Matematica - gli insiemi

Insiemi

è un gruppo di elementi (elementi dell’insieme) determinati e distinti

gli insiemi si denotano con le lettere maiuscola mentre gli elementi con quelle minuscole

A{1,2,3,a,s} = B{₁,₂,3,c₃}

3 ∈ A 6 ∉ A

C{2,1,s} C è un sottoinsieme di A se i suoi elementi sono anche elementi di A

C ⊆ A A ⊈ C

insieme vuoto ∅ per convenzione è contenuto in tutti gli insiemi per ogni insieme

∅ ⊆ A per ogni A insieme

per indicare una proprietà dell’insieme utilizzo d =

d “numeri pari” =>

P={x ∈ IN:d}

o

P={x ∈ IN:∃ y ∈ N. x=2y}

D{a,8,16 ...}

=> D={x ∈ IN: x=4y, y ∈ IN}

se P è un insieme di numeri pari allora D ⊆ P

sono d e β due proprietà dicono che d ⇒ β

se questo vale β vale anche d

se β⇒d

e E={x : β} e F={x : d} allora si ha E=F

⇒ implica ⇏ non implica

se d⇒β e β⇒d allora d e β sono equivalenti

d⇔β e in questo caso E=F

Quantificatori

Quantificatore universale

• ∀ → per ogni

Quantificatore esistenziale

• ∃ → esiste

Operazioni tra insiemi

1. Siano A e B due insiemi, si definisce unione di A e B e si indica con A ∪ B te seguente:

   A ∪ B = {x ∈ A oppure x ∈ B}

   Esempio

   A {1, 2, 3, 4, 5} B {3, 5, 6, 7}

   A ∪ B {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

2. Si chiama intersezione di A e B e si indica con A ∩ B te seguente:

   A ∩ B = {x ∈ A ∧ x ∈ B}

   Quando A ∩ B = Ø dicono che A e B sono disgiunti

3. La differenza A \ B è la seguente:

   A \ B = {x ∈ A ∧ x ∉ B}

   A {1, 2, 3, 4, 5} B {3, 5, 6, 7}

   A \ B {1, 2, 4} B \ A {6, 7}

4. Siano A e B due insiemi non vuoti e sia a ∈ A e b ∈ B si chiama coppia di primo componente a e secondo b te seguente:

   (a, b) ≠ (b, a) perché c'è ordine cambia

5. Si definisce prodotto cartesiano di A per B il seguente:

   A × B = {(a, b), ∀ a ∈ A, ∀ b ∈ B}

   Esempio:

   (A ∩ B) × (B \ A)

   = {3, 5} × {6, 7}

   = {(3, 6), (3, 7), (5, 6), (5, 7)}

Gli insiemi si definiscono a partire da IN

In questo insieme possono

essere effettuate 4 operazioni:

+, -, :, x

sempre solo 2 operazioni tra queste = +, x

A partire da IN si costruisce l’insieme Z cioè l’insieme dei numeri interi

Q = { m/n | m ∈ Z, n ∈ Z - {0} }

Insieme dei numeri razionali

1° Teorema

x ∈ Q : x²=2

dimostrazione: per assurdo, supponiamo che ∃ c = m/n > 0 con m e

n primi tra loro e tale che:

c²= m²/n² = 2 → m² = 2n² → m² pari

Dunque ∃ k∈IN : m = 2k

→ 4k²/n² = 2 → n² = 2k² → n² pari

Pertanto: Assurdo

Poiché m e n sono primi, ciò che rende il teorema assurdo

è ipotesi che c esiste

L'INSIEME DEI NUMERI REALI

Supponiamo che IR=∅ su cui sono definite due operazioni: (+, x)

• + (a, b) _IR ^R → a + b _R
• x (a, b) _IR ^{R - {0}} → a x b _{R - {0}}

Supponiamo che verifichino gli assiomi di tipo A

Assiomi di tipo A (relativi alle operazioni)

1. + è aso commutativa ➞ a + b = b + a, ➞ ab = ba
2. + è aso associativa ➞ (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c, e a (bc) = (ab)c = abc
3. vale per proprietà distributiva ➞ a (b + c) = ab + ac
4. è l'elemento neutro rispetto ad x e l'entiu rispetto ad x ⇒ ∃ 0 ∈ _R a + 0 = a = 0 + a, ∀ a ∈ _R ∃ 1 ∈ _R a: 1 = a = 1: a ∀ a ∈ R
5. dell'opposto e dell'inverso ➞ ∃ a ∈ _R ∀ a _R a + a^-1 = 0 ∀ a ∈ R, a ≠ 0, ∃ a^-1 a: a^-1 = 1 ∀ a ^-1 x a = 1

