ 0 0

( )

lim f x

Se scriviamo per (che si legge

( ) x → x

( )=o ( )

f x g x

x → x =0

0 0

( )

g x

“o piccolo” di ).

( ) ( )

f x g x

Applicazione teorema (infinitesimi e potenze)

(1) Siano e con e sia .

=+∞

x

α

( )=sin ( ) >

α 0

f x x =x

g x , 0

( )

lim f x lim sin x −1 sin x 1

, dato che .

≤ ≤

x →+∞ x →+∞

= =0 α α α

x x x

α

( )

g x x

Quindi, , .

( )

α >

α 0, x →+ ∞

sin x=o x

(2) Siano e e sia .

=0

x

3

( )=x ( )

f x =x

g x 0

3

( )

lim g x lim x per .

x→ 0

x →0 x→ 0 3 ( )

⇒

= =0 x o x

x

( )

f x

Più in generale, se <

0<α β

β

lim x , per .

x→ 0

( )

x →0 β β α

⇒

=lim =0 =o

x x x

−a

α

x x→ 0

Nota: è una quantità sempre positiva poiché .

<

β−α α β

Quando calcoliamo il limite di più infinitesimi, quelli più

veloci (quindi gli infinitesimi di ordine superiore) possono

essere trascurati.

Applicazione teorema (infiniti e potenze)

Siano e e sia .

=∞

x

3

( )=x ( )

f x =x

g x 0

( )

lim f x lim x lim 1 , per .

x →+∞

( )

x →+∞ x →+∞ x →+∞ 3

⇒

= = =0 x=o x

3 2

( )

g x x x

Più in generale, se <

0<α β

α

lim x lim 1 , per .

x →+∞

( )

x →+∞ x→+ ∞ α β

⇒

= =0 =o

x x

β β−α

x x

Nota: è una quantità sempre positiva poiché .

<

β−α α β

Quando calcoliamo il limite di più infiniti, quelli meno veloci

(quindi gli infiniti di ordine inferiore) possono essere

trascurati.

Gli “o piccoli” sono delle quantità che possono essere

trascurate quando si calcola un limite.

“O piccolo” e limiti ( )=0

lim f x

Definizione: Sia , con .

¿

∈

x R

0

x → x 0

( )

lim f x , per x → x

x → x ( )=o ( )

=0⇒ f x 1

0 0

1 { }

( )=L ∈ ∖

lim f x R 0

Definizione: Sia , con