Teoremi dimostrati e Definizioni di Algebra Lineare e Geometria

Teoremi di Geometria

Teorema del completamento

Sia B = {u₁, … , u_r} una base di un sottospazio vettoriale V, e siano w₁, … , w_m ∈ V' (con m > n) vettori linearmente indipendenti.

Allora esistono n - p vettori di B che insieme a w₁, … , w_m generano V.

Dim: Si procede per induzione su p.

Sia p = 1, allora B = una base di V e siano x₁, … , x_n ∈ B tali che:

w₁ = α₁v₁ + … + α_nv_n

Nel caso p = 1, l'ipotesi di indipendenza lineare ci dice w₁ ≠ 0, quindi l deve essere diverso da novantanove o meno, allora almeno uno degli α non nulli. E ma dall'ordine superiore α₁ ≠ 0 ci indica:

v_i = […] e span {w₁, v₂, … , v_m}

Allora B = […], quindi {w_i, v₂, … , v_m} e con possiamo da generato di V se dav a dimostra che sono linearmente dipendenti.

Supponiamo di avere B_p linearmente indipendente per {x₁, … , x_n} e poi {β₁, … , β_n} zero per ogni β: il sistema di β_i = 0

Os: Dei vettori sono linearmente dipendenti se non ce ne una combinazione lineare degli altri.

0 = β₁(α₁x + … + α_nv_n) + (β₂x₂ + … + β_mv_m) =

0 = (β₁α) + (β₁β_x + β₁β_y)v_n

Allora v_i, … , v_m sono linearmente indipendenti per l'ipotesi è conferma a coeff di questa comb. lineare devono essere tutti nulli.

Essendo α₁ ≠ 0, l'ipotesi si ha β₁ = … = β_n = 0

In conclusione {w₁, v₂, … , v_n} sono linearmente indipendenti e il caso p è dimostrato.

Ora rimangono p teri per p + 1 vettori e la dimostrazione è effettuata come simile. w₁, … , w_n sia quindi lt V₁, …, vm base di V

O meno di ridurre lo ... lineare riscrittura da...₁, ..., ..._p, ..., ..._m base di V.Prelevando p loro prime ... estese ... ∈ R (da ... e)W_p = ......_p + ..._p' ... ..._mNon tutti ∝ ... = 0 ... in genera sono nulli ..., perché altrimentisarebbero tutti e p non abbiamo di dipendenza lineare fra ..., ...o meno dell'ordine assumiamo ∝_p = …..._p - _p ..._m - _p ..._p' - _pA ......_pA - _p ... - ...Question a max (..._pA, ..., W_pA, ..., ...)Per l'osservazione precedente ..., ... ... SISTEMA DI GENERATORI, ...prima base limitate che sono linearmente indipendenti....R ... R_k tale da ... … W_p = 0Prelevando per max cosa facciamo ...O = B₁W₁ + ... + B_p (..._l x ... + ... W_p + ..._l ..._Fn...) -B₁W₁ + ... + B_p ..._p ......_lW_l + ... + ..._p' ......_pA ...

Anche ultimo, contori B₃ = ..., ... B_p ÷ ...▷... registrano ..., ... , →..., … …, ... lineatamente independenti quindi di ..., espandi (...) esiano tutti B₁ zero OPortanto ...₁, ..., W_p, ..._pA, ..., ... ... line. indipi.}

2) TEOREMA DI GRASSFAN

Sia V un prodotto vettoriale e W sottospazio vettoriale di V.Allora ... dim (V + W) = dim V + dim W - dim (V ∩ W)è l'... della forma di inclusione - esclusione dell'aromatica

#(A ∪ B) = #A + #B - #(A ∩ B)

⊄ L'CARDINALITA

Dim: Indichiamo con X la matrice ottenuta sottraendo alla i-esima colonna, la colonna del vettore v_i, cioè X_i = e_i - v_i, i = 1, ..., n.

Allora: A v_i = 0 ⇔ AX = B, ∀i = 1, ..., n.

Prendo X det X otteniamo matrice e applico il Teorema di Cramer sull'orot.

Det P c.a (det A v_i, in quanto det X i = n (cfr. sviluppo det di a, lungo la i-esima riga)

8) Teorema degli Orlati

Sia A = (M, n-m, B) una matrice.

Allora il rango di A è ≤ m. Inoltre se non sono una sottomatrice A _i di estreme c di A non singolar, c colline di A contiguate di ultima colonna di A saranno.

9) Teorema del Polinomio Caratteristico

Siano T: V → V un endomorfismo di uno spazio vettoriale V nel campo K, fissiamo una base B = [V₁, ..., V_n] di V, e sia A ∈ M_n(K) la matrice associata rispetto a B, allora λ,

1. λ soluz.pT ↔ λ autov di T
2. Dato il polinomio P -1K dato da P(λ) = det (A - λ I_n) non dipende da B
3. P è un polinomio di grado M in cui il coeff. direttivo è (-1)ⁿ, il termine noto è det A = 0.
4. Si verifica A_i ⊂ K es cui autoval di T ↔ s.s pT (λ) = 0.

Dim: (1) Se le matrici si differenziano negli abs sim è cosa cose che stiamo una matrice B invertibile tale che A' = B^-1AB

P(λ) = det (A - λI_n) = det (B^-1AB - λI_n) = det (B^-1AB - B^-1BλI_n) =

= det (B^-1) det AB det (λI_n) det B = det (B^-1) det (A - λI_n) det (B) =

= det (A - λI_n) => P non dipende dalla base choice B.

(3) Deve stato usato K=0 un criterio di T e pert:

(ACB)_n A_i = X compiamo una riduz. con X + 0 = 0 ... sostituire in riduzione T(A - λI_x)X = 0

E camillo utilizzo mini metodo.

Cf... quanto si codice di base progetto det A - λI = 0 A = A_i.

8) Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

|\langle v,w \rangle| \leq ||v|| ||w||

Dim. Sia r un numero reale, t.c. 0 \leq \sum_{i} (a_{i} v_{i} + r b_{i} w_{i})^2 = \sum_{i} (a_{i}^2 + 2r a_{i} b_{i} \langle v,w \rangle + r^2 b_{i}^2 w_{i}^2)

Prendo a = ||w||, b = \langle v,w \rangle.

Allora 0 \leq r^2 ||w||^2 + 2r \langle v,w \rangle - ||v||^2.

Per la qualità del prodotto scalare ||v||^2 ||w||^2 \geq \langle v,w \rangle^2.

9) Disuguaglianza Triangolare

||v + w|| \leq ||v|| + ||w||

Dim. ||v + w|| = \sqrt{\langle v+ w, v + w \rangle} = \sqrt{||v||^2 + 2 \langle v, w \rangle + ||w||^2} Cauchy-Schwarz

\leq ||v|| + ||w||