(R, +, x) = si chiama gruppo dei numeri reali

→ esempio proprietà 5 a=0 ∀ a ∈ _R

a partire dagli assioni A si possono definire in R due nuove operazioni:

• differezza ∀ (a, b) ∈ _R ², a − b = a + (−b)
• divisione ∀ (a, b) ∈ _R ², a: b, a: b = a: b^-1

Assiomi di tipo B (relativi aei ordinamento)

assiomi di R inu segnate una "relazione d'ordine ≤e de sea totale, uveo dee presi a e b in R vale de a ≤ b o de b ≤ a.

una relazione di ordine ba queste proprietà:

1. Riflessiva : a ≤ a ∀ a ∈ _R
2. Antisimmetrica a ≤ b e b ≤ a ⇒ a = b ∀ a ∈ _R
3. Transitiva: se a ≤ b b ≤ c ⇒ a ≤ c ∀ a, b, c ∈ _R

Supponiamo che ≤ verifichi i seguenti assiomi:

1. Compatibilità di ≤ rispetto ad A⁺ ovvero, se a ≤ b ⇒ a + c ≤ b + c ∀a,b,c ∈ ℝ
2. Compatibilità di ≤ rispetto ad A_x se 0 ≤ c e a ≤ b ⇒ ac ≤ bc

(ℝ, +, ⋅, ≤) si chiama corpo ordinato

Definiamo le seguenti relazioni

• maggiore uguale a ≥ b ⇔ a > b ⋀ a = b
• minore a < b ⇔ a ≤ b ⋀ a ≠ b
• maggiore a > b ⇔ a ≥ b ⋀ a ≠ b

Definizione

N ⊆ ℝ, A ⊄ N: x ∈ ℝ si dice maggiorato per A se ∀x ∀a ∈ A

Definizione

- u ⊆ ℝ, Cr y ∈ N: minorato per A se y ≤ a ∀ a ∈ A

Definizione

- M ⊆ eR, x si dice superiormente limitato o almeno maggiorato, x dice inferiormente limitato o almeno minorato, limitato se x si l e o sup. o inf.

Definizione

y ∈ A, si dice minimo di A se y ≤ a ∀a∈A

Definizione

Sea A ⊆ ℝ, A ≠ φ sup limitato, se y il minimo dei maggiorati si chiama estremo superiore di A

Definizione

Sea A ⊆ ℝ, A ≠ φ inf. limitato, se z il massimo dei minorati si chiama estremo inferiore di A

Massimo di un insieme = max AMinimo = min AEstremo superiore = sup AEstremo inferiore = inf A

ESERCIZIO dimostrare che a, b =0

a · b = 0 e a ≠ 0 ⇒ b = 0 ipotesi ß

asse A 1

a · b = b _a (a ^-1 a) = (b a^-1) a

a^-1 0 = 0 ab a^-1

ipotesi (j = 0)

⇒ (a · j)·0

Proposizione 1

Sia a ≤ R a ≠ ∅ allora C:= 2a ≠ ∅. ∀a ∈ a c a con C λ = 1

Proposizione 2

definizione: a, b ≤ R, a ≠ b si dicono separati

V a l e v beq 2b si dice che sono separati

Supponiamo che R verifica un solo gli assiomi A e B ma anche l'assioma C

Teorema di densità di Q in R

siano a, b ∈ R con a < b allora -∈q è a < q ≤ b

Proprietà

^supA ≤ x ⇒ ∃Y | x ≥ a, ∀a ∈ A | a ≤ x_infA ≥ x ⇒ ∃X | x ≤ a, ∀a ∈ A | a ≥ x

Principio di induzione matematica

Se I ⊆ N se verifico:a ∈ In ∈ I ⇒ n+1 ∈ Iallora &Rightarrow> I = N

a > 0 n ∈ N

_a¹ a . . . a -> possiamo -> aⁿ_aⁱ a_nⁱa_m+1 aⁿ . a² a . a₁= a.a.a.a.a

Formula della progressione aritmetica

1 + 2 + 3 . . . + n = ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾/₂

Dimostrazione

I = {n | vale (la formula della progressione)}devo dimostrare che I = N (uso il principio di induzione)vale la base di induzione 1 ∈ I vale (la formula progressione) = 1 = 1. ₁₍₁₊₁₎/²_{1 + 2 + 3 +} ...n ∈ I ⇒ _{n(n+1)/2 {Come si arriva?1 + 2. . .. . n+ (n+1) ⇒ ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾/2 {^{n(n+1)+2(n+2)}/2 = ^(n+1)(n+2)/2}

