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Analisi matematica II - gli spazi metrici

Appunti di Analisi matematica II per l'esame del professor Marino. Gli argomenti trattati sono i seguenti: gli spazi metrici, alcuni esempi di spazi metrici, la chiusura di un insieme, i segmenti, i punti isolati, la poligonale, le successioni, le funzioni.

Esame di Analisi Matematica 2 docente Prof. M. Marino

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∀ ∈

1. d( x,y ) => 0 x, y S

↔ ∈

2. d( x,y ) = 0 x = y x, y S

∀ ∈

3. d( x,y ) = d( y,x ) x, y S

∀ ∈

4. d( x,z ) <= d( x,y ) + d( y,z ) x,y,z S

La coppia formata da S e una sua metrica d si definisce spazio metrico.

E

s e m

p i d i s p a z i

i m

e t r i

c i

(R , d( x,y ) = | x – y | )

proprietà 1 : d( x,y ) => 0

E’ verificata perché il valore assoluto è sempre non negativo.

proprietà 2 : d( x,y ) = 0 x = y →

dimostriamo prima che d( x,y ) = 0 x = y

→ → →

d( x,y ) = 0 | x – y | = 0 x – y = 0 x = y

dimostriamo che x = y d( x,y )= 0

→ → →

x = y x – y = 0 | x – y | = 0 d( x,y ) = 0

proprietà 3: d( x,y ) = d( y,x )

d( x,y ) = | x – y |

d( y,x ) = | y – x | →

x – y = - ( y – x) | x – y | = | y – x | perché hanno lo stesso modulo, ma

segno contrario.

proprietà 4: d( x,z ) <= d( x,y ) + d( y,z )

d( x,y ) = | x – y |

aggiungiamo e sottraiamo z

d( x,y ) = | x – z + z – y | = | (x – z) + ( z – y ) |

ma il valore assoluto della somma è minore o uguale alla somma dei valori

assoluti. →

d( x,y ) <= | x – z | + | z – y | d( x,y ) <= d( x,z ) + d ( z, y )

Abbiamo dimostrato che d è una metrica per R.

Esempio 2

Prendiamo come insieme

S = C( [a,b] ) l’insieme delle funzioni reali e continue nell’intervallo chiuso

a,b. →

C( [a,b] ) = { f : [a,b] R, continue in [a,b] }

definiamo una distanza d su C( [a,b] ) come ∀ ∈

d( f,g ) = max | f(x) – g(x) | x a,b

La differenza di due funzioni continue è ancora una funzione continua. Il valore

assoluto di una funzione continua dà una funzione continua. La distanza d così

definita è quindi una funzione continua in [a,b].

∀ ∈

proprietà 1: d( f,g ) => 0 f,g C([a,b])

Dal teorema di Waistrass, una funzione continua e limitata in un intervallo

chiuso [a,b] ammette un massimo e un minimo finiti.

∃max(d( f,g )) ed, essendo d( f,g ) il valore assoluto di una differenza,

d(f,g) è non negativo.

proprietà 2: d( f,g ) = 0 f=g

- dimostriamo d( f,g ) = 0 f=g

d( f,g ) = 0 max( | f – g | ) = 0

per la definizione di massimo ∀x ∈

| f(x) – g(x) | <= max(| f – g |) [a,b]

∀ ∈

| f(x) – g(x) | <= 0 x [a,b]

per definizione, il valore assoluto è non negativo

∀x ∈

| f(x) – g(x) | = 0 [a,b]

∀x ∈

f(x) – g(x) = 0 [a,b]

∀x ∈

f(x) = g(x) [a,b]

dimostriamo f= g d( f,g ) = 0

∀x ∈

f(x) = g(x) [a,b]

f(x) – g (x) = 0 ∀x ∈

| f(x) – g(x)| = 0 [a,b]

d ( f,g ) = 0 ∀ ∈

proprietà 3: d( f,g ) = d( g,f ) f,g C([a,b])

→ ∀ ∈

f(x) – g(x) = - (g(x) – f(x)) | f(x) – g(x) | = | g(x) – f(x) | x [a,b]

le due funzioni sono uguali, quindi hanno lo stesso massimo.

