Dimostrazioni teoremi geometria

Quadrica in ⁿ (1)

DEF

Se una quadica è riducibile, si riduce nel unione di 2 pian

L'unione di sezioni una sono riducibili

DIM

Q riducibile = Polinomio si fattorizza in 2 plur. grado 1

• Q = α ∪ β

G. 2

Q = α ∪ β = γ ∪ δ

α ∪ β = (α ∩ β) ∪ δ

α = (α ∩ β) ∪ δ

Esercizio

Una quadric Q ha almeno 2 punti doppi se è somma di K riducibile

DIM

π = πL(R,S)

(R ∩ f_2) > p = 3

≥ dia

a = 2L (P, r)

4, f = 2L(P, q)

f ∈ χ(L, S, R)

3 + 2 = L + 3D

G ∈ R

Ordito riducible

d piano contenente 3 riducibile

= 0 L retto R

Una curva di ordine L∪R di ordine 2

0 red

3 cof = 2L

Curva di ordine piano ciclo

Q ∈ R < D > Q

Quadrica in A₂ (1)

Def

Se una quadica è riducibile, si riduce nel prodotto di 2 piani, oppure 1 distinta coniugata = coplessa e coniugata Inoltre tutte le sezioni piane sono riducibili

Dim

Q riducibile => polinomio si fattorizza in 2 pian. secondo 1 piano? piano 2.

Q = α 2, β C - P, Q = δ β ≠ 2α, β

C P Q = (α u, f) - β = (α a, b) u (a 2, β)

C si riduce nel polinomio in 2 piani

Teorema

Una quadica Q che sezione 2 piani doppi se è sezione di un cono riducibile

Dim

S¹

R, S, Q definiti doppi, D, Q

P[ < PQ (R, S)

|π n π| => a 2 ≥ 2

P > 2, Q > 2

P, P, ordire riduc

~ 3 p.l.y., 1 bisecia / 2 questione P,Q

sia AP SQ n/o, gr, s

α = r, (P,H)

ρ r, (3, H)

(Σ n 2, 2+1, 3 D)

Q, R, R

Il piano contiene 3 => q intesetta R in una curva di ordine uguale. 3 3

=> (Top 2 tetegen del diride). R = r, T, Q, R > Q Q si riducibile

<< P Q = riducibile Q u.p.

Pcon α P con β

— riducibili centi passando per P deve avere le 2 intersez.

con Q quindi in P infatti se interclasse r in P e

in h o p

=> P H Q o H P Q enta F2 re p(P 1 H) senza intercerie

costruiti in A o in P => = R = ) aggiungo anche H se

genunco

=> P e doppio

=> se α β in da’ punt vuoie HL = α o β

se λ = F Q ho 02’ punt dopp.

Teorema

Q ha uio é un solo punto doppio (≡) Q e un cono o un conno

Dim.

=>V = unico punto doppio in Q

dimostro che solo ret ra contenute in Q passa per V

per assurdo N SQ V E R

R una re perché ε la(ay) G = re (bv)

(con a) ? > > > =)> 9 ε

(con b) ? > > > =)> 9 ε R

a, b, E Q R

=> intersia in Q in una curva di ordine 3 = 2 ε Q

=> Q e riducle sd Q ha almeno 2 punti doppi contro 9

=> ogni rett di Q passa per V

Q = A un R

so = 17/us ε F

ε R

r rette in Q che non passano per

V ε assurdo

C econi è riducibile

V = E

C = 1

Π_∞ ce. (P, V)

[A ∩ Π_∞] ⊇ 3₁ + l_∞ + 2_∞ → n = 3

U V

→ Q è un cono se U = fascio

→ Q cilindro se U inconico

(₁:

Q è coni o cilindro

Se Q ha quota sopra Π_∞ ha al più uno, perché altrimenti sarebbe riducibile

V = vertice di Q

con _H

→ V ha E = 2

Da conica retta per V intersezione con Q punti curva conica non.

Conica metoporica quadrica irriducibile

La conica impropria cod di un cilindro è riducibile in 2 punti passa per il vertice

Vertice dei cilindro uno E=2 e uno punto nodo

Conica

• Def: È una curva di equazione secondo grado in due rette nel piano cartes.

• Definizione come luoghi geometrici:

• Intersezione coniche.

Dim:

C. retta

• Rette di secondo grado passato
• 1 gruppo, 2 coniche
• 3 rette

Prop:

• La conica ha almeno un punto doppio se e sono su un involucro

Dim:

p₁p₂ e c coniche

p∈c

p=cf(p)₂ πe

c fra 2 dunque piano conico

Opp

• Ha un solo punto doppio s⟸ si riduce in due rette incidenti medesime.

