Analisi matematica II - gli spazi metrici

ϑX.contemporaneamente aparte II: ∪ ϑX.sia x* appartenente ad X Esistono sempre due casi. Tuttavia se x*appartiene ad X, la situazione si risolve come nella prima parte.Prendiamo in considerazione invece il casox* non appartiene ad X: ϑX.Apparterrà allora sicuramente a Da ciò deduciamo, fissando∈R,arbitrariamente un e l’esistenza di altri due elementi di Xdistinti∈ ∩x’ I( x*,e ) X∈ ∩x’’ I( x*,e ) ( S\X )x’ è distinto da x* perché x* non appartiene ad X per ipotesi.Essendo valida l’esistenza di x’ per qualsiasi valore di e, si deduceche x* è un punto di accumulazione.Teorema 2: Sia ( S,d ) uno spazio metrico ed X un sottoinsieme di S.↔ ϑX ⊆X è chiuso X _↔Teorema 3: X è chiuso X = X_ϑX,Teorema 4: DX, X sono insiemi chiusi.↔ ∩ ϑXTeorema 5: X è aperto X = 0Teorema 6: I( x0, e), intX sono

insiemi aperti→Teorema 7: X è chiuso S\X è aperto→Teorema 8: X è aperto S\X è chiuso ∈ ∈ σ,Teorema 9: Siano X,Y due sottoinsiemi di S tali che X A ed Y allora si ha∈ ∈ σ.che ( X\Y ) A ed ( Y\A ) ↔ θXTeorema 10: X è contemporaneamente aperto e chiuso = 0→ θXparte I: X è aperto e chiuso = 0 θX.Per definizione di insieme aperto, X non contiene Di conseguenza∩ θXotteniamo il risultato (a) X = 0. Essendo X chiuso, dal teorema 2θX ⊆deduciamo la (b) X. Mettendo a confronto la (a) e la (b), giungiamo allatesi. θX=0 →parte II: X è aperto e chiusoθX=0, ∩ θXSe allora X = 0. Dal teorema 5 ricaviamo che X è aperto.Tuttavia l'insieme vuoto è sottoinsieme di qualsiasi altro insieme; quindiθX=0 ⊆ X. Dal teorema 2 ricaviamo quindi che X è chiuso.Se g me n t i, p u n t i

Preso in considerazione uno spazio euclideo ad n dimensioni, e due punti a=(a1,...,an) e b=(b1,...,bn) appartenenti a questo spazio, definiamo segmento di n dimensioni estremi a e b, l'insieme di punti { x ∈ R : xi = ai + t(bi-ai) } al variare di t ∈ R nell'intervallo [0,1]. Per t=0 otteniamo il punto a; per t=1 il punto b; per t= ½ il punto medio del segmento.

Teorema 11: Sia X un sottoinsieme proprio e non vuoto di uno spazio euclideo, e siano a un punto interno, b un punto esterno. Esiste allora un punto x* appartenente al segmento che congiunge a e b, che appartiene alla frontiera di X. Questo equivale a dire che la frontiera di qualunque sottoinsieme proprio e non vuoto di uno spazio euclideo è non vuota.

Corollario: Gli unici sottoinsiemi infiniti di uno spazio euclideo che sono contemporaneamente aperti e chiusi sono l'insieme vuoto e lo spazio euclideo stesso. ⊆ n

Supponiamo per assurdo che esista X ⊆ R con

1. T <> 0.
2. T è chiuso.
3. T D( intT )

a₂i i+1…….. ap. ∪P( a₁, a₂, ………….. ap ) = si

I punti a₁ e ap si chiamano punti terminali di P. I segmenti s si chiamano lati della poligonale P. Una poligonale si dice chiusa se i suoi punti terminali coincidono. Una poligonale si dice infine semplice se ogni suo punto appartiene ad un solo lato, a eccezione dei vertici, che possono appartenere a due lati consecutivi.

Un sottoinsieme X di uno spazio euclideo si dice internamente connesso se si verificano le seguenti condizioni:

1. X ha almeno due punti distinti.
2. Comunque si prendano due punti x’ e x’’ appartenenti ad X, esiste una poligonale semplice interamente contenuta in X, con eventuale eccezione dei punti terminali.

⊆ nTeorema 12: Se X R è un insieme chiuso e limitato ed è internamente connesso, allora X è un dominio connesso.

Succe ssi o ni → Sia ( S,d ) uno spazio metrico. Sia data la funzione x : N → S, che fa corrispondere ad un numero

Naturale un elemento di S. La funzione x si definisce successione di∈elementi di S, e si indica con { x }. Sia x0 S, diremo che { x } converge ad x0 se nsi verifica la seguente condizione: Lim { x } = x0 Sn∞n→ x xonT e o r e ma 1 :d e ll’u n ic it à d e l limit e

Una successione di elementi di uno spazio metrico convergente, converge ad un unico limite.