max(| g(x) – f(x) |) = max(| f(x) – g(x) |)

proprietà 4: d( f,g ) <= d( f,h ) + d( h,g )

D i

s e g u

a g l

i

a n z a d i C a

u c

h y – S

c h w a r

z

Σ √Σ(ai √Σ(bi ∀ ∈

2 2

ai*bi <= ) * ) a1, ….. , an, b1, ………., bn R

primo caso :

tutti i termini a sono uguali a zero. La diseguaglianza diventa

Σ √Σ(0 √Σ(bi

2 2

0*bi <= ) * )

0 <= 0

che è sempre vera perché il secondo membro è non negativo

secondo caso

∃ i,j 1 <= i,j <= n : ai <> 0 e bj <> 0

α, β ∈

presi due qualunque R

α β α β

2 2 2

0 <= ( - ) = + - 2αβ

β

α

2 2

+

2αβ <=

αβ α β

2 2

<= ½ + ½

applicando questa diseguaglianza con

α β

2 2

= a1 / (√Σ(ai )) = b1 / (√Σ(bi ))

otteniamo 2 2

a1*b1 a1 b1

_____________ <= _______ + ________

√Σ(ai 2 2 2 2

)*√Σ(bi ) 2*Σ(ai ) 2*Σ(bi )

reiterando l’operazione 2 2

a2*b2 a2 b2

_____________ <= _______ + ________

√Σ(ai 2 2 2 2

)*√Σ(bi ) 2*Σ(ai ) 2*Σ(bi )

.

.

. 2 2

an*bn an bn

_____________ <= _______ + ________

√Σ(ai 2 2 2 2

)*√Σ(bi ) 2*Σ(ai ) 2*Σ(bi )

Sommando membro a membro queste diseguaglianze

Σ( Σ(ai Σ(bi

2 2

ai*bi) ) )

_____________ <= ________ + ________

√Σ(ai 2 2 2 2

)*√Σ(bi ) 2*Σ(ai ) 2*Σ(bi )

Σ(ai*bi)

______________ <= ½ + ½ = 1

√Σ(ai 2 2

)*√Σ(bi )

Σ(ai*bi) √Σ(ai

2 2

<= )*√Σ(bi )

S

p a z i

o e u c l

i

d e o a d n d i

m

e n s i

o n i

Si definisce spazio metrico euclideo ad n dimensioni, la coppia

n , d )

( R √((x1-y1) √( Σ

2 2 2

d( x,y ) = + ………. + (xn – yn) ) = (xi – yi) 1 <= i <= n

n .

Verifichiamo che d, così definita, è una metrica per R

∀ ∈ n

proprietà 1: d( x,y ) => 0 x,y R

d( x,y ), per come è definita, è la radice quadrata della sommatoria di termini

positivi. Per cui è un numero reale non negativo

proprietà 2: d( x,y ) = 0 x = y

d( x,y ) = 0 x = y

√( Σ( 2 = 0

xi – yi)

Σ( 2

xi – yi ) = 0

2 = 0 1 <= i <= n

( xi – yi )

xi = yi 1 <= i <= n

x = y

x = y d( x,y ) = 0

xi = yi 1 <= i <= n

xi – yi = 0 1 <= i <= n

.

.

.

√(Σ( xi – yi ) = 0

d( x,y ) = 0 ∀ ∈ 2

proprietà 3: d( x,y ) = d( y,x ) x,y R

√Σ( 2

d( x,y ) = xi – yi ) → 2 2

ma xi – yi = -( yi – xi ) ( xi – yi ) = ( yi – xi )

√Σ( 2

d( x,y ) = yi – xi ) = d( y,x ) ∀ ∈ n

proprietà 4: d( x,y ) <= d( x,z ) + d( z,y ) x,y,z R

( xi – yi ) = (( xi – zi ) + ( zi – yi )) 1 <= i <= n

2 2 2 2

( xi – yi ) = (( xi – zi ) + ( zi – yi )) = (xi – zi) + (zi – xi) + 2(xi – zi)(zi – yi)

Σ(xi Σ(

Σ( 2 2 2

= – zi) + zi – yi ) + 2*Σ(xi – zi)(zi – yi)

xi – yi )

applichiamo la diseguaglianza di Cauchy – Schwarz

Σ(xi √Σ(xi √Σ(zi

2 2

– zi)(zi – yi) <= – zi) – yi)

Σ(xi Σ(xi Σ(zi √Σ(zi

2 2 2 2 2

– yi) <= – zi) + – yi) + 2√Σ(xi – zi) – yi)

il secondo membro è il quadrato di un binomio

Σ(xi √Σ(xi

2 2 2 2

– yi) <= ( – zi) +√Σ(xi – yi) )

essendo i due membri non negativi, possiamo estrarne le radici.