Dim:

Da m₁c₁p₂p_c

p r..₂

Opp

• E almeno 2 punti due ⟸ si riduce in una conica completa

Dim:

p₁:

• p = cf p₂m
• Ogni conica ha almeno 2 e sono uguali 2 punti una retta

• Conica tre pari sono uguali, terzo
• Complessa con secondo termine in tonda

Quindi

q₁+···+q₅⟺ e calcolo x solo p_n lineare.

• π dato
• il piano conica solo 23 x un retta

Teorema

λ₂ (C) non doppi, di una conica hanno moltep. compless. det c₁.

del lagro di autovettori shaders

Rappresenta lambda

Dim

1. nuotra Ce/uom sono autovet polinomi x₁.ΔF = 0ΔA = 1ΔF = 2ΔF = 0ΔF = 0ΔF = 0F(x₁, x₂) = a₀ λ₁ + 2 a₁ x₁ + 2 a₂ x₁ x₂

   + 2 a₃ x₃ + 2a₂x₂ + 2 a x₃ + 2 a₂ x₃ + 2 a₂ x₂

   U

   -3 x₁ + 2 x₁ x + 3 a₁ - 3 = 0

   - 255x₃ +2 a₁ + 3x₂ x x₃ = 0

   - 2 a₂ + x₃ x₁ x₃ + 2 a₂ + 3 x₃ = 0

   Teorema

   1. briforce β(A) = 3
   2. simplice quadrica β(A) = 2
   3. doppievon degeneri β(C) = 1

   Dim.

   1. C conicranze C non ha punti doppi Δx = 0 non ha aumento è sicuro β(A) = 3
   2. C semplic dei atre C ha esatto\ranzo un punto doppio che in coordiante ortogonale è rappresentato da contributo termine Δ = 0 ha alt soluzioni, β(C) = 2
   3. C dopp degenera C ha dopi punti doppi ha non punti β(A) = 1

   (abc)

   dim:

   la

   (x)

   {@a

   (a,b,c)

   (xs) => (x)

   (x_1)

   p

   =>

   =>

   PROPRIETÀ METRICHE DI UNA CONICA IN [C]

   Poiché

   gli assi di una conica a centro sono 2 e sono perpendicolari tra loro a meno che non si tratti di una circonferenza, in tal caso tutti i diametri sono assi.

   Dati:

   Ro = {(ℓ, m, o)}

   • al variare di o
   • è asse <=> ∃ Po = {(ℓ - m, ℓ)}
   • Ao = ={[(l - m, ℓ, o)]} punto medio di o
   • Ao = ø

   -> = A_AAo sono coniugati --> ∀_o A_AAo = 0

   (ℓ, m, 1) A ^(m)/₂ = 0

   α₂₂ ^{<=> (α₂₂ - α₁₁) αm = α12 m2 = 0} (*)

   1. C = CIRCONFERENZA => α₁₁ = α₂₂ ≠ 0 =>⭐⭐ diomata OTO-> tutti diametri sono assi.
   2. C = CIRCONFERENZA => ⁽ⁱ⁾ M = indeterminato2° grado in 2 classi di associazioni [{ℓ', m'}] ≠ [{ℓ'', m''}]- Col p⁴ ℓ' Ia = {(ℓ', m'}: p)} Ģ^ao = ℓ', m'', o]}se dopo poiché ℓ' e ℓ'' sono i 2 assi. (π/q)

   ⇉ ℓ'ℓ'' ℓ'a

   p: poiche η

   A_o=/0->   diametro con nome loci di o π ı l luogo a partire da a

   1. ℓ'o = Aα2 = concide polo di ǒ
   2. C e punto ımproprio ≠ Ao, polo di o

   * 2 = E protrusione al suo polo A_ą

   Prop

   La parabola ha un solo asse e un solo vertice

   La tangente alla parabola nel vertice è ortogonale all'asse

   d(PaQ) = PaQ = c · r₂

   Assi sono diametri ortogonali al rispettivo

   • P_o = P_a
   • c contiene il polo 1

   d(Pa) = P_a

   P ⋂ c ﹥ P_{(p, y)}

   Asse =  Parabole  F ∩ V

      T = Tang.

