Analisi matematica II - gli spazi metrici

A

n

a

l i

s

i I I Clipmie\Elenco dei libri.doc

I

n d i

c e

.Spazi metrici

.Esempi di spazii metrici

.Diseguaglianza di Cauchy – Schwarz

.Spazio euclideo ad n dimensioni

.Cerchio e circonferenza

.Insieme limitato

.Diametro di un insieme X

.Punti interni, esterni e di frontiera

.Punti di accumulazione

.Insiemi discreti e aperti

.Chiusura di un insieme

.

Segmenti, punti isolati e poligonale

.Successioni

.Teorema 1 :dell’unicità del limite

.Successioni estratte

.Successioni di Cauchy o fondamentali

.Spazio metrico completo

.Insieme sequenzialmente compatto

.Distanza tra due insiemi

.Funzioni

.Funzioni continue ed uniformemente continue

S

p

a

z i m e

t r i c

i

Sia S un insieme di natura qualunque non vuoto. Data una funzione f

→

d : S x S R

diremo che f è una distanza o metrica per l’insieme S se gode delle seguenti proprietà

∀ ∈

1. d( x,y ) => 0 x, y S

↔ ∈

2. d( x,y ) = 0 x = y x, y S

∀ ∈

3. d( x,y ) = d( y,x ) x, y S

∀ ∈

4. d( x,z ) <= d( x,y ) + d( y,z ) x,y,z S

La coppia formata da S e una sua metrica d si definisce spazio metrico.

E

s e m

p i d i s p a z i

i m

e t r i

c i

(R , d( x,y ) = | x – y | )

proprietà 1 : d( x,y ) => 0

E’ verificata perché il valore assoluto è sempre non negativo.

↔

proprietà 2 : d( x,y ) = 0 x = y →

dimostriamo prima che d( x,y ) = 0 x = y

→ → →

d( x,y ) = 0 | x – y | = 0 x – y = 0 x = y

→

dimostriamo che x = y d( x,y )= 0

→ → →

x = y x – y = 0 | x – y | = 0 d( x,y ) = 0

proprietà 3: d( x,y ) = d( y,x )

d( x,y ) = | x – y |

d( y,x ) = | y – x | →

x – y = - ( y – x) | x – y | = | y – x | perché hanno lo stesso modulo, ma

segno contrario.

proprietà 4: d( x,z ) <= d( x,y ) + d( y,z )

d( x,y ) = | x – y |

aggiungiamo e sottraiamo z

d( x,y ) = | x – z + z – y | = | (x – z) + ( z – y ) |

ma il valore assoluto della somma è minore o uguale alla somma dei valori

assoluti. →

d( x,y ) <= | x – z | + | z – y | d( x,y ) <= d( x,z ) + d ( z, y )

Abbiamo dimostrato che d è una metrica per R.

Esempio 2

Prendiamo come insieme

S = C( [a,b] ) l’insieme delle funzioni reali e continue nell’intervallo chiuso

a,b. →

C( [a,b] ) = { f : [a,b] R, continue in [a,b] }

definiamo una distanza d su C( [a,b] ) come ∀ ∈

d( f,g ) = max | f(x) – g(x) | x a,b

La differenza di due funzioni continue è ancora una funzione continua. Il valore

assoluto di una funzione continua dà una funzione continua. La distanza d così

definita è quindi una funzione continua in [a,b].

∀ ∈

proprietà 1: d( f,g ) => 0 f,g C([a,b])

Dal teorema di Waistrass, una funzione continua e limitata in un intervallo

chiuso [a,b] ammette un massimo e un minimo finiti.

∃max(d( f,g )) ed, essendo d( f,g ) il valore assoluto di una differenza,

d(f,g) è non negativo.

