Appunti delle lezioni di Geometria - parte 2/3

RM

LA R" Ax

->

: , RY R

LA

Quindi LB -

o : (AB(X

A(BX)

(A(Bx)

(A((B(x)) (AB(x)

410(B(x) =

=

= = =

Proposizione

T W

V

: >

W U

S ->

: [S05]Br [s]Bw IT

la

Allora U

ecutrice SoT Bre Bre

V rispetto a

-

: .

=

Dimostrazione 27/10/22

AUDIO [s(T(u))

[S0TIBY [(S0T)(r)33r

[n]Br

neV=D = = Bw

Es [T]B) [s]Ew ([T] Ew

Ever [s(TCV)]

[s] [TIVSBN

Ivser

· .

: =

. : . Br

. .

Endomorfismo (o operatore)

endomorfismo

T V sidice

V

: +

Corollario

Vtv)

T : Th ToT ot

definiamo ...

= -

By voete

n

B B An

[

[T)

Se A T

D

= =

=

Esempio

T IR

M

: -

T(x) 2 x

= 2(2x)

T(T(x)) 4 x

= = ,

(T)2x))) T(4x)

x( 8x

↑( (T(x))) +

+ = =

=

Corollario -2=

([T]B) [T-27

Bw

[T]

scelta scarice

F to invertibile

Bre

isomorfismo Bu

oli

W

T V e

=D

: e

- ,

[T]BY

W

V

T : = Bw

Bu B

[T-1]

N V

1

T - ->

: BU

BW 57

Dimostrazione /

2]Bw

1 I

[T07

To 10w

T - -

D

= =

= [T-2]Bir

*

IT--Bw

[TOT-'1= [T]

[T]B invertibile

I= inversa

to

sappiano = e

che . se e

e

:

Osservazione basi

B' V

V di

vettoriale

spazio e

;

= ?

basi

alle due

rispet

Qual the

lo dello

le

relazione coordinate venore

stesso

è [u]B'

[4] Be

Live the

consideriaro : [id] [U]B

101 [u) [1d(u)]

V

V D .

: B1 B1

= = = =

Matrice di cambio di base

[10]' matrice che da

cambie

la B'

coordinate

le

è a

Un7

{

Se B Un D

=

= , ..., Ta=(una)

I

Osservazione emisomorfismo)

[10]B

Se M (perche Id [10]

detM 2

O M -

D

= e

= =

= [id]

Fissare B

A A

Bre base

I

invertibile sempre :

me =

,

1

B B A -

.

=

Basi equiverse [10]B'>

baci

Due equiverse

olicono det O

se

ni ↑

Ve

e , , 7 mainice da

che di ed

Panore

mi

una Ver

a

e es Ve

permette ,

-V

7

,

W e 1

equiverse

We non

Esempio

((1) ((0)

(i)3 (2)}

B

B = = .

. [19)]B)

([(i)(B

[10]B'= [10]

? :

= 2

(i) x(=

3(-) E

x(j) =

0

+

= ( 2)

2 =

[10]B

=> = =

2

(8

19) (22)

0(0) =

=

0 x

+ =

= v=(-2) !

bare B

Quali alle

coord Bold rispetto

le venore

Tispetto

sono a

. (= )(2) 5)

3

[10] (-

(2) [u]B

B .

= =

= =

Verifica : (2)

(3) (3) r

z(i) 5(0)

3(i) =

v - -

= -

=

Qual ?

T bas

la relazione manici rispetto diverse

tre associate

e a a

T V

B' basi

V Be

-> W oli

: W

Ce C basi or

Allure : [10]"

: B

, " [10]

[T] [T]

.

= s 58

Dimostrazione entrambe [n]B'

Verificare l'azione le

confrontando manici

esercizio di

per en

9.

+3 0

[10] ↳

[ [T] [1a)

= .

0 0

< (u)]

[

I ]

T +

[23B = a

(10] [wse)

, s

[1]?? [T] cus]

[ T

= c

-

[T(u)) er 59

ENDOMORFISMI

Matrici simili

A (n

BeM IR) M-1

invertibile

simili B M

A

R)

MeM(n

I

dicono matrice

si se = .

: .

, ,

,

Osservazione

Simili di

relazione equivalenza

=

Proposizione

simili havo lo

Manici determinate

stesso

Dimostrazione

(n

M

B

A det

Se 1R) detB

simili A

sono

- = =

,

,

M-AM detB (M-AM)

B det

Se D

=

= =

Binet

th oliventa

cio' detM-1 det A-detM

per oletM-1 detM detA

det det B

det A

A =D

-

. . =

.

= =

Proposizione [T]B

:

[T]Be

BreBr=D

T +V simili

: sono

Dimostrazione [1d]B' [T]B [1d]B

[T]B'

supponiam che ·

.

=

[1d] [id]

1

M 4 -

D

= , =

= [T]B

[T] M-1

concludiamo M

one .

.

= .

simili cuolomorfismo base

Viceversa marnici ad

due diversa

rispetto

presentano stesso una

:

Proposizione

[T]B base

A A

simile la T rispett B

manice

e anociata ad

a use

D a

=

Dimostrazione bare

[T]B cambia

cambio B

la da B'a

A mainice he

M = coordinate

M che

M o

> e

·

= =

Esempio T(y) ( - 4)

=I

R2

T 2

R

: = = ?

