Serie di funzioni per gli studenti d'ingegneria

Data una successione di funzioni su un intervallo I si devono avere le funzioni

_k=0Σ f_n(P) = _k=0Σ f_k(P)

Posto che S_n ≡ Σ f_n per una successione S_n così definita è detta successione delle somme parziali.

Si suppone che si possa parlare di convergenza delle successioni delle somme parziali allora si pone: Si Tatonio di convergenza delle successioni di Riemann, segmentaria.

Se l.T.I. tutte le difficoltà un Sn delle somme delle nostre aggregate allora la funzione si dispone in tale modo

S(P) &equiv lim_n-∞ S_n = lim_{P k=0}Σ f_k(P)

Tipologia di convergenza

1. Converg. puntuale o semplice
2. Converg. assoluta
3. Converg. un. Porma
4. Converg. totale

Convergenza puntuale

∀ x ∈ E ∃ N = N (x) : ∀ n ≥ Nₙ : Sₙ(x) = S(x) amm. punto libero la serie ∑aₖ₋₁ converge puntualmente.

Convergenza assoluta

Se la serie ∑ |fₖ(x)| converge libero e ∑ fₖ(x) converge assolutamente k=0 ⇒ |fₖ(x)| converge assolutamente.

Convergenza uniforme

Se ∑ fₖ(x) converge uniformemente k=0 Si converg uniformemente la successione particolare (Sₙ(x))

Convergenza totale

Date le serie ∑ fₖ(x) : detta converg. totalmente, se k=0 1. l’estremo super delle somme di Cauchy va + infinito 2. l’estremo sup (Sₙ(x)) ver ∑ aₖ < +∞ allora k=0 ∑ fₖ(x) converge totalmente. k=n Si pu enco dire che ∑ fₖ(x) converge totalmente in E se esiste k=0 una succession numerina (fₖ(x)) in generale posso enuncuizi di la convergenza esiste ⇒ se converge puntuale la "uniforme" ⇒ " " totale ⇒ " " assoluta " a un forma.

quando le somme convergono uniform.

_k=0 ∑ (-1)^k(ⁿ⁄_√k)

Studiare le conv. un. forma

R. riferire sempre alla serie logaritmica

∑_k=1 ^xk⁄_k

I = (-1, +1) = ∑

Series log (1 + ∑^x⁄_k)

⊃(|bn(x)| = (x u x) = ^xk⁄_√k = 0

si somma conv. uniformemente

Convergenza totale

Teorema

Date una serie di funzioni si vista e maggiorarle con una serie numerica a termine che maggiori convergenze, semplicemente ottiene intuito le convergenze totali ∑ = I.

Se i sono quanti form. convergono

sup H_k(P) = H_a < ∞

Se ΦΨ

Si reitero il Teor. generale delle discusioni di analizzare e maggiorare a le somme

I_k (P) < H_a

a le somme

∑ H_k a una serie converg. totalemente

Nel nostro caso

\(\sum_{k=2}^{+\infty} \frac{x^k}{k!} = \sum_{k=2}^{+\infty} \frac{\left( \frac{x}{k} \right)^k}{k!}\) \(\forall x \in \mathbb{R} - \{0\}\)

La somma è:

S(1) = \(\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{x^k}\)

\(\forall x \in \mathbb{R} - \{0\}\)

Distinguere la conv. puntuale e la somma

\(\sum_{k=2}^{+\infty} \frac{x^k}{k!} \text{ e } \sum_{k=2}^{+\infty} \frac{k^2}{k!}\)

Ricordate la serie geometrica puntata, poi osservare che:

\(\left| \frac{x}{3} \right| ^2\) se \( |x| > 2 \) =>

\(\sum_{k=2}^{+\infty} \frac{x^k}{2^k}\)

Le serie convergono assolutamente

Sia x = (-\(\infty\), \(\sqrt{7}\))

le 3 serie sono:

S(0;1): \(\frac{4}{2} - 1 - \frac{2}{x^2} \frac{x^2}{2} - 1 - \frac{2}{x^2} - \frac{4}{x^2 (1-K-2)} \)

\(\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{x^k}{2^k} \forall x \in \mathbb{R}\)

Determinare la conv. puntuale e la somma di:

\(\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{x^k}{2^k!} = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{2^k x^k}{2k!}\)

Questa serie è ricavata la serie naturale "oscura" - pericolo

Le serie convergono assolutamente

Esercizi

∑_k^∞ ² (-1)^k (cos x)^k

Studiare la convergenza totale in A=[0, π]

Sup_x∈[0,π] | (-1)(cos x)^2k/¹⁄_k² |

Pertanto,

∑_k=1^∞ 1/k² convergere totalmente ed è pertic;une zone qualsiasi trapado

∑_k=1⁄¹(k³!)

Calcolare la conv. puntuale e totale

La serie è dovuta da serie di Riemann

Le somme: S(x)=∫ f(x-3t) d è somma in funzione di f

Studiare la conv. puntuale

Ι = {x ∈ ℝ : |x-1| > 1}

k> 3≠ 1

β = { (-∞, 2) ∪ (4, ∞) }

Studire la conv. totale

Deve pure |x-3| > 2

C₀ = (-∞, 3-d] ∪ (3+d, ∞) è d'unione di conv. totale

\(\sum_{m=1}^{\infty} \left( \sum_{n=1}^{m} \left( \frac{\sin{x}^n}{\sin{x}^{2^n}} \right) \right)\)

Costruire le successioni della somma parziale, calcolare il limite, e poi trovare l'estremo di convergenza uniforme.

È una serie telescopica.

\(\sum_{n=1}^{\infty} \left( f_n(x) \right) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n - a_{n+1}\)

Le successioni delle somme parziali:

\(s_m(x) = \sin{x}^2 - \left( \sin{x} \right)^{m+1}\)

Esamino il limite:

\(\lim_{m \to \infty} s_m(x) = \sin{x}^2\)

Calcolo l'estremo di dove uniformo dove uniformo dove trovare

\(\sup_{x \in \mathbb{R}} |s_n(x)| - |s(x)| = \sup_{x \in \mathbb{R}} \left| \left( \sin{x} \right)^{m+1} - \sin{x}^2 \right|\)

\(\sup_{x \in \mathbb{R}} \left| \sin{x}^2 \right| - \left( \sin{x} \right)^{m+1} \right| = \sup_{x \in \mathbb{R}} \left( \sin{x}^m \right)^{m+1} = \frac{1}{m+1}\)

\(\frac{1}{m+1} \to 0 \quad m \to \infty\)

La serie converge uniformemente.