↔

proprietà 2: d( f,g ) = 0 f=g

→

- dimostriamo d( f,g ) = 0 f=g

→

d( f,g ) = 0 max( | f – g | ) = 0

per la definizione di massimo ∀x ∈

| f(x) – g(x) | <= max(| f – g |) [a,b]

∀ ∈

| f(x) – g(x) | <= 0 x [a,b]

per definizione, il valore assoluto è non negativo

∀x ∈

| f(x) – g(x) | = 0 [a,b]

∀x ∈

f(x) – g(x) = 0 [a,b]

∀x ∈

f(x) = g(x) [a,b]

→

dimostriamo f= g d( f,g ) = 0

∀x ∈

f(x) = g(x) [a,b]

f(x) – g (x) = 0 ∀x ∈

| f(x) – g(x)| = 0 [a,b]

d ( f,g ) = 0 ∀ ∈

proprietà 3: d( f,g ) = d( g,f ) f,g C([a,b])

→ ∀ ∈

f(x) – g(x) = - (g(x) – f(x)) | f(x) – g(x) | = | g(x) – f(x) | x [a,b]

le due funzioni sono uguali, quindi hanno lo stesso massimo.

max(| g(x) – f(x) |) = max(| f(x) – g(x) |)

proprietà 4: d( f,g ) <= d( f,h ) + d( h,g )

D i

s e g u

a g l

i

a n z a d i C a

u c

h y – S

c h w a r

z

Σ √Σ(ai √Σ(bi ∀ ∈

2 2

ai*bi <= ) * ) a1, ….. , an, b1, ………., bn R

primo caso :

tutti i termini a sono uguali a zero. La diseguaglianza diventa

Σ √Σ(0 √Σ(bi

2 2

0*bi <= ) * )

0 <= 0

che è sempre vera perché il secondo membro è non negativo

secondo caso

∃ i,j 1 <= i,j <= n : ai <> 0 e bj <> 0

α, β ∈

presi due qualunque R

α β α β

2 2 2

0 <= ( - ) = + - 2αβ

β

α

2 2

+

2αβ <=

αβ α β

2 2

<= ½ + ½

applicando questa diseguaglianza con

α β

2 2

= a1 / (√Σ(ai )) = b1 / (√Σ(bi ))

otteniamo 2 2

a1*b1 a1 b1

_____________ <= _______ + ________

√Σ(ai 2 2 2 2

)*√Σ(bi ) 2*Σ(ai ) 2*Σ(bi )

reiterando l’operazione 2 2

a2*b2 a2 b2

_____________ <= _______ + ________

√Σ(ai 2 2 2 2

)*√Σ(bi ) 2*Σ(ai ) 2*Σ(bi )

.

.

. 2 2

an*bn an bn

_____________ <= _______ + ________

√Σ(ai 2 2 2 2

)*√Σ(bi ) 2*Σ(ai ) 2*Σ(bi )

Sommando membro a membro queste diseguaglianze

Σ( Σ(ai Σ(bi

2 2

ai*bi) ) )

_____________ <= ________ + ________

√Σ(ai 2 2 2 2

)*√Σ(bi ) 2*Σ(ai ) 2*Σ(bi )

Σ(ai*bi)

______________ <= ½ + ½ = 1

√Σ(ai 2 2

)*√Σ(bi )

Σ(ai*bi) √Σ(ai

2 2

<= )*√Σ(bi )

S

p a z i

o e u c l

i

d e o a d n d i

m

e n s i

o n i

Si definisce spazio metrico euclideo ad n dimensioni, la coppia

n , d )

( R √((x1-y1) √( Σ

2 2 2

d( x,y ) = + ………. + (xn – yn) ) = (xi – yi) 1 <= i <= n

n .

Verifichiamo che d, così definita, è una metrica per R

∀ ∈ n

proprietà 1: d( x,y ) => 0 x,y R

d( x,y ), per come è definita, è la radice quadrata della sommatoria di termini

positivi. Per cui è un numero reale non negativo

↔

proprietà 2: d( x,y ) = 0 x = y

→

d( x,y ) = 0 x = y

√( Σ( 2 = 0

xi – yi)

Σ( 2

xi – yi ) = 0

2 = 0 1 <= i <= n

( xi – yi )

xi = yi 1 <= i <= n

x = y

→

x = y d( x,y ) = 0

xi = yi 1 <= i <= n

xi – yi = 0 1 <= i <= n

.

.

.