   P ⋂ c ﹥ P_{(a, v)}

   V = Polo P, T, V ∈ a

   = > ﹥ contiene il polo di C

   2) Ha almeno un punto doppio se e solo se è riducibile

   In tal caso:

   2a) Ha un solo punto doppio sse si riduce in 2 rette distinte per P

   2b) Ha almeno 2 punti doppi sse si riduce in una retta contata 2 volte

   Dim:

   2) "=>" Ip: P doppio

   _R ^{R ∈ C R ≠ P}

   _P = p ∩ ℓ (P, R)

   |R ∩ C| ≥ 2 + 1                       ⇓                       p

   ⇒ p ⊆ C     ⇓     C riducibile

   "⇐" Ip: C riducibile ⇒ C = p₁ ∪ p₂

   2a)

   ^p₂ p₂

   2b) p₁ ≡ p₂

   P

   Proprietà dell'Ordine

   L'ordine di una curva _{algerica reale di} A₂(_R) è uguale al numero di come comuni alla curva e ad un qualsiasi ordine di un piano croce non sia ordinare e fatto incontro le un'intersezione con la solide molteplicità.

   C₂ = R_us

   1) Non possono passare più di _(m+1) p

   Dim. Per assurdo suppongo esista un punto P ∈ C con _(m+1), dopo.

   ⇒ Ogni retta passante per P incontra con _{(, l'ni,r)} molteplicità di intersecazioni _m+1 1) esegue una etapa componente di 0. Asq.

   2) Ci va un punto _P muore in C e _divisibile nel unico.

   Dim. P=_C con _m retto una necce passano per P

   ⇒ ∃ m. P= _q ≠ in _C

   R ∈ C

   R= r∈ (_n-a)

   [R ∞ C] [1] → a₁

   0

   m

   =>

   R

   ∞

   C

   ciò∞;

   la retta è cordale

   0

   1

   Sia C

   non sei C sono curve appartenenti aR (t), non

   di

   ∞

   si U

   [0,∞]

   =

   ∞ C, Rm, ∞

   isomorfi

   ; R

   ∞

   °

   (vedi)

   ∞ c

   (R∞R, D∞C) m

   delle due curve Dopo un numero finito di passi autω fini, m possoconcludere che C é unione di m rette non necessarie

   mente

   divisate.

   Teorema

   i punti multpli di una curva ascezica reale C:F(x, 1,x2 k x3) = 0 sono casi di autosoluzione del sistema delle derivate parziali

   • ∂F / ∂x = 0
   • ∂F / ∂x2 = 0
   • ∂F / ∂x3 = 0

   Teorema dell'Ordine

   1° Proprieta

   L'ordine di una superficie algebrica reale _S è uguale al numero di punti coniugati a _S una qualsiasi retta dello spazio non appartenente a _S a patto di contare le intersezioni con la dovuta molteplicità  ⇒ Se una retta r con la superficie un numero di intersezioni superiore all'ordine di _S allora appartiene alla superficie _L&J

   2° Proprieta

   L'intersezione tra una superficie alg. reale ₅ di ordine n e un piano 2 non contenente S₁¹ è una curva alg. reale di ordine n  ⇒ Se 2 interseca _S in una curva in ordine _dm  ⇒ _S è computabile _S se _S è riducibile _{S + a}/_aL

   DEFINIZIONI GENERALI DI GR. RIFERIMENTO

   PROP:

   Sia  [a,b]&sub3;∈E³(K)  un piano in  E³(K)

   r(r,r) : [(-L²)] → [(a,b)] è la classe da normale, ?iola+Riscontrabile nella direzione O R M O G R A F I L D D ?

   a[2]

   s² b[2]c

   PROP:

   Sia r:i: Δx +a[y]²c²d²=0  un piano in  E³(R)

   1. [(a,b,c)] che è la classe del r r o dell nela21d> noinmarinata

   PROP ASSE:

   • L'ASSE: D E Q uito La Sgitando Es585Dndo C&Oague;

   DIMM:

   1. sia Èe _&,2 Te&M &sol ? ndo c'è un sdro con β

      Per i re ortogonale ad a

      => β = P, F, V₂₊

      Ricavare il sottospazio

      1) Se _q = {v_n| i ≠ j } il sottospazio unidimensionale di A_n(k) è p.qr. ∈ S_q = R^p,v ∈ V_A(uk)_{Vw ∈ Vi(k)}

      2) Ogni punto da sottospazio lineare S_B può essere scelto come origine

      3) Siano S_A, S_n sottospazi lineari di A_m(uk)

      _{N <= S SA rx Sn ≠ uk ∈}

      S_A ∪ S_n { } { }

      4) Se S_A, S_B un sottospazio lineare di A_m(uk) se S_A ∩ S_N +≠ allora S_B ∩ S_L ∩ p^{v_{A ∩ vL}}

      5) Due sottospazi lineari paralleli e di uguale dimensione o hanno intersezione nulla o coincidono

      • p ∈ S_A ∩ S_U S_A = {p|v_A} = S_U = {p|v_B}

      Ipotesi: In A_m(k) / con n ≤ m due retta a non equivalenti si dicono

      Svolgimento

      N < 3 ^S in V_m(k) esistono almeno 3 vettori linearmente indipendenti.