Teoremi dimostrati e Definizioni di Algebra Lineare e Geometria

Teoremi di Geometria

1. Teorema del Complemento

Sia \( B = \{ v_1, \ldots, v_t \} \) una base di un sottospazio vettoriale \( V \), e siano \( w_1, \ldots, w_p \in V \) (\( p \le m \)) vettori linearmente indipendenti.

Allora esistono \( n-p \) vettori di \( B \) che insieme a \( w_1, \ldots, w_p \) formano una base di \( V \).

Dim: Si procede per induzione su \( p \).

Sia \( p = 1 \), assumo \( B \) è una base di \( V \) contenente \( x_1, \ldots, x_n \in \mathbb{R} \) tali che:

\( w_1 = \alpha_1 v_1 + \ldots + \alpha_m v_m \)

Nel caso \( p = 1 \), esiste un'indipilosa espressa in fattore \( w_1 \neq 0 \), quindi almeno uno dei: \( \alpha_1 \) non nullo. E non dell'ordine supponiamo \( \alpha_t \neq 0 \) diventa:

\( v_1 = \frac{1}{\alpha_t}w_1 - \frac{\alpha_2}{\alpha_t}v_2 - \ldots - \frac{\alpha_m}{\alpha_t}v_m \) e \( pon \{ w_1, v_2, \ldots, v_m \} \)

Dunque \( B = \{ pon \{ w_1, v_2, \ldots, v_m \} \) e quindi \( \{ w_1, v_2, \ldots, v_m \} \) è un primo di generativi di \( V \) se dimensione che sono linearmente indipendenti.

Supponiamo di avere \( \beta_1 v_1 + \beta_2 v_2 + \ldots + \beta_m v_m = 0 \) per cert. \( \beta_1, \ldots, \beta_m \in \mathbb{R} \)

Sego l'inserizione che \( \beta_x - \beta_m = 0 \)

Oss. Dei vettori sono linearmente dipendenti se ne esiste o almeno una come combinazione lineare degli altri.

\(0 = \beta_1 (\alpha_1 v_1 + \alpha_m v_m) + \beta_2 v_2 + \ldots + \beta_m v_m = \)

\( = ( \beta_t \alpha_t v_1) \cdot v_1 + (\beta_1 \cdot \beta_m) v_2 + \ldots + (\beta_m \cdot \alpha_m) v_m \)

All',\( w_1 \), \( V \) sono linearmente indipendenti per ipotesi (si dall') con Quesel comb. lineare devono esserne tutti nulle.

Quindi \(\beta_1 = 0 \) anche che per \( \beta_1 = 0 \) e quindi \( \beta_3 = \ldots = \beta_m = 0 \)

P conclusione (\( v_1, v_2, \ldots, v_n \)) sono linearmente indipendenti e si den com \(\mby B\) e che razione.

Ora supponiamo che sia vera per \( p = l \) vettori che la dimostrazione per \( p+ 1 \) vettori \( w_1, \ldots, w_p \) vettori lin. indip. \( v_1, \ldots, v_n \) base di \( V \)

Teoremi di Geometria

1. Teorema del Completamento

   Sia _n = {v₁, ..., v_n} una base di un sottospazio vettoriale V, e siano w₁, ..., w_p ∈ V (con p ≤ m) vettori linearmente indipendenti.

   Allora esistono m - p vettori di B che assieme a v₁, ..., v_p formano una base di V.

   Dim:

   Si procede per induzione su p.

   Sia p = 1, allora B è una base di V, ossia x₁, ..., x_n ∈ R tali w₁ = α ₁ v₁ + ... + α _n v_n.

   Nel caso p = 1, l'ipotesi di indipendenza lineare implica ₁ ≠ 0, quindi almeno uno degli α _i ≠ 0, ma dell'ordine superiore α ₁ ≠ 0 allora:

   v₁ = ¹/_α1 w₁ + ^α₂/_α1 v₂ + ... + ^α_n/_α1 v_n.

   Quindi B = {w₁, v₂, ..., v_n} è quindi {w₁, v₁, ..., v_p} è un sistema di generatori di V ed esiste una dimensione che non linearmente dipendente.

   Supponiamo di avere β₁ w₁ + β₂ v₂ + ... + β_m v_m = 0, per coeff. β_i ∈ R. Ora dimostriamo che β_n = 0.

   Oss: Dei vettori sono linearmente dipendenti se nessuno si ottiene da una combinazione lineare degli altri.

   0 = β₁ (α ₁ v₁ + ... + α_n v_n) + β₂ v₂ + ... + β_m v_n =

   = (β₁α₁) v₁ + (β₁α₂ + β₂) v₂ + ... + (β₁α_m + β_m) v_m.

   Allora w₁, ..., v_n sono linearmente indipendenti, per IETS: quest'equal diamo zero tutto nulo.

   Penso α ₁ ≠ 0, allora da β₁ ≡ 0 β2 = ... = β_{m = 0.}

   Avendo trovato l'indipendenza uso v_n: Ho trovato linearmente indipendente e il corso p = 1 di dimostrazione:

   Ora supponiamo che tien vero per p = r - 1: i vettori che si limita per p