Appunti di Geometria

DEFINIZIONI e OSS.

SPAN

Lo span dei vettori \(v_1,...,v_k\) è l'insieme di tutte le possibili combinazioni lineari di \(v_1,...,v_k\)

= span \(\{v_1,...,v_k\}\) = \(\{x_1v_1 + \ldots + x_kv_k \ | \ x_1,...,x_k \in \mathbb{R}\}\)

SISTEMA DI GENERATORI

\(v_1,...,v_n\) si dicono SISTEMA DI GENERATORI di \(V\) se \(V = Span(v_1,...,v_n)\)

\(\forall\ v \in V\ \exists \ \lambda_1,...,\lambda_n \in \mathbb{R}\) t.c. \(v = \lambda_1v_1 + \ldots + \lambda_nv_n\)

BASE

\(v_1,...,v_n\) si dicono BASE di \(V\) se:

1. \(v_1,..,v_n\) sono linearmente indipendenti
2. \(V = span(\{v_1,...,v_n\})\) ⇔ \(v_1,...,v_n\) sono generatori di \(V\)

SOTTOINSIEME MASSIMALE

Se per vett. B ⊂ A ⊂ V si dice SOTTOINSIEME MASSIMALE di VETTORI LIN INDIP. DI \(V\) se:

1. B è un insieme di vettori linearmente indipendenti
2. ∀ C ⊂ A si ha C ⊂ B ⇒ C non è un insieme di vettori lin. indip.

SPAZIO VETTORIALE FINITAMENTE GENERATO

V spazio vett. si dice FINITAMENTE GENERATO se emette un insieme finito di generatori

DIMENSIONE

V sp. vett. finita. mente generato, β = base di V.

Si dice DIMENSIONE di \(V\) il numero di elementi di β ⇒ dim \(V\) = #β

FORMULA DI INCLUSIONE - ESCLUSIONE

#A + #B = #(A ∪ B) + #(A ∩ B)

SOTTOSPAZIO INTERSEZIONE e SOTTOSPAZIO SOMMA

V spazio vett. U,W sp vet di V

• U ∩ W si dice SSP. INTERSEZIONE
• U + W = {u + w | u ∈ U, w ∈ W} si dice SSP. SOMMA

Somma diretta e supplementari

V sp vett U,W sott vett di V

1. U e W si dicono in somma diretta: [U⊕W] se U∩W={0}, ⇔ x∈U ∩ y∈W ➞ x+y
2. U e W si dicono supplementari se I) forma un somma diretta II) V=U+W

Cioè: ogni vettore x di V posso ottenerlo in modo unico come un vettore di U più un vettore di W.

Applicazione lineare

V,W sp vett Una applicazione T:V→W si definisce LINEARE se:

1. T è additiva T(v₁,v₂) = T(v₁) + T(v₂) ∀v₁,v₂ ∈ V
2. T è omogenea T(λv) = λT(v) ∀λ ∈ K ∀v ∈ V

Applicazione identità

L'applicazione identità è per definizione l'applicazione idᵥ:V→V data da idᵥ(x) = x ∀x ∈ V ⇒ è lineare

Applicazione nulla

L'applicazione nulla 0:V→W è definita da 0(v)=0 ⇒ è lineare

Applicazione lineare associata a una matrice

Sia A ∈ Mₘₙ(ℝ), l'applicazione lineare associata alla matrice A: Lₐ:ℝⁿ→ℝᵐ è l'applicazione definita da Lₐ(x) = A(x) = A ₓ [x₁, x₂... xₙ]’

| a11 ... a1n | | x1 || ... ... ... | | x2 || am1 ... amn | | x3 |

Coordinate di un vettore rispetto a una base

Fiss.V sp vett, e B = {v₁,...,vₙ}, base di V ∀x ∈ V ∃!x1...xn ∈ K t.c x=x₁v₁+...+xₙvₙ

x ↦ Fᵦ(x) = [x₁ | x₂ | xₙ] coordinate di v rispetto a B

Applicazione delle coordinate di un vettore rispetto a una base

L'applicazione delle coordinate di un vettore rispetto a una base Fᵦ:V→lᵏⁿ è l'applicazione definita da Fᵦ(x) = | x₁ | ∀x ∈ V dove x₁, x₂,...,xₙ sono le coordinate unicamente determinate del vettore rispetto alla base B

Nucleo e immagine di un'applicazione lineare

Ad ogni applicazione lineare T:V→W si possono applicare 2 sottoinsiemi:

1. Il Nucleo di T ker T : V : Ker T = {x ∈ V | T(x) = 0 } = T⁻⁽⁰⁾ ⊆ V
2. L'immagine di T Im T = {T(v)| v ∈ V} ⊆ W

Matrici Simili

A, A'^t ∈ M_n,n(ℝ) sono simili se ∃X ∈ GL_n(ℝ) t.c A' = X^-1AX

• Due matrici n definirasimo simili se rappresentano lo stesso endomorfismo lineare rispetto a 2 basi diversi
• Essere simili è una relazione di equivalenza
• Se A e A' sono simili → rg A = rg A'

