Appunti Geometria

Dimostrazione della formula di Grassmann

V W {0}se in aggiunta v W = Proposizione:∩ {0}. ⊕Supponiamo che V W = Allora ogni vettore in V W si scrive in modo unico nella forma v + w con∈ ∈v V e w W .

Dimostrazione:Suppponiamo che un elemento si scriva in due modi:v + w = v + w1 1 2 2Allora si deve avere che − −v v = w w1 2 2 1Dove il termine a destra appartiene a V e quello a sinistra a W. Essendo l’unico elemento comune lo 0, allorasi deve per forza avere che: − −→v v = 0 v = v1 2 1 2− −→w w = 0 w = w1 2 1 2486.2 Formula Di GrassmannSiano V e W due sottospazi di uno spazio vettoriale X. Allora∩dim(V + W ) + dim(V W ) = dim(V ) + dim(W )⊕Corollario: Se la somma è diretta, allora dim(V W ) = dim(V ) + dim(W )Dimostrazione: ∩Ponendo dim(V W ) = k, dim(V ) = k + m, dim(W ) = k + n. Questo equivale a dire che:dim(V + W ) = k + m + n∩Sia e , ..., e una base di V W . Si può completare, per renderla una base di V, aggiungendo m vettori,

e quindi1 k e , ..., e , v , ..., v1 k 1 m

Poiché e sono una base e v sono linearmente indipendenti. Il teorema ci dice che quando si hanno elementii ilinearmente indipendenti, si possono aggiungere degli elementi per farli diventare una base fino ad arrivare alladimensione dello spazio vettoriale. In questo caso si deve raggiungere k quindi se ne aggiungeranno m.

Analogamente, si può completare per renderla una base di W aggiungendo n elementie , ..., e , w , ..., w1 k 1 n

Mettendo tutto insieme si ottiene e , ..., e , v , ..., v , w , ..., w1 k 1 m 1 n

Che sono una base di V + W. A questo punto si deve verificare che sono generatori e che sono linearmenteindipendenti.

Sono generatori? Ogni elemento di V + W èv + w = a e + ... + a e + b v + ... + b v + c e + ... + c e + d w + ... + d w1 1 k k 1 1 m m 1 1 k k 1 1 n n

É quindi combinazione lineare dei k + m + n elementi.

Sono linearmente indipendenti? Supponiamo che non lo siano. Prendendo una combinazione lineare nulla

a e + ... + a e

+ b v + ... + b v + c w + ... + c w1 1 k k 1 1 m m 1 1 n n

Portando tutti i w a destra si ottiene: −c − −a e + ... + a e + b v + ... + b v = w ... c w (A)1 1 k k 1 1 m m 1 1 n n

Il membro a sinistra appartiene a V, mentre il membro a destra appartiene a W. Entrambe le combinazioni∩lineari stanno nell’intersezione. Se il membro a destra a destra appartiene a V W è combinazione lineare die , ..., e , e quindi si può scrivere come combinazione lineare di ciò che sta nell’intersezione. Di conseguenza si1 kavrà che: −c − −w ... c w = d e + ... + d e1 1 n n 1 1 k k

Se a destra e/o a sinistra ci fosse un coefficiente non nullo, allora i vettori e , ..., e , w , ..., w sarebbero linear-1 k 1 nmente dipendenti, il che non è possibile perché sono una base di W, quindi indipendenti. Di conseguenza tutti ic = 0. Allora, a destra dell’equazione (A) si ha 0 e quindi si avrà 0 anche a sinistra. Poiché e , ..., e , v , ..., vi 1 k

1. Sono una base di V, questo è possibile se tutti i coefficienti sono nulli. Esempio: 3

2. Siano V e W due sottospazi di R di dimensione 2 (due piani passanti per l'origine). Può essere una somma diretta? Cosa può essere l'intersezione? ∩dim(V + W) + dim(V ∩ W) = dim(V) + dim(W) Dove dim(V) = dim(W) = 2, quindi dim(V + W) può essere solo 2 oppure 3. Di conseguenza, se dim(V + W) = 3∩∩ allora dim(V ∩ W) = 1 (i piani si intersecano in una retta). Oppure dim(V + W) = 2 allora dim(V ∩ W) = 2∩(i due piani coincidono poiché V = W = V + W = V ∩ W)