√Σ(xi √Σ(xi √Σ(zi

2 2 2

– yi) <= – zi) + – yi)

d( x,y ) <= d( x,z ) + d( z,y )

C e r c

h i

o e c i

r c o n f e

r e n

z a

Supposto ( S,d ) uno spazio metrico, prendiamo

⊆ ∈ ∈

S’ S x0 S’ r >0 r R

L’insieme I( x0,r ) = { x S’ : d( x,x0 ) < r } si definisce cerchio aperto di centro

x0, e raggio r. ∈

L’insieme I( x0,r ) = { x S’ : d( x,x0 ) <= r } si definisce cerchio chiuso di centro

x0 e raggio r. Ovviamente I( x0,r ) C( x0,r ).

Valgono le seguenti

• ∈

x0 I( x0,r ) perché x0∈S, ed in oltre d( x0,x0 ) = 0 che è minore di r.

• ∈ ∈ ⊆

x0 C( x0,r ) perché x0 I( x0,r ) C( x0,r )

γ( ∈

L’insieme x0,r ) = { x S’ : d( x,x0 ) = r } si definisce circonferenza di centro

x0 e raggio r. Questo insieme è detto anche intorno circolare di x0.

γ( ⊆

x0,r ) C( x0,r )

I

n s i

e m

e l

i

m

i

t a t o

Supposto ( S,d ) uno spazio metrico, prendiamo X un sotto - insieme di S. X si dice

∈ ∈R ⊆

limitato se esistono x0 S e r positivo, tali che X I( x0,r ).

D i

a m

e t r

o d i u n i

n s i

e m

e X

Preso X non vuoto un sottoinsieme di S. Prendiamo ora in esame l’insieme delle

distanze tra tutti gli elementi di S { d( x,y ), x,y R }. L’estremo superiore di

questo insieme si definisce diametro dell’insieme X.

X è limitato il diametro di X è un numero finito.

Preso Y sottoinsieme di X, con X un insieme limitato, allora Y è limitato

Presi X1 e X2 tali che

X1 S → ∩

X1 è limitato X1 X2 è limitato

X2 S

Dati X1, X2, entrambi sottoinsiemi di S limitati, la loro unione risulta un

insieme a sua volta limitato.

P

u n t i i

n t e r n i

, e s t e r n i e d i f r o n t i

e

r a

⊆ ∈

Dato ( S,d ) uno spazio metrico, supponiamo X S, x0 X.

• x0 si dice interno ad X se esiste un cerchio di centro x0 tutto contenuto in X

↔ ∃ ∈ ⊆

x0 interno ad X e R : I( x0,e ) X

L’insieme dei punti interni ad X si denota con intX. In oltre vale la seguente

intX X

• x0 si dice esterno ad X se è interno al complementare di X in S.

↔ ∃e ∈ ⊆

x0 esterno ad X R : I( x0,e ) S\X

L’insieme dei punti esterni ad X in S si denota con EstX. In oltre valgono le

seguenti:

IntX = Est( S\X)

EstX = Int( S\X )

• x0 si dice di frontiera per X se non è ne interno ne esterno ad X

↔ ∀e ∈ ∃ ∈ ∩

x0 di frontiera R x’ I( x0,e ) X

∃ ∈ ∩

x’’ I( x0,e ) ( S\X) ϑX.

L’insieme dei punti di frontiera di X si chiama frontiera di X, e si denota con

ϑX ϑ(

= S\X)

P

u n t i d i a c c

u m

u l

a z i

o n e

∈ ⊆

Sia x0 S e X S, diremo che x0 è un punto di accumulazione per X se

∀e ∈ ∃ ∈ ∩

R x’ I( x0,e ) ( X – {x0}).

