lezioni, analisi1

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Author: francesco1bertino

Revisionato il 15/04/2026

di francesco1bertino

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-continuità di una funzione
-derivata: derivabilità, regole di derivazione, calcolo dei punti di ottimo, teorema di Weierstrass, Fermat, Rolle, Lagrange, Cauchy, funzioni concave e convesse, polinomio di Taylor e teorema del resto secondo Peano e secondo Lagrange;
-integrali: definizione secondo Reimann, proprietà, teorema fondamentale del calcolo integrale, teorema del valor medio;
Numeri complessi:
-definizione, operazioni, forme di notazione, equazioni in campo complesso, teorema fondamentale dell'algebra"> Appunti di Algebra lineare per l'esame del professor Vegni: -retta e piano in R3, sistemi lineari, spazi vettoriali;-algebra delle matrici: operazioni tra matrici, calcolo del …

Esame Analisi matematica I

Facoltà Ingegneria dei processi industriali

Dal corso del Prof. Vegni Federico Mario Giovanni

Università Politecnico di Milano

A.A. 2014-2015

85 pagine

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Studio della retta in R³

In R³ la retta può essere individuata con:

passaggio per 2 punti
passaggio per A, punto + 1 vettore
intersezione tra 2 piani

equazione della generica retta

come faccio a capire se 2 rette coincidono?

Metodo 1

Guardo se U e V sono paralleli: se U//V ∃ k∈R: U = kV
Guardo se uno dei due punti di applicazione appartenenti all'altra retta

Metodo 2

Se P₀ + Q₀ => allora le rette R e S coincidono

Metodo 3

Se le due rette coincidono, allora per gli stessi valori al parametro t individuano gli stessi punti

Esempio:

r(x) = {3} + t {2}
- Metodo 1
- 2·k = -4
- 5·k = -10
s(x) = {7} + t' {-4, -10}
- k = -2 => r // S

Ho verificato che Pc ∈ S

7 = 3 + 2t

6 = -4 + 5t

Metodo 3:

∀t, t'

R ≡ S

Studio della retta in R³

In R³ la retta può essere individuata con:

passaggio per 2 punti
passaggio per 1 punto + 1 vettore
intersezione tra 2 piani

Equazione della generica retta

r: y = x₀ + mx

r: (x' y') = (x₀/y₀) + t(m_x/m_y)

Parametrica:

r: P = P₀ + t

V = vettore che indica la direzione della retta

Ho infiniti modi per esprimere una retta in R³, perché basta cambiare i punti di applicazione (sempre appartenenti a r) e le vettore (sempre // a k).

Come faccio a capire se 2 rette coincidono?

Metodo 1

Guardo se u e v sono paralleli: se u//v ∃ k ∈ R: v = k u
Guardo se uno dei due punti di applicazione appartiene all'altra retta

Metodo 2

Se P₀ + Q₀ ⇒ se P₀ ∈ s allora le rette s e r coincidono

Metodo 3

Se le due rette coincidono, allora per gli stessi valori del parametro t individuano gli stessi punti

Esempio: r(x') =

r(x) = (3/-4) + t(2/5)

(Metodo 1)

2 ∙ k = -4
5 ∙ k = -10

3 = 7 - 4t-1u = 6 - 10t

[R = S]

(Metodo 2)

Ho verificato se P₀ ∈ SQ₀ ∈ R?

7 = 3 + 2t6 = -4 + 5tt = 1

[R = S]

(Metodo 3)

(3/-4) + t(2/5) = (7/6) + t'(-4/-10)

3 + 2t = 7 - 4t'-u + 5t = 6 - 10t'2t + 4t' = u5t + 10t' = -10

∀ t, t'

[R = S]

esercizio

Sapere l'equazione della retta s passante per a & parallel a(x, y, z) = (1, -1, 2) + t (3, -2, 4)→ (x, y, z) - (1, -1, 2) = t (3, -2, 4)

POSIZIONI DELLE RETTE IN R³
P // S o P = S
- ⇄ P E R S
INCINDENTI
- ⤤ P O R E S
- Se 3k: kv = mu
  - RETTI PARALLELE
- Se /k: kv = u
  - RETTI SCINDE
SCHEMIE
- ↑ P E R S
- k: kv = u

DETERMINAZIONE DEI PUNTI DI INTESEZIONE TRA DUES RETI

r (x, y, z) = (-2, 3, 5) + t (3, 5) -1)s (x, y, z) = (4, -2, 2) + t (-2, 1, 2)

Non ha soluzion
Unica
- Retti incidenti
Infinito
- Rette concidono

DEFINIZIONE DI PIANO

Per definire un piano in R3 servono almeno:

3 punti non complanari e non allineati
1 punto e 2 vettori non paralleli
1 punto e 1 vettore perpendicolare al piano (normale)

Forma parametrica

Forma cartesiana: ax + by + cz + d = 0

Passaggio per P₀ (se manca, posso usare P₀ = (0,0,0))

Appartenenza di un punto al piano

Δ∈π? A

Verifico che non siano paralleli

Determinante = (3 -1 2 / 2 -2 3 / 5 3 -1)

Passaggio da forma parametrica a cartesiana

Per passare dalla forma parametrica a quella cartesiana, risolvo il sistema cercando di eliminare i parametri.

Ho solo 1 vincolo di leg. l(a',b',c') 2 gradi di libertà (posso muovere s₂ e s₃)

t = x + 4 y + 1z = -7x - 2x + 8 -3 b5z = 15 - 5x - 2y + 1 x + 25x + 2y + 5z - 17 = 0

Appartenenza di una retta al piano

Se la retta appartiene al piano, il prodotto scalare tra il vettore di r e il vettore normale al piano deve essere nullo.

Determinante di m=( 1 -1) NX (a -1) = 0 a+0-4 = 0 a=4

x + 2t - z = 0

x = at + b

y = b - t

at + b₀t + z = 0

t(a - 1) = 1 => 0. t = 1 impossibile la retta non appartiene al piano.

a = 1

Distanza punto-piano

P (_x₀ _y₀ _z₀) ∈ π : ax + by + cz + d = 0

d(P/π) =

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