Sia ( S,d ) uno spazio metrico, ed { xn } una successione di elementi di S. Supponiamo per assurdo che esistano due elementi distinti di S, x0 e x*, taliche S Sx x0 x x*n n

Essendo elementi distinti, d( x0,x* ) è maggiore di zero. Fissiamo orae = ½ d( x0, x* ). Per l’ipotesi di convergenza, sussistono le seguenti condizioni

∃ ∀v’ : n > v’ d( xn, x0 ) < e

∃ ∀v’’ : n > v’’ d( xn, x* ) < e

Fissiamo n’ tale che n’ > max( v’, v’’).d( xn’, x0 ) < ed( xn’, x* ) < esommiamo membro

a membrod( xn’, x0 ) + d( xn’, x* ) < 2esostituiamo ad ed( xn’, x0 ) + d( xn’,x* ) < d( x0, x* )per la proprietà di simmetriad( x0, xn’ ) + d( xn’, x* ) < d( x0, x*)dalla proprietà triangolared( x0, x* ) <= d( x0, xn’ ) + d( xn’, x* ) < d( x0, x* )d( x0, x* ) < d( x0, x* )che è assurdo.

Su c c e ss io n i e s t ra tt eData { x } una successione di elementi di S, e { Kn } una successione crescente dinelementi di N, la successione { x } si dice estratta da { x }.Kn n} converge ad x0, allora qualsiasi successioneTeorema 2: Se una successione { xnestratta da { x } convergerà ad x0.nData la convergenza della successione ad x0, vale la seguenteRd( xn, x0 ) 0che è una successione di numeri reali. Di conseguenza la successioned( x , x0 ), estratta dalla prima, convergerà allo stesso limite, cioè zero. CiòKnbasta a dimostrare che anche { x } tende a x0.KnP nTeorema 3: Sia S

= R uno spazio metrico euclideo e { x } una successione di elementi di S. Ogni elemento di questa successione avrà p componenti. Al variare di n avremo quindi p successioni di numeri reali. Se { x } tende ad un elemento x*, costituito da p componenti x*1, x*2, ..., x*i, ..., x*p, le successioni di numeri reali { xn } tenderanno alla corrispondente componente di x*, ottenute dalle componenti di { x }.

In simboli:

R^n x { x } -> R^n x*

Parte I: ∈Fissato ε > 0, per ipotesi, esiste un indice v tale che, qualunque n > v, risultando d(xn, x*) < ε √Σ(xn - x*i)^2 < εma, evidentemente, vale la seguente:

√Σ(xn - x*i) <= | xn - x*1 | <= ε

per la proprietà transitiva. Quindi | xn - x*1 | < ε. Abbiamo quindi dimostrato che, per qualunque valore di ε, esiste un indice v a partire dal quale, la successione { xn } tende a x*1.

Ripetiamo l'operazione per tutti gli indici fino a p e otteniamo la tesi.

II: √pFissiamo e > 0 e consideriamo e / , che è ancora maggiore di zero. Peripotesi esisterà un indice v1 a partire dal qualen| x1 - x*1| < e/√peleviamo al quadraton 2 2( x1 - x*1) < e / p.Reiteriamo l’operazione fino a vp. Definiamo a questo puntov’ = max( v1, v2 ……… vp)Consideriamo n > v’. Sommiamo quindi le diseguaglianze così ottenute:Σ( n 2 2xi – xi* ) < p ( e / p)estraiamone la radiceΣ( n 2– xi* ) < exiche in sostanza vuol direnx x*.Su c c e ss io n i d i C a u c h y o f o n d a men t a li⊆Dato uno spazio metrico ( S,d ) e una successione { x } S, la successione si dice dinCauchy se si verifica la seguente condizione∀ ∃ ∈ ∀ → , x ) < ee > 0 v N : n,m > v d( x n mTeorema 4: Una successione convergente è di Cauchy.Fissiamo un e > 0 e consideriamo ½ e. Supponiamo la successione { x }nconvergente ad un limite x*.

Esisterà allora un indice v' a partire dal quale d(x, x*) < 1/2e. Siano quindi n ed m maggiori di v'. Per la proprietà triangolare, possiamo scrivere d(x, x) <= d(x, x*) + d(x*, x) n m n m. Per la convergenza ad x*, possiamo maggiorare i termini a destra d(x, x*) + d(x*, x) < 1/2e + 1/2e n m. Infine, per la proprietà transitiva d(x, x) < 1/2e n m.

Mostriamo con un contro esempio che il viceversa in generale non è valido. Consideriamo la successione infinitesima {1/n} in R. Essa è convergente a zero, di conseguenza è una successione di Cauchy. Consideriamola ora nel sottoinsieme di R]0, 1]. Essa è ancora di Cauchy, ma non converge in ]0, 1].

Spazio metrico completo

Uno spazio metrico si dice completo se ogni sua successione di Cauchy è convergente. Proviamo ora che uno spazio euclideo è completo.