Determinante

1. Il determinante è un numero che definisce alcune proprietà algebriche e geometriche di una matrice, ad esempio la invertibilità di una matrice.
2. Il determinante è l’unica applicazione det: M_n,n(ℝ) → ℝ lineare in ciascuna riga della matrice rispetto tutte le altre

Endomorfismo Diagonalizzabile

T: V → V end l'n., si definisce diagonalizzabile sse:

• ∃ B base di V t.c la matrice associata a T rispetto a B è diagonale

Autovalori e Autovettori

siano T: V → V l.eud l’n.:

• λ ∈ K (ℝ) è definito autovalore di T se ∃v∈V \{0} t.c T(v) = λv o, in tal caso, v si definisce autovettore di T relativo all’autovalore λ

Autospazio

Si definisce autospazio di T, l’insieme di tutti gli autovettori di T relativi ad un vettore λ₀, che si indica come:

V_λ₀ = {v ∈ V | T(v) = λ₀v} = Ker (T - λ₀Id_V)

e V_λ₀ è s.prot di V

Spettro

Si definisce Spettro di T, l’insieme di tutti gli autovalori di T e si indica:

spec (T)

Endomorfismo Diagonalizzabile

T: V → V endomorfismo lineare si definisce diagonalizzabile sse t. ammette una base di autovettori.

• ⇔ B è una base di autovettori di T ⇔ T sia matrice associata a T rispetto a B è diagonale

Avere Tutti Gli Autovalori nel Campo

T: V → V end. lin. si dice avere tutti gli autovalori nel campo (IK) ⇔ pr.(1) ⇐⇒ radice un IK contate con la loro molteplicità

PROPOSIZIONE

V sottosp vett ⇔ ϕ f w ∈ V e ∀ spett di V ⇔ ∀ λ1, λ2 t ∈ ℝ ∀ w1, w2 ∈ W∀ t1, λ t ∈ ℝ∀ wi, w in ∈ W

PROPOSIZIONE

span(w1, …, wn ) sottosp vett contiene v1, ..., vk

PROPOSIZIONE

• v1, …, vn lin dip ⇔ una di essi si può scrivere come comb. degli altri

PROPOSIZIONE

B = v1, …, vn base di V ⇒ ∀ v ∈ V ∃ ! x1,…,xn ∈ ℝ t.c.: V = x1v1 +…+ xnvn

PROPOSIZIONE

Se B = base di V ⇒ B ⊂ sottinsieme massimale di vett. lin indp. di V

PROPOSIZIONE

Sottosp vett B ⊂ V

⇔ A è un sistema di generatori di V e A ⊂ span (β) ⇒ β è un sistema   di generatori di V

TEOREMA

V spett vett ; A sistema di generatori di V

Se B ⊂ A è un sottinsieme massimo di vett. lin multipli. V ⇒ B è una base di V

TEOREMA DEL COMPETTAMENTO

(x INDUZIONE)

V spett vett B = v1, …, vn base di V; w1, …, wp ∈ V lin indp (p ≤ n)

⇒ ∃ n-p vettori di B che aggiunti a w1, …, wp formano una base di V

COROLLARIO

(x ASSURDO)

Sp vett ; β = v1, …, vn C = w1, …, wp base di V ⇒ n = p

COROLLARIO

Sp vett dim V = n w1, …, wp ∈ V lin indp; p ⇒ w1, …, wn sono una base di V

COROLLARIO

Sp vett dim V = n v1, …, vm ∈ V m > n ⇒ v1, …, vm sono lin dip.

Proposizione

T: V → V end lin; T è diagonai+αquo ↔ T ammette una base di autovettori

Teorema

T: V → V end lin.; B:b.o.i. di V: n = V; A = matrice associata a T rispetto a B

1. det (A - λIn) = pT(λ) non dipende da B
2. pT(λ) è un polinomio: di grado n in λ con:
   • coefficient. direttore = (-1)ⁿ
   • coefficient. di λ^n-1 dato da (-1)^n-1 trA
   • termine noto = det A
3. Gli autovalori di T sono tutte e sole le soluzioni di pT(λ) + λ ∈ Spec(T) ↔ pT(λ) = 0

Proposizione

A, A¹ sim ↔ det A = det A¹ ʌ trA = trA¹

Proposizione

T: V → V end lin. λ₁, …, λ_k &in Spec(T) tutte distinte; V₁, …,V_k ≠ 0 autovettori relativi a λ₁,…,λ_k

• V₁, …,V_k sono lin. indip