√(Σ( xi – yi ) = 0

d( x,y ) = 0 ∀ ∈ 2

proprietà 3: d( x,y ) = d( y,x ) x,y R

√Σ( 2

d( x,y ) = xi – yi ) → 2 2

ma xi – yi = -( yi – xi ) ( xi – yi ) = ( yi – xi )

√Σ( 2

d( x,y ) = yi – xi ) = d( y,x ) ∀ ∈ n

proprietà 4: d( x,y ) <= d( x,z ) + d( z,y ) x,y,z R

( xi – yi ) = (( xi – zi ) + ( zi – yi )) 1 <= i <= n

2 2 2 2

( xi – yi ) = (( xi – zi ) + ( zi – yi )) = (xi – zi) + (zi – xi) + 2(xi – zi)(zi – yi)

Σ(xi Σ(

Σ( 2 2 2

= – zi) + zi – yi ) + 2*Σ(xi – zi)(zi – yi)

xi – yi )

applichiamo la diseguaglianza di Cauchy – Schwarz

Σ(xi √Σ(xi √Σ(zi

2 2

– zi)(zi – yi) <= – zi) – yi)

Σ(xi Σ(xi Σ(zi √Σ(zi

2 2 2 2 2

– yi) <= – zi) + – yi) + 2√Σ(xi – zi) – yi)

il secondo membro è il quadrato di un binomio

Σ(xi √Σ(xi

2 2 2 2

– yi) <= ( – zi) +√Σ(xi – yi) )

essendo i due membri non negativi, possiamo estrarne le radici.

√Σ(xi √Σ(xi √Σ(zi

2 2 2

– yi) <= – zi) + – yi)

d( x,y ) <= d( x,z ) + d( z,y )

C e r c

h i

o e c i

r c o n f e

r e n

z a

Supposto ( S,d ) uno spazio metrico, prendiamo

⊆ ∈ ∈

S’ S x0 S’ r >0 r R

∈

L’insieme I( x0,r ) = { x S’ : d( x,x0 ) < r } si definisce cerchio aperto di centro

x0, e raggio r. ∈

L’insieme I( x0,r ) = { x S’ : d( x,x0 ) <= r } si definisce cerchio chiuso di centro

⊆

x0 e raggio r. Ovviamente I( x0,r ) C( x0,r ).

Valgono le seguenti

• ∈

x0 I( x0,r ) perché x0∈S, ed in oltre d( x0,x0 ) = 0 che è minore di r.

• ∈ ∈ ⊆

x0 C( x0,r ) perché x0 I( x0,r ) C( x0,r )

γ( ∈

L’insieme x0,r ) = { x S’ : d( x,x0 ) = r } si definisce circonferenza di centro

x0 e raggio r. Questo insieme è detto anche intorno circolare di x0.

γ( ⊆

x0,r ) C( x0,r )

I

n s i

e m

e l

i

m

i

t a t o

Supposto ( S,d ) uno spazio metrico, prendiamo X un sotto - insieme di S. X si dice

∈ ∈R ⊆

limitato se esistono x0 S e r positivo, tali che X I( x0,r ).

D i

a m

e t r

o d i u n i

n s i

e m

e X

Preso X non vuoto un sottoinsieme di S. Prendiamo ora in esame l’insieme delle

∈

distanze tra tutti gli elementi di S { d( x,y ), x,y R }. L’estremo superiore di

questo insieme si definisce diametro dell’insieme X.

↔

X è limitato il diametro di X è un numero finito.

Preso Y sottoinsieme di X, con X un insieme limitato, allora Y è limitato

Presi X1 e X2 tali che

⊆

X1 S → ∩

X1 è limitato X1 X2 è limitato

⊆

X2 S

Dati X1, X2, entrambi sottoinsiemi di S limitati, la loro unione risulta un

insieme a sua volta limitato.

P

u n t i i

n t e r n i

, e s t e r n i e d i f r o n t i

e

r a

⊆ ∈

Dato ( S,d ) uno spazio metrico, supponiamo X S, x0 X.

• x0 si dice interno ad X se esiste un cerchio di centro x0 tutto contenuto in X

↔ ∃ ∈ ⊆

x0 interno ad X e R : I( x0,e ) X

L’insieme dei punti interni ad X si denota con intX. In oltre vale la seguente

⊆

intX X

• x0 si dice esterno ad X se è interno al complementare di X in S.

↔ ∃e ∈ ⊆

x0 esterno ad X R : I( x0,e ) S\X

L’insieme dei punti esterni ad X in S si denota con EstX. In oltre valgono le

seguenti:

IntX = Est( S\X)

EstX = Int( S\X )

• x0 si dice di frontiera per X se non è ne interno ne esterno ad X

↔ ∀e ∈ ∃ ∈ ∩

x