3. Esempio: 3 3 3{(x, ∈ − ⊕Avendo X = R, V = Span{(0, 1, 2)} e W = y, z) R: x + y − 3z = 0}. Dimostrare che W ∩ V = R e scrivere le componenti del vettore (1,2,3) rispetto a V e W. ∩ {0}. Per dimostrare che la somma è diretta si deve mostrare che V ∩ W = ∅. Gli elementi di V sono del tipo ∈ (0,a,2a) con a ∈ R. Possono stare in W? Basta sostituire per verificarlo. Quindi si ottiene →

1. −x + y + 3z = 0
2. a + 6a = 0
3. Quindi gli elementi di V stanno in W solo se a = 0.
4. Quindi si può dire che la somma diretta V ⊕ W = ℝA.
5. A questo punto bisogna trovare due basi di W.
6. Con pochi calcoli si trova che due basi possono essere (3,0,1) e (0,3,1).
7. Quindi per trovare le componenti del vettore (1,2,3) si deve scrivere questo come combinazione lineare delle due basi di W e della base di V.
8. Quindi (1, 2, 3) = a(3, 0, 1) + b(0, 3, 1) + c(0, 1, 2)
9. E per trovare a, b, c basta risolvere il sistema
10. 6.3 Basi Ortogonali - Ortonormali
11. Definizione: Siano v1, ..., vn vettori in ℝ^n. Si dice che costituiscono una BASE ORTOGONALE se = 0 per ogni i ≠ j
12. BASE ORTONORMALE se sono una base ortogonale e in aggiunta ||vi|| = 1 per ogni i
13. Siano v1, ..., vn vettori non nulli e a due a due ortogonali. Allora per forza sono una base.
14. Dimostrazione: Per dimostrare che sono una base basta dimostrare una delle due caratteristiche delle basi, quindi basta che siano

linearmente indipendenti. Sia c_v + c_v + ... + c_v = 0 una loro combinazione lineare nulla. Facendo il prodotto scalare con v₁ 1 2 2 n n i0 =< c_v + ... + c_v, v >= c < v , v > +... + c < v , v >1 1 n n i 1 1 1 n n i

Tutti i prodotti scalari sono nulli tranne quello al posto i-esimo quindi si ottiene 0 = c < v , v >i i i

Quindi per forza deve essere c = 0 per ogni i = 1, ..., n_i

Come calcolare le componenti di un certo v rispetto ad una base v₁, ..., v_n ortogonale?

Modo 1: Si scrive v come c₁v₁ + ... + c_nv_n e si trovano i c risolvendo il sistema

Modo 2: Scrivere v rispetto alla base canonica, poi si applica la matrice di cambio base dalla canonica alla base ortogonale, cioè scrivere v come combinazione lineare dei vettori della base ortogonale e usarli come colonne. Infine moltiplicare la matrice ottenuta per v scritto come combinazione lineare della canonica.

Modo 3: Funziona solo con le basi ortogonali. Supponendo di avere: v = c₁v₁ + ... + c_nv_n facendo

Il prodotto scalare con v si ottiene: i< v, v >=< c v + ... + c v , v >= c < v , v > +... + c < v , v >= c < v , v >i 1 1 n n i 1 1 1 n n i i i i

Quindi < v, v >ic =i < v , v >i i

Se la base v , ..., v è ortonormale, allora1 n c =< v, v >i i

506.4 Teorema Gram - Schmidt {v } {w }É un algoritmo che data una base qualunque , ..., v restituisce una base ortogonale , ..., w tale che:1 n 1 n} }Span{v , ..., v = Span{w , ..., w1 k 1 k{v }Data , ..., v base qualunque, si avrà:1 nPasso 1: w = v1 1 < v , w >2 1−Passo 1: w = v w2 2 1< w , w >1 1 } },Si vuole porre w = v + aw in modo che Span{v , v = Span{w , w e sceglierli in modo che < w , w >= 0.2 2 1 1 2 1 2 2 1Imponendo la condizione < w , w >=< v + aw , w > che può essere scritto come < w , w > +a < w , w >= 02 1 2 1 1 2 1 1 1< v , w >2 1−che è verificata se e solo se a = La formula generale è:< w , w >1 1 k−1