Progressione geometrica

∀ a ∈ R, a &Notequal;1, sia a_n

1 + a + a² + a³ . aⁿ + aⁱ = ^an+1/ _{a - 1} ∀ n ∈ N

Dimostrazione

Con il teorema di induzioneS.a._^a+2 = ^{(1-a) ((1+a)}/ _.1-a

Devo dimostrare che la formula di progressione geometrica implica che _{1 + a + a² . . . . . .+ aⁿ⁺¹}

= 1+a+a² , 1aⁿ+^an+1/_1-aⁿ. a^u+1 . aⁿ⁺¹ = _{(l-aⁿ⁺²)}/_aⁿ

La somma dei primi n numeri dispari

1 + 3 + 5 + . . (2n - 1) = n²

1 . . . 3 . . .5 . . .

1 2 3

Disuguaglianza di Bernoulli

∀ n ∈ ℕ, ∀ x ∈ ℝ , x > -1 ⇒ (1 + x)ⁿ ≥ 1 + nx

Definizione

Dato x₁, x₂, ..., x_n ∈ ℝ, positivi, n ≥ 2 si chiama media aritmetica A_n = (x₁ + x₂ + ... + x_n) / n

si chiama media geometrica G_n = √(x₁ ... x_n)

G ≤ A ← teorema di disuguaglianza tra le medie

Definizione di fattoriale

1. 0!
2. n! = (n - 1)! n
3. n ∀ n ∈ ℕ₀

Esempio: n=3 ⟹ 3! = 3 × 2 × 1 = 3 × 2 × 1 = 2 × 3 = 2 × 3 = 6

[2, ∞[

[3, 4]

y’= f’(x) ≥ y

dato questo grafico , determinano : a) dominio, c) codominio; b) lim f.t. sup e inf, mass e min f. d) int. di monotonia. e) quote soluzione f(a) = c, f(c) = k, v.c(f) f) risolvere eq. dis. f(x) > ² 3/2

Determinare il grafico di una funzione e cosi' riportarlo : g=f ({x E(domf)} ; per trovare l'inversa si scambiano dominio e il codominio, dunque si presenta cosi' : g^-1={{ x E ^-1}, x}

1. Dominio _-3 : -2 _U [0
2. Codominio _-3 : -1 _U [2, + oo [

1. def = inf , sup . f:-1.o , max f, min f _o M_-1

• a) [-3 , 0], [-2,1] , [0, +oo [
• b) f _{x = k} {x | V x E _o , -3 , -2} _U J/2 _{, max f c}
• c) fr infinità soluzione v.c: lavor x=3 . L f [ J,o,+^co[ U [o;] _U D/o {x}

3)

Funzioni elementari

Funzioni lineari (o affini)

1. in E=0, _b dove a , b E _R

Proprietà

• se a ⁰ E/=1
• se a _o E-=0
• a = ^{v/=b o} determino _le bisettrici
• E dominio e il codominio sono E _R

y= 3x+ 2

_{A/pe fattore il faccio -- {'--'}> 3* x+2}

1. valore assoluto

y = | x| , |

Proprietà

• |x | E = _A [o;+oo ]
• | x | ^{o off} [x| X E⁰

Esercizi

1. ^{3x + 4}⁄₂ < x

2. ^{x - 2}⁄₃ < x - 5

3. ^{x - 1}⁄_3x = 0

4. ^{x - 2}⁄_{2x + 1} < 0

5. 5 - |2x + 1| < 3

6. |9 - x²⁄₅| + |^{2x + 1}⁄_3x| > 0

7. |x + 1| < |2x + 1| - 2

8. -1 < |x| ⁄ |6x + 9| < 0

1)

9x + 3 = 2x + 2

x = -1

2)

(5x - 4.6 ≤ 4.6x | x = 4

)2x ≤ 3x + 2.3

5)

|2x + 1| < 3

2x + 1 < 3

2x > -2

)x - 2 < 3

)x > -2

3)

x > 0

1. 3x - 7 > 0

   x > ⁄3

2. 2x + 0

   3x - 4 < 0

   x > ⁄4

3. 2x < 0

   3x - 3 < 0

   x > 1⁄3

• x > 1

• x > 0

4)

|x + 1| < |2x + 1| - 2

• x + 1 > 0

  x < 2

• |x + 1| < |2x + 1| - 2

  |x + 1| < |2x + 1| - 2

Esercizi con il tutor

1) Dominio di y = f(x)

