Geometria, Prof. Chiara De Fabritiis, Teoremi e dimostrazioni

Definizione di spazio vettoriale e proprietà

Uno spazio vettoriale (o spazio lineare) su R è un insieme V su cui sono definite due operazioni: una somma (che a due elementi di V associa un elemento di V) e un prodotto per scalari (che a un elemento di R e un elemento di V associa un elemento di V).

Definizione di sottospazio vettoriale

Un sottospazio vettoriale è un sottoinsieme di uno spazio vettoriale che è esso stesso uno spazio vettoriale rispetto alle stesse operazioni di somma e prodotto per scalari.

Combinazioni lineari e span

Una combinazione lineare di un insieme di vettori è un vettore ottenuto come somma pesata di questi vettori. Lo span è l'insieme di tutte le combinazioni lineari dei vettori dati.

Definizione di sistema di generatori

Un sistema di generatori di uno spazio vettoriale è un insieme di vettori tali che ogni vettore nello spazio può essere espresso come combinazione lineare di essi.

Definizione di lineare indipendenza/dipendenza

Un insieme di vettori si dice linearmente indipendente se nessuno dei vettori può essere espresso come combinazione lineare degli altri. Altrimenti, si dice linearmente dipendente.

Definizione di base

Una base di uno spazio vettoriale è un insieme di vettori linearmente indipendenti che generano lo spazio stesso.

Definizione di coordinate

Le coordinate di un vettore rispetto a una base sono i coefficienti delle combinazioni lineari che rappresentano il vettore nella base data.

Definizione sottoinsieme massimale di vettori linearmente indipendenti

Un sottoinsieme massimale di vettori linearmente indipendenti è un insieme di vettori linearmente indipendenti che non può essere esteso aggiungendo altri vettori senza perdere l'indipendenza lineare.

Definizione di spazio vettoriale finitamente generato

Uno spazio vettoriale finitamente generato è uno spazio vettoriale che ha un sistema di generatori finito.

Teorema del completamento

Il teorema del completamento afferma che è possibile estendere un insieme di vettori linearmente indipendenti fino a ottenere una base per lo spazio.

Definizione di dimensione di uno spazio vettoriale

La dimensione di uno spazio vettoriale è il numero di vettori di una base di tale spazio.

Teorema di Grassmann e teorema della dimensione/del rango

Il teorema di Grassmann e il teorema della dimensione o del rango forniscono relazioni tra dimensione, rango e nucleo di applicazioni lineari.

Definizione applicazioni lineari

Una applicazione lineare tra due spazi vettoriali è una funzione che preserva le operazioni di somma e prodotto per scalari.

Definizione nucleo e immagine di uno spazio vettoriale

Il nucleo di un'applicazione lineare è l'insieme dei vettori che vengono mappati sul vettore nullo. L'immagine è l'insieme dei vettori che sono l'immagine dei vettori dello spazio di partenza.

Applicazioni lineari iniettive

Un'applicazione lineare è iniettiva se mappa vettori diversi in vettori diversi.

Applicazioni lineari surgettive

Un'applicazione lineare è surgettiva se la sua immagine coincide con lo spazio di arrivo.

Applicazioni lineari biettive

Un'applicazione lineare è biettiva se è sia iniettiva che surgettiva.

Teorema di Rouché-Capelli

Il teorema di Rouché-Capelli fornisce una condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza di soluzioni per un sistema di equazioni lineari.

Teorema di struttura per sistemi lineari

Il teorema di struttura descrive le proprietà fondamentali dei sistemi di equazioni lineari e le loro soluzioni.

Mosse di Gauss e risoluzione a scala di matrici

Le mosse di Gauss sono operazioni elementari che permettono di risolvere sistemi lineari portando le matrici alla forma a scala.

Rappresentazioni parametriche e cartesiane di un sottospazio

Le rappresentazioni parametriche e cartesiane descrivono il modo in cui i sottospazi possono essere espressi usando parametri o equazioni.

Sottospazio affine

Un sottospazio affine è un insieme ottenuto traslando un sottospazio vettoriale.

Composizione di applicazioni lineari

La composizione di applicazioni lineari è l'operazione di applicare una dopo l'altra due applicazioni lineari.

Applicazioni lineari invertibili

Un'applicazione lineare è invertibile se esiste un'applicazione inversa che ripristina i vettori originali.

Isomorfismi e teorema sull'isomorfismo

Un isomorfismo è una biezione lineare tra due spazi vettoriali, e il teorema sull'isomorfismo descrive le proprietà fondamentali di tali funzioni.

• Prodotto tra matrici
• Gruppo lineare e proprietà
• Teorema sulle matrici
• Calcolo dell'inversa di una matrice
• Matrice del cambiamento di base
• Matrice associata a un endomorfismo lineare
• Matrici simili
• Teorema sul determinante
• Teorema di Laplace
• Formula di Sarrus
• Teorema di Binet
• Metodo di Cramer
• Teorema degli orlati
• Endomorfismo lineare diagonalizzabile (triangolabile)
• Definizione di autovettore e autovalore
• Definizione di spettro
• Teorema sul polinomio caratteristico
• Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore
• Teorema di un endomorfismo diagonalizzabile
• Schema per trovare basi di autovettori
• Prodotto scalare canonico su Rⁿ
• Prodotto scalare su uno spazio vettoriale
• Nucleo di un prodotto scalare
• Segno di un prodotto scalare
• Proprietà prodotto scalare
• Spazio vettoriale metrico
• Norma di un vettore e proprietà
• Angolo fra due vettori non nulli
• Definizione di distanza
• Base ortogonale e base ortonormale
• Teorema della base ortogonale
• Formula di Parseval e teorema di Pitagora
• Teorema di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt
• Proiezione ortogonale
• Dimostrazione di unicità di un vettore
• Dimostrazione di esistenza di un vettore
• \( \|v\|^2 = \|u_0\|^2 + \|u_0^\perp\|^2 \)
• Matrice associata a un prodotto scalare
• Matrici congruenti
• Matrice associata a un prodotto scalare non degenere
• Matrice associata a un prodotto scalare positivo
• Endomorfismi simmetrici
• Matrice associata a endomorfismi simmetrici
• Teorema spettrale e corollario
• Criterio necessario e sufficiente per la similitudine
• Matrici simmetriche congruenti
• Criterio necessario e sufficiente per la congruenza
• Procedura per stabilire il segno di un prodotto scalare
• Criterio di Cartesio
• Prodotto vettore e proprietà