L’insieme dei punti di accumulazione di X si chiama derivato di X, e si indica DX.

Se un insieme è costituito da un solo punto, allora il suo derivato è l’insieme vuoto

Teorema : DX <> 0 X è infinito.

Per ipotesi, esisterà x0 DX. Prendiamo in considerazione il cerchio aperto

I( x0,1 ). Essendo x0 un punto di accumulazione, esisterà a sua volta all’interno

del cerchio considerato, un punto x1 distinto da x0. Dalla definizione di cerchio

aperto, deduciamo le seguenti diseguaglianze:

d( x0,x1) < 1

d( x0,x1) > 0

Prendiamo quindi ora in considerazione il cerchio I( x0, d( x0,x1 )). Essendo

x0 un punto di accumulazione, esisterà x2 X all’interno di questo cerchio.

Per questo punto valgono le seguenti diseguaglianze

0 < d( x0,x2 ) < d( x0,x1 )

che dimostrano che x2 è un punto di X distinto da x1. Questo processo può

essere ripetuto un numero arbitrario di volte, permettendoci di trovare

altrettanti punti xi X tutti distinti. Ciò dimostra quindi che X è costituito da

infiniti elementi.

Corollario : Un insieme finito non ha punti di accumulazione.

Perché se li avesse, sarebbe infinito.

I

n s i

e m

i d i

s c r e t i e a p e r

t i

Preso uno spazio metrico ( S,d ) ed un suo sottoinsieme X, X si dice aperto se

coincide con l’insieme dei suoi punti interni. Con A indicheremo la famiglia degli

insiemi aperti di S. Valgono le seguenti proprietà:

1. 0 A

2. S A

⊆ → ∪ ∈

3. F A X( per tutti gli insiemi X di F) A

4. siano X1, X2 ……….. Xn con n finito, degli insiemi aperti di S allora

∩ ∈

X A ⊆

X si dice chiuso se DX X. Se DX = X allora il nostro insieme si dice perfetto.

ς

Inoltre se X è finito e DX = 0 allora X è chiuso. Denoteremo con la famiglia degli

insiemi chiusi di S. Valgono le seguenti :

1. 0 è chiuso

2. S è chiuso ∩ ∈ ∈ ς

3. se F è una famiglia di insiemi chiusi di S, allora X( X F)

4. Siano X1, X2, ………… Xn, con n finito, insiemi chiusi di S; allora

∪ ∈ ς.

X

C h i

u s u r

a d i u n i

n s i

e m

e _ ∪

Sia ( S,d ) uno spazio metrico, ed X un sottoinsieme di S. L’insieme X = X DX si

chiama chiusura di X.

_ ∪ ϑX

Teorema : X = X

_ ∪

Essendo X = X DX per definizione, la nostra tesi diventa quindi

∪ ∪ ϑX;

X DX = X in definitiva, dobbiamo mostrare che

∪ ⊆ ∪ ϑX

1. X DX X

∪ ϑX ⊆ ∪

2. X X DX

parte I: ∈ ∪ ∈ ∈

sia x* X DX. Ci si presentano due casi : x* X oppure x* DX.

∈ ∪ ϑX.

x* X : allora ovviamente appartiene anche ad X

x* non appartiene a X: ∪

Se x* non appartiene a X, ma appartiene ad X DX, allora

apparterrà a DX. ϑX,

per provare che x* appartiene anche a occorre provare che

∀e ∃ ∈ ∩

x’ I( x*,e ) X

∃ ∈ ∩

x’’ I( x*,e ) ( S\X)

Essendo tuttavia x* un punto di accumulazione, esisterà

sicuramente un punto x1, distinto da x*, che appartiene all’insieme

I( x*,e ) X.

Per ipotesi x*, non appartenendo ad X, deve appartenere ad S\X.

Essendo inoltre il centro del cerchio, egli deve necessariamente

essere un punto dell’insieme I( x*,e ) ( S\X).

Abbiamo così mostrato che x*, appartenente a DX, appartiene

ϑX.

contemporaneamente a

parte II: ∪ ϑX.

sia x* appartenente ad X Esistono sempre due casi. Tuttavia se x*

appartiene ad X, la situazione si risolve come nella prima parte.

