Geometria, Prof. Chiara De Fabritiis, Teoremi e dimostrazioni

1. Definizione di spazio vettoriale e proprieta
2. Definizione di sottospazio vettoriale
3. Combinazioni lineari e span
4. Definizione di sistema di generatori
5. Definizione di lineare indipendenza/dipendenza
6. Definizione di base
7. Definizione di coordinate
8. Definizione sottoinsieme massimale di vettori linearmente indipendenti
9. Definizione di spazio vettoriale finitamente generato
10. Teorema del completamento
11. Definizione di dimensione di uno spazio vettoriale
12. Teorema di Grassman e teorema della dimensione/del rango
13. Definizione applicazioni lineari
14. Definizione nucleo e immagine di uno spazio vettoriale
15. Applicazioni lineari iniettive
16. Applicazioni lineari surgettive
17. Applicazioni lineari bigettive
18. Teorema di Rouché-Capelli
19. Teorema di struttura per sistemi lineari
20. Mosse di Gauss e risoluzione a scala di matrici
21. Rappresentazioni parametriche e cartesiane di un sottospazio
22. Sottospazio affine
23. Composizione di applicazioni lineari
24. Applicazioni lineari invertibili
25. Isomorfismi e teorema sull'isomorfismo

1. Prodotto tra matrici
2. Gruppo lineare e proprietà
3. Teorema sulle matrici
4. Calcolo dell'inversa di una matrice
5. Matrice del cambiamento di base
6. Matrice associata a un endomorfismo lineare
7. Matrici simili
8. Teorema sul determinante
9. Teorema di Laplace
10. Formula di Sarrus
11. Teorema di Binet
12. Metodo di Cramer
13. Teorema degli orlati
14. Endomorfismo lineare diagonalizzabile (triangolabile)
15. Definizione di autovettore e autovalore
16. Definizione di spettro
17. Teorema sul polinomio caratteristico
18. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore
19. Teorema di un endomorfismo diagonalizzabile
20. Schema per trovare basi di autovettori
21. Prodotto scalare canonico su ⁿ
22. Prodotto scalare su uno spazio vettoriale
23. Nucleo di un prodotto scalare
24. Segno di un prodotto scalare
25. Proprietà prodotto scalare
26. Spazio vettoriale metrico
27. Norma di un vettore e proprietà
28. Angolo fra due vettori non nulli

Indipendenza/Dipendenza Lineare e Basi:

Definizione di generatori di V:

I vettori v₁,...,v_n e V si dicono sistema di generatori

di V se Span(v₁,...,v_n) = V, cioè:

∀ v ∈ V ∃ λ₁,..., λ_n ∈ ℝ t.c. v = λ₁v₁ + ... + λ_nv_n

Definizione di lineare indipendenza/dipendenza:

I vettori v₁,...,v_n si dicono linearmente indipendenti

se λ₁v₁ + ... + λ_nv_n = 0 cioè se λ₁ = ... = λ_n = 0

I vettori v₁,...,v_n si dicono linearmente dipendenti

se ∃ λ₁,..., λ_n non tutti nulli tali che λ₁v₁ + ... + λ_nv_n = 0,

cioe se uno dei vettori si puo scrivere come

combinazione lineare degli altri:

v₁ = (^-λ₂/_λ1)v₂ + ... + (^-λ_n/_λ1)v_n

Definizione di base:

I vettori v₁,...,v_n si dicono base di V se:

1. Sono linearmente indipendenti
2. Sono un sistema di generatori di V

Definizione di coordinate:

Sia B = {v₁,...,v_n} una base di V e v ∈ V, gli n

numeri reali (x₁,...,x_n) tali che v = x₁v₁ + ... + x_nv_n

sono le coordinate di v rispetto alla base B.

x = [_x1 |_xn] sono uniche! ∀ v ∈ V, ∃! x₁,...,x_n ∈ ℝ

t.c. v = x₁v₁ + ... + x_nv_n

Nucleo e immagine di un'applicazione lineare:

