Dimostrazioni teoremi geometria

Quadriche in A³ (I)

Def:

Se una quadrica è riducibile, si riduce nel prodotto di 2 piani.

Esiste distinta retta di censi, complesso e conguento

All'otre tutte le sue sezioni piani sono riducibili

Dim:

R riducibile => polinomio si fattorizza in 2 plim. Corpo 1

Corpo 2:

Q=0+Q C=Q-Q δ 8+2B

Q1+Q2 C - R - β - δ δ+2ˉβ

C Q=0,Q=B

(P,Q)=B

- (A,B)= (P,Q) ∪ (P,α,β)

C=si riduce nell'unione di 2 piani

Teorema:

Una parabola Q ha almeno 2 piani doppi se e solo se è riducibile

Dim:

SE δ,R,S DE effettu FIGPL D Q

[A S] Q a |Σ| = ⋂ (R·S)

[u ang] => p,q - sq,s2

a Q

Deduce riducio

=> 3 perz in 1 referente del olione ∏SQ

SIA Δ R Q IN K N

Q = [R.(R·Q)]

[] = {^S (S,t)}.

((P.&n)2)[1+1= 3D)

z=4 (n nᵀ) ∡1+3=3D ᵗQ

A [∅ q]

di piano continente 3 €ndie

()=> Q interseca O N una curva di ordine incluso 3 >= 2

()= 2 terzi del ordine QP∼ \Right AR (w_+)

∃^S ⊂ R e traslazione Q ↔ p

∃ d ⊂ p

∃ traslazione centra passante per p dove l'essere intersec.

con Q coincide in p, infatti sia un'interclasse R in V per

in H + p

=> H ⊂ Q ∃ H ⊂ p ⊂ centra per RC (pXH); scriviamo interserzione

contenuta in A, o inf p ⊃ Q ⊂ R => assunto di inf. p per gen.

=> p è doppio

=> &[...] ≠ #[...] Q in inf. quindi verso ∏₁ = α o β

se a = β, Q ha due punti doppi

Teorema

Q ha uno e un solo punto doppio (s) Q è curva d' ordine

Dim.

"<=" V = unico punto doppio di Q

dimostro che ogni retta contenuta in Q passa per V

per assurdo R ⊂ Q V e R

A+B = T₁

a ∈ A, b ∈ B

T₁ ∈ R(AU)

R ∈ R(BJU)

[na₂b₃] ≠ 3b₂ => β ∈ R

[na b₁] ≠ 3Ω₂ => β ∉ R

a̅, b̅ ⊂ Q o b̅

=> Q interseca Q in una curva di ordine 3 => R ⊂ R

=> Q è riducibile => Q ha almeno 2 punti doppi contro ipotesi

=> ogni retta di Q passa per V

R=V e R

Q - π ∈ A ∩ π

S=P ∪ RS

S Q

2 rette di Q che non passano per V = assurdo

POLINOMI ASSEGNATI AD UN CONO

PROPLA BASE DI Ψ RISPETTO A UNA BASE GENERICA C = UNA CTERA

C: X^Ay = 0 φ‾: I(C,x',y',z')

IL LUOGO DEI COINCIDENTI D' Ψ ^{CZ = LUMBINI DEI PUNTI}

[X,X',Y,X'] C Ψ^A (X) * c

X^AY = 0

(X₁) (X₃)

y² = (a,b)C (X₁,X₂) = (X₃)

(a,b|c) Y² = 0

λY₂λx + Δx₂Y = 0F È UN ERO↓

(a,b|c*p) * (0,0,0) = FidzaS ---> (x^a) --> (X^A) = 0

→ A*x = O ---> X' È λISOSCUfaZIONE DI AX=6

D     è      on fiume tramite ad assueo feizeme C E denominator

PROP:LA PARABOLA È PRIVA DI Asint

C:LeffRED DEFINIZIONE LO, ASINTSONO ITru

RIST UNDICESIMO DIC_Z LIA TANGENTE E PRO . C' I LETTOS

   →  LA PARUNSA NON HA ASPURNII

elaboração: Ellisse = Eperle                                                         cenelEipersicoliParabola   centro est

scanal     non        a                cerca 8

--> no provii

[RαC] = P(a) = Q(a) per α < k => Rₙ ⊂ C cioè la catena è cortocircuitata

oa

Se non ci sono punti appartenenta a C, allora non ad R significa che ( a⋅n ) = 0

All'eterno param con i = P,Z, m volte

[SαC] = P(a)^n = Q(a)^m = Q(a)^n = S per α < k

Ordine della curva

Dopo un numero finito di passi al fin m posso

concludere che C è uguale di m rette non necessariamente coincidenti

m rette CD m tuttele

Teorema

I punti multipli di una curva algebira reale C·F(x,1x^2+b) = 0 sono classi di autosoluzioni del s.stema

delle derivate parziali

∂F = 0

∂x

o a

∂x

∂F = 0

∂x

A=_M(T₂) con p= Q, B=(e₁,...,e_m)

x=(x₁,...,x_m) due tecniche muove il componi

(e₁,...,e_m) un vettore per mario eaks b ovvero

(x₁,...,x_n) tale che Vi∈ 1,...m

OM

OP=x₁e₁ + x_ne_n

OP=x_ie_i + x_ne_m

OP=OE=or

=> PQ = OP - or = (x₁-x_i)e_i + ... + (x_m-x_n)e_n

Posso

x=i

X

x=y

T=

T=

X=

X^t - X^-1

A=tan (β)

prop

N ∈ R ₂ dato uno zero R = (u∣V_i) e un punto in sopra

una E una sera ceno

N = [U_m (T₂)] e passare per il n

sonorazione Δ in R

dim

sim S= E|n V_i + i dato vascocere che ^{dim Ui} = 1

V+u ∈ V_m (R₂) s un V_M(T₂)

S - R (b) U^T

=D_m = dim u + dim U^#

dim V_i + dim VA => dim VA =

1