Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
Scarica il documento per vederlo tutto.
vuoi
o PayPal
tutte le volte che vuoi
Studio della Retta in R3
In R3 la retta può essere individuata con:
- Passaggio per 2 punti
- Passaggio per 1 punto + 1 vettore
- Intersezione tra 2 piani
Equazione della generica retta
par. vet.
- (x y z) = (x0 y0 z0) + t (vx vy vz)
- P = P0 + t V
- V = vettore che indica la direzione della retta
- Ho infiniti modi per esprimere una retta in R3 perché basta cambiare il punto di applicazione (sempre appartenente a r) e il vettore (sempre // a v).
- Come faccio a capire se 2 rette coincidono?
- Metodo 1:
- 1) Quando U e V sono paralleli. Se U//V ⇒ ∃k R: U = kV
- 2) Guarda se uno dei due punti di applicazione appartiene all'altra retta
- Metodo 2:
- Se P0 + Q0 ⇒ se fP0 ∃ allora le rette S e r coincidono fQ0≥r
- Metodo 3:
- Se le due rette coincidono, allora per ogni diversi valori del parametro t individuano gli stessi punti
Esempio:
- r(x) = (3 -4) + t (2 5)
- s(x) = (7 6) + t' (-4 -10)
(Metodo 1)
- 2·k = -4
- 5·k = -10
k = -2 ⇒ r // s
- Metodo 2:
- Ho verificato ∃ che P0 ∃ S
- Q0 ∃ R?
7 = 3 + 2t
6 = -4 + 5t
t = 2
R ≡ S
- Metodo 3:
- (3 -4) + t(2 5) = (7 6) + t'(-4 -10)
3 + 2t = 7 = -4t'
-4 + 5t = 6 = -10t'
∃ t, t'
R ≡ S
Es. Con scrivere l’equazione della retta s passante per A parallela a
R
x
y
z
1
- 1
4
3
1
6
t
- 3
- 2
- 4
x
y
z
- 1
1
2
- 3
- 2
- 4
- Posizioni delle rette in R3
- R // S o R = S
k
k \neq V
- Incidenti
k V
k V
- Schemi
k = V
Determinazione dei punti di intersezione tra due rette
- 2
3
5
3
5
1
4
- 2
2
- 1
2
2
- 2 + 3t
4 - t
3 + 5t
- 2 + 2t
5 - t
2 + t
Non ha soluzione
Ha soluzione
Unica
Rette incidenti
Infinite
Rette coincidenti
Se 3k: k V = [retts // parallele]
Se 3k: k V = [retts schemi]
Esercizio:
X₁ - 3X₂ - 5X₃ = 1 X₁ + X₂ - 4X₃ = 5 2X₁ - 10X₂ - 11X₃ = 0
1 -3 -5 | 1 0 4 -4 | 4 0 0 -2 | 2
RIGA IMPOSSIBILE: 0X₁ + 0X₂ + 0X₃ = 2
Interpretazione geometrica
- 3 piani che non si intersecano e quindi paralleli
Esercizio:
X₁ + 2X₂ + 3X₃ = 1 3X₁ + 3X₂ + 7X₃ = 3 3X₁ + 3X₂ + 7X₃ = 1
1 2 3 | 1 3 3 7 | 3 3 3 7 | 1
Pivoti di X₁
1 2 3 | 1 0 -3 2 | 0 0 0 1 | 1
- Pivoti di X₂
- Pivoti di X₃
X₁ = 2 (2/3) + 3(X₂) = 1 → X₂ = 2/3 -3X₂ - 2(1) = 0 → X₂ = 2/3 X₃ = 1
- Quando appaiono i pivoti di tutte le variabili il sistema ha 1 sola soluzione: i 3 piani hanno 1 punto in comune
Esercizio:
X₁ - 3X₂ - 5X₃ = 0 X₁ - 2X₂ - 4X₃ = 3 2X₁ - 7X₂ - 11X₃ = 3
1 -3 -5 | 0 1 -2 -4 | 3 2 -7 -11 | 3
- Vincolo sovrabbondante: può essere costruito come combinazione lineare degli altri due
0 0 0 | 3
- RIGA INDETERMINATA: in quanto due piani precedenti non sono paralleli
É qua la retta soluzione scritta in forma implicita
Se voglio esplicitarla prendo la variabile senza pivot sulla colonna dei termini noti e la sostituisco con t parametro
X₁ - 3X₂ = 5t X₂ = 3 - k X₃ = t
X₁ = 9 - 2t X₂ = 3 - 6 X₃ = t
- retta passante per P( 03 ) con coefficiente t( -2 ⁄ 4 )
V = {(x, y, z) ∈ ℝ3 t.c. x - 2y + z = 0}
1) Trovare la dimensione e una base
Controllo se V è un sottospazio vettoriale: piano passante per O→OK!
Osservazione: la base canonica di ℝ3 è e1 (1, 0, 0) e2 (0, 1, 0) e3 (0, 0, 1)
una qualunque combinazione a1e1 + b2e2 + e3 genera l’ipotenusa
x - 2y + zdove trova 2 vettori linearmente indipendenti, quando è considerato come parametri e li annullate uno alla volta. (per qualunque e il)
y z = 0: x - 2y0 = zSe y = 0: x = y x
Selezionare 2 vettori seguendo lunga questa direzione altri{v1 e v2} genera V?
Il generico vettore generatoV ∈ V = [2b - c1]c è t[c1],2quindi sono generatori:[b1]c[2b0] cQuindi sono una BASE di Vche ha dimensione 2.
Esame: V = {(x, y, z) ∈ ℝ3 t.c. x - 2y + 3z = 0, x + 2y + z = 0}1) base e dimensione
è una retta passante perorigine, quindi mi basta trovare un vettore di essa per ottenere la base:
x - 2y + 3z ex + 2y + z = 0 o x + 2y + 3z = 0 x
2x + 3y + 3z = 0 xyz(+ 5z - 2 = 0 o) 3y
FetoBase [xy][t
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