T: V → W applicazione lineare

• ker T = {ξ ∈ V : T(ξ) = 0} = T^-1(0) (nucleo di T)
• im T = {η ∈ V : ∃ ν ∋ η = T(ν)} = T(V) (immagine di T)

Ker T è un sottospazio vettoriale di V

Im T è un sottospazio vettoriale di W

Applicazioni lineari iniettive:

T: V → W lineare T è iniettiva ⟺ ker T = {ξ₀}

T(0) = 0 ⇒ 0 ∈ ker T = T^-1(0)

T(v₁) = T(v₂) ⇒ T(v₁ - v₂) = 0 v₁ - v₂ ∈ ker T v₁ = v₂

Teorema (della dimensione/del rango):

T: V → W applicazione lineare. Allora:

dim V = dim ker T + dim im T

Applicazioni lineari surgettive:

T: V → W lineare T è surgettiva ⟺ ker T = {ξ₀}

Applicazioni lineari bigettive:

V, W spazi vettoriali, dim V = dim W

T: V → W lineare. Allora T iniettiva ⟺ T surgettiva ⟺ T bigettiva

Mosse di Gauss

I Mossa di Gauss: Scambio di righe

II Mossa di Gauss: Sostituire a una riga la sua somma con un multiplo dell’altra.

{R_i = b_i}

{R_i = b_i} ⇔ {R_j = b_j}

{R_j + λ R_i = b_j + λ b_i}

R₃ - α₃/P₂∙R₂

R_n - α_n/P_n∙R_n

Ax = b , Sx = c Riduzione a scala con k pivot, allora:

1. Ax = b e Sx = c sono equivalenti
2. ker A = ker S
3. rg A = rg S
4. Indicata con S^j₁, ..., S^j_r le colonne di S in cui compaiono i pivot. Allora A^j₁, ..., A^j_r sono una base di Im A = Span (A^j₁, ..., A^j_r)

Teorema sulle matrici:

Sia A ∈ M_m,n(ℝ) le seguenti affermazioni sono equivalenti:

1. A invertibile
2. L_A invertibile
3. L_A iniettiva
4. L_A surgettiva
5. rg A = n
6. Colonne di A linearmente indipendenti
7. Righe di A linearmente indipendenti
8. Ax = 0 ha come soluzione x = 0
9. ∀b ∈ ℝⁿ il sistema Ax = b ha un'unica soluzione
10. Tutte le righe di una riduzione a scala di A sono non nulle
11. det A ≠ 0

Calcolo dell'inversa di una matrice:

A ∈ M_m,n(ℝ) ∃! X ∈ M_m,n(ℝ) t.c. AX = I_n

AX = I_n, X = [X¹ ... Xⁿ] I_n = [e₁ ... e_n]

AX = A[X¹ ... Xⁿ] = [AX¹ ... AXⁿ] = [e₁ ... e_n]

AXⁱ = e_i

AXⁿ = e_n

|A| I_n →_{risoluzione a scala} S | G →_{risoluzione all'indietro} D | C →_{divisione per i pivot} I_n | A^-1 |

Teorema (Sviluppo di Laplace):

Det A = Σ_k=1ⁿ (-1)^i+k a_ik · Det A_ik = Σ_k=1ⁿ (-1)^k+j a_jk · Det A_kj

∀j=1,..., n

Det A = Det A^T

1. Scambiando fra loro 2 colonne il det cambia di segno
2. Somando ad una colonna un multiplo di un’altra il determinante rimane invariato.

Formula di Sarrus:

Det |ad ei − fh| − b| di − fg| + c|dh − eg| = = a(ei−fh)−b(di−fg)+c(dh−eg)= = 2ei + bfg + cdh − (2fh+bdi+ceg)

⇒ 2ei + bfg + cdh - (bdi + afh + ceg)