E in

ad RR2=

T rispetto

anociata

mat a 1-1)}

4) i)

bare

alla B

U

n

R U ,

=

! i)

(

( [i(en]a)

[T], 7

[Te -

s =

,

= sui

Calcolo B

T di

venoi :

(8) 0(i) 0( 1)

+(i) +

= = -

(22) c(

T( i)

0(i)

) +

=

= -

- (82)

[T]B =

Sappiano due

le simili

che Sono

mat [id]

. . Infaci le colonne

calcolare B

facile

base

cambio da

La i di

di sono venoni

mat sue

pini é .

[id] [10]

=.

B

[1] IT]

-

= [Id]B =( : 1)

calcolare

facile da

piri

~

11 :

i)"

(i 2)

( -

i(= ii) ,

= =

-

-

Verificane : 2)

+33 (ii)

i ) =.

=

[ [7]

.

-

= 60

Matrice diagonalizzabile

(n 1)

AEM simite diagonale

ad

diag marice

un

è e

se

, .

Endomorfismo diagonalizzabile base diagonalizzabile

Trispetto

anociata

lo div e

T mainice

V ediag

V una

a

a = Se

se

: - .

[T]}

Br

I diagonate

è

:

un

Dall'erampro precedente auewano : [i]

(2) (i)3

[T3 (5)

S( (82) =3)

Seen} ( -

! )

=

E= +

= =

,

= z(-1)

(8) (22)

0(i i)

+(

T(i) =

= - =

=

Definizioni

V

V

T ->

: T(u) b

deR

UFOu

7

Se D

u

e .

= =

:

olice AUTOVALORE di T

su

· ;

dice AUTOVETTORE T

di

si

· u ; u)

SveV

Ex all'autovalore

b AUTOSPAZIO

l'insieme T() relativo

si dice

:

· -

= = .

Esempio

R3

13

T : =

+

(E)

(8) (8) ?

auoveñoni

sono

e (8)

+(8) (8) 5

autovalore

di

autoveñore

è

= = (2)

[T33 =

+(8) (6)

(2) e' autovetore

non n

= =

Esempio

(5)

A =

(8) (8) ?

autovalori

sono

e (5)

A(8) (8) 5

autovalore

di

antovanore

è

= =

) (6)

(

A(8) ! e' autovetore

non u

=

=

Osservazione Geometricamente

dall'endomorfismo

Gli PRESERVATE

di

autovetoni DIREZIONI

T sono :

.

d

1R2 PRESERNAT

R R2

A

N T -

Oro

->

~r

0

- 7

- >

=

I I

I in

mandate siene

se 61

Proposizione {weV}

Ey +(r) de

E

V soospaziodiV

=V

di T

autovalore D

é e

: =

↓ , =

= =

Dimostrazione

TOr) Or

Or cEx d Or

· =

: .

= )

T(u /ve

Eg dU

T(uz) U2)

+dz

T(u Ex

+2z) Ve

ov Vet

Uzt D

D + + =

=

= ,

1

= ,

, =

cololitività

uT(n) b(ur)

T(ma) u(du)

0veE MeR Ex

=D Dave

=

=

=

=

, omogeneita

Teorema

T V -V olimV=

: n

Toliag Bu T

5 autovetoni di

de

=D composia

Dimostrazione

{ Un}

B

5

Tolag Ve Uc

D :

= = ...,

, ,

j

I

80 ...

... 1) (a)

(8)

.

00 Inswelle

Ike

Emo

33

[ :

as

ver -

+ :

.....

..

= ,

T(n Tun)=

T(nz)

)

* da a durn autovettori T

D

de o

Un

U Us sono

=

, = ,

, ....,

...,

,

Proposizione T ED]

DJ polinomio

[T]B del

ena reate

radice

di

e autovalore

A

V-V

T Br

: = =

,

, (A-61)

det

sviluppando

variabile

nella aviene

che au

Dimostrazione Av

I T(r)

JuFOu

&D

autovalore =

:

Passando coordinate

alle : (A-51)X OR

AX-IX 0Rn

Jx

Jaurovalore =D

[V] AX= =

X D

OR diT =

Se =D =

= S de

A

(A-51)

X possibile

Dato e

U polino

FOR D

Per

che Cramen 0

Th det radice

e =D

= =

=

. -

(A-51)

det

mio

Esempio 3x24)

T(Y

R 1 2

T : - ?

autovaloi=

E base R2

canonica di

(38)

33

[T

A =

= -188)

(58)

det(A-b17 det

= * 2

det( 1 3)

x)(

x 6

-

-

-

I =

1 RADICI

2 LE

TROW

- 6

N

25

1 * 3e-2

quindi autovalori di T

Xe sono

=

2 2

,

Proposizione !

! (1' >1)

A[T] d1)

[T]B det

de+(A

BreB'r A

T V V

: e -

- -

= =

=

;

,

Dimostrazione AM->1)

(M IM)

(M-'AM -M-'x

(1'-31) det

det

A A M-'AM

A Simili -

det

e =D

=D = =

= =

BI

(A-J1(M)

14 - (A-b1/

(M-') (M)

det Det det det

↓ = 62

(det(M) (M) (A

-b) >1)

- det

(A det

det -

=

I

Polinomio caratteristico

[T]B (d)

Pr (A-11)

le polinomio caratteristico

T polinomio

chicame

-U

V det

A Br ~

con

: e =

= .

Osservazione

1R))

dim (d)

-P

n

= :

+

=

[T]B

A (n

= , polinomio di

= grado

è un n

· ;

olid"enquale

coeff (-1)"

ha a

· ;

termine det A

ha noto

· = detA)

1)

il

(infatti det(A-0