2) Intersezione con gli assi

3) y = 0, in corrispondenza di x = -2 & x = 2 minimo e massimo relativo-2, x = 2

4) Intervalli di monotonia: ]-2; -1[ strettamente decrescente, ]-1;2[ strett. crescente

j; 2; +inf. stret. decrescente

6. Problema:

P(x) x | -3 e 2, soluzioni: x | -3 value of 4, x | 2 soluzioniZona solution

7) N = -3 zona di soluzioni & zona

0 5)(-5) ( x | 3 value of Range, i[-5], j]",[ 2]: (waiting for 0,

I x x,[ 3] value, x = $, x | -3i+3

2) (x/3-1) + 3x - 3x

3/2) scale

(example)

(x - 4 + 20 x = 20) =>

y_t = x_3k

∠, sense) k(3)

e => x

4) ]0; +inf.[

5) => x/4 = 2

5x - 4x + 5x = 20, sum of =>

x = 0 5y-5

x = 02) => h(+3/2

x

(x/5)=20

|x + 20| | 3x| > 0

t_2t(0)

(value of 6b - 8) 5)(

=> (x-3-2) + 1x,(3

x=0 (x|1) k = H

solve) =>

|x + 1 - 3x < 2

disequazioni logaritmiche

1

γ = log₂ x ≥ 2

2

γ = log₂ x ≤ 3

3

log₂ (x³ -4x) ≤ log₂ (2x -4)

• x³ - 4x ≥ 0
• 2x-4 > 0
• x³ - 4x ≤ 2x-4

la base è minore di 1 quindi il segno cambia

4

γ = log₃ x + 3log₃ x ≥ 0

• log₃ x⁴ ≥ 0↔ x⁴ ≥ 1 3t = 2.0

verrà alla fine t: 1, 2. x ≠ 1

• log₃ xrx-2

5

• log₃ x ≤ 2
• log₂ x

• log₃ x ≤ 0
• log₂ x > 0
• 3 - log₂ x

Trova il dominio

f(x) = log₃ (^√(x4-12/_√(x⁴+16)⁾ = t√(x²-1.2)

D:

• (^√(x3x1-2)
• x⁴ -16
• 3x² - 4 ≥ 0

• x³.1-2 ≥ 0

Formule di duplicazione

• sin(2α) = 2sinαcosα
• cos(2α) = cos²α-sin²α

Formule di bisezione

• sin(^α⁄₂) = ±√^1-cosα⁄₂
• cos(^α⁄₂) = ±√^1+cosα⁄₂

Formule di addizione e sottrazione

• sin(α±β) = sinαcosβ±cosαsinβ
• cos(α±β) = cosαcosβ∓sinαsinβ
• sin(α±^π⁄₂) = cosα
• cos(α±^π⁄₂) = -sinα

Funzione tangente

tgx = ^{sin x}⁄_{cos x}

Funzione arcoseno

arcsin([a, b]) -> [-^π⁄₂, ^π⁄₂]

1 e dispari

arcsin 0 = 0

arcsin 1 = ^π⁄₂

arcsin -1 = -^π⁄₂

sin(arcsinx) = x V x∈[-1, 1]

arcsin(sinx) = x V x∈[-^π⁄₂, ^π⁄₂]

Funzione arcocoseno

y=arccosx

arcos([0, 1]) -> [0, ^π]

arcos 1 = 0

arcos 0 = ^π⁄₂

arcos -1 = ^π

cos(arcosx) = x V x∈[0, 1]

arcos(cosx) = x V x∈[0, ^π]

Funzione arcotangente

arctgx : R -> ] - ^π⁄₂, ^π⁄₂ ]

tg (arctgx)=x V x∈R

arctg (tgx) = x V x∈ ] - ^π⁄₂, ^π⁄₂ [

Operazioni sui grafici

1. Traslazione in y

f₂(x)=f(x)+a, a>0, a∈R

d. d

2. Traslazione in x

f₂(x)=f(x+a), a>0, a∈R

d. i

3. Dilatazione e contrazione

g₂(x)=f(kx), x>0 ₁ e dilatazione

x