Prendiamo in considerazione invece il caso

x* non appartiene ad X: ϑX.

Apparterrà allora sicuramente a Da ciò deduciamo, fissando

∈R,

arbitrariamente un e l’esistenza di altri due elementi di X

distinti

∈ ∩

x’ I( x*,e ) X

∈ ∩

x’’ I( x*,e ) ( S\X )

x’ è distinto da x* perché x* non appartiene ad X per ipotesi.

Essendo valida l’esistenza di x’ per qualsiasi valore di e, si deduce

che x* è un punto di accumulazione.

Teorema 2: Sia ( S,d ) uno spazio metrico ed X un sottoinsieme di S.

↔ ϑX ⊆

X è chiuso X _

Teorema 3: X è chiuso X = X

_

ϑX,

Teorema 4: DX, X sono insiemi chiusi.

↔ ∩ ϑX

Teorema 5: X è aperto X = 0

Teorema 6: I( x0, e), intX sono insiemi aperti

Teorema 7: X è chiuso S\X è aperto

Teorema 8: X è aperto S\X è chiuso ∈ ∈ ς,

Teorema 9: Siano X,Y due sottoinsiemi di S tali che X A ed Y allora si ha

∈ ∈ ς.

che ( X\Y ) A ed ( Y\A ) ↔ ϑX

Teorema 10: X è contemporaneamente aperto e chiuso = 0

→ ϑX

parte I: X è aperto e chiuso = 0 ϑX.

Per definizione di insieme aperto, X non contiene Di conseguenza

∩ ϑX

otteniamo il risultato (a) X = 0. Essendo X chiuso, dal teorema 2

ϑX ⊆

deduciamo la (b) X. Mettendo a confronto la (a) e la (b), giungiamo alla

tesi. ϑX=0 →

parte II: X è aperto e chiuso

ϑX=0, ∩ ϑX

Se allora X = 0. Dal teorema 5 ricaviamo che X è aperto.

Tuttavia l’insieme vuoto è sottoinsieme di qualsiasi altro insieme; quindi

ϑX=0 ⊆ X. Dal teorema 2 ricaviamo quindi che X è chiuso.

S

e g m

e n t i

, p u n t i i

s o l

a t i e p o l

i

g o n a l

e

Preso in considerazione uno spazio euclideo ad n dimensioni, e due punti

a=(a1,……an) e b=(b1,….bn) appartenenti a questo spazio, definiamo segmento di

n n

di estremi a e b, l’insieme di punti { x R : xi = ai + t(bi-ai) } al variare di t

R

nell’intervallo [0,1]. Per t=0 otteniamo il punto a; per t=1 il punto b; per t= ½ il punto

medio del segmento.

Teorema11: Sia X un sottoinsieme proprio e non vuoto di uno spazio euclideo, e

siano a un punto interno, b un punto esterno. Esiste allora un punto x* appartenente

al segmento che congiunge a e b, che appartiene alla frontiera di X.

Questo equivale a dire che la frontiera di qualunque sottoinsieme proprio e non

vuoto di uno spazio euclideo è non vuota.

Corollario: Gli unici sottoinsiemi infiniti di uno spazio euclideo che sono

contemporaneamente aperti e chiusi sono l’insieme vuoto e lo spazio euclideo stesso.

⊆ n n

Supponiamo per assurdo che esista X R con X<>0 e X <>R che sia

ϑX

contemporaneamente aperto e chiuso. Per il teorema 10 allora = 0. Per il

ϑX

teorema 11 tuttavia <> 0. Siamo quindi pervenuti ad un assurdo.

Supponiamo X un sottoinsieme di uno spazio metrico ( S,d ); prendiamo un punto x0

∈ S. Diremo x0 punto isolato se esso appartiene ad X e non appartiene a DX. Si

prenda ora T S. Questo insieme si definisce un dominio di S se si verificano le

seguenti condizioni :


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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in matematica
SSD:
Università: Catania - Unict
A.A.: 2012-2013

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher melody_gio di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi Matematica 2 e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Catania - Unict o del prof Marino Mario.

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