Lezioni sui sottospazi - Algebra lineare e geometria

K

T W u u f

Sia un sottospazio di e siano e

) ) (T ).

↵, ,

1 2

f

Poiché è lineare, allora

f u f

(↵u + ) = (u ) + (u )

↵f

1 2 1 2

f T T W

con , essendo un sottospazio di .

)

(u ) + (u )

↵f 1 2

Pertanto, 21

u f

)

+ (T )

↵u

1 2

Applicazioni lineari

Definizione 3.49 (Nucleo) K-spazi

f V W

Sia un’applicazione lineare tra gli vettoriali

2

: nucleo

V W f V

. Il di è il sottoinsieme di definito da:

, ✓

✓

V f 0

{x ) }

ker (f ) = (x) =

✓ W

Segue dal Lemma 50 che 0 Inoltre, dalla Proposizione

) ker (f ).

V

f V

52(2) segue che è un sottospazio di poiché

ker ◆ X

21

f 0

ker (f ) = .

W

Applicazioni lineari

Proposizione 3.50

f V W x x V

Sia un’applicazione lineare e siano , allora

)

: ,

1 2

f f x x f

1. .

⇥ 2 )

(x ) = (x ) ker

1 2 1 2

f f

2. è iniettiva 0 .

⇥ ker =

Dimostrazione

Proviamo (1):

f f 0 f f f x x x f

⇥ 2 2 ⇥ 2 )

(x ) = (x ) = (x ) (x ) = (x ) ker .

1 2 1 2 1 2 1 2

L’asserto (2) è immediata conseguenza dell’asserto (1).

Applicazioni lineari

Definizione 3.51 (Immagine) K-spazi

f V W

Sia un’applicazione lineare tra i vettoriali

2

: Immagine

V W f

allora l’ di è il sottoinsieme

, Im(f W V f y

{y ) | ⇢x ) }

) = : (x) =

Siccome Im(f f

) = (V ), Im(f

segue dalla Proposizione 52(1) segue che è un sottospazio

)

W f Im(f W

vettoriale di . Si noti che è suriettiva se, e solo se, .

) =

Applicazioni lineari

Definizione 3.52 (Rango di un’applicazione lineare)

rango di un’applicazione lineare f

Si dice da uno spazio

V W

vettoriale di dimensione finita in uno spazio vettoriale , e si

rg Im(f

indica con la dimensione di

(f ), ).

Lemma 3.53 K-spazi

f V W

Sia un’applicazione lineare tra i vettoriali

2

:

V W , allora

, U u f f

L(u L(f

= ) =⇥ (U) = (u ), (u )).

, . . . , . . . ,

1 1

h h

La dimostrazione è lasciata per esercizio.

Applicazioni lineari

Teorema 3.54 (Teorema del Rango) K-spazi

f V W

Siano un’applicazione lineare tra i vettoriali

2

:

V W V

e . Se è finitamente generato, allora

f Im(f V

dim ker + dim ) = dim .

Dimostrazione

n V p f q Im(f

Siano , e Dobbiamo

= dim = dim ker = dim ).

provare che p q n.

+ =

p n, f V f Im(f

Se allora e quindi 0. Pertanto, 0 e

= ker = = ) =

q Im(f

quindi 0.

= dim ) =

Applicazioni lineari

Dimostrazione

p n, u f v

Se sia una base di . Allora sono

{u } {v }

ker

< , ..., , ...,

p p

1 1

V

vettori linearmente indipendenti di e per il Teorema della Base

n p v v V

Incompleta esistono vettori di tali che

2 , ...,

p+1 n

u v v V

sia una base di .Quindi,

{u }

, ..., , , ...,

p p+1 n

1 f f f

{f (u ), (u ), (v ), (v )}

.., ..,

p p+1 n

1 Im(f

è un sistema di generatori di per il Lemma 57. Siccome

)

f f 0 , allora

· · ·

(u ) = = (u ) =

p

1 W f

{f (v ), (v )}

...,

p+1 n

Im(f

è un sistema di generatori di ).

Proviamo che quest’ultimo è anche linearmente indipendente.

Applicazioni lineari

Dimostrazione K

Siano tali che

)

, . . . ,

p+1 n

f f f v v

0 · · · ···

= (v ) + + (v ) = ( + + )

p+1 p+1 n n p+1 p+1 n n

v v kerf u

Pertanto, . Siccome è

· · · ) {u }

+ + , . . . ,

p+1 p+1 n n p

1

K

f

una base di , allora esistono tali che

)

ker ↵ , . . . , ↵ p

1

v v u u

· · · · · ·

+ + = + +

↵ ↵ .

p+1 p+1 n n p p

1 1

Pertanto, u u v v 0

· · · 2 2 ··· 2

+ + =

↵ ↵ p p p+1 p+1 n n

1 1

e quindi 0 e 0. Pertanto,

· · · · · ·

= = = = = =

↵ ↵ p p+1 n

1 f Im(f

è un sistema di generatori di ed è

{f (v ), (v )} )

. . . ,

p+1 n Im(f

linearmente indipendente, cioè una base di Quindi

).

q Im(f n p, che è l’asserto.

2

= dim ) =

Isomorfismi

Dfinizione 3.55 (Isomorfismo) K-spazi

f V W

Un’applicazione lineare e biunivoca tra due

:

isomorfismo. V W f

vettoriali si dice Se, inoltre, allora si dice

=

automorfismo.

f V W

Se è un’applicazione biettiva tra spazi vettoriali distinti e ,

21

f W V W V

l’applicazione inversa è l’applicazione di in

2

:

tale che 21 21

f f Id f f Id

6 6

= =

V W

Id Id

dove e indicano l’applicazione identica nei relativi spazi.

V W

Isomorfismi

Proposzione 3.56 21

f V W f

Se è un isomorfismo da su , allora è un isomorfismo da

W V

su .

Dimostrazione

21 21

f f

Siccome è chiaramente biunivoca, è sufficiente provare che

2 2

K y y W

è lineare. Quindi, siano e . Allora, esistono e

) )

~, µ ,

1 2

2 2 2 2 2 2

x x V y f x y f x

sono unici tali che e

) = ( ) = ( ).

,

1 2 1 1 2 2

f

Siccome è lineare si ha

2 2 2 2 2 2

1 1 1

f y y f x x f f x x

(~ + ) = (~f ( ) + ( )) = (~ + )

µ µf µ

1 2 1 2 1 2

0 B 0 B

2 2 2 2

1 1

x x y y .

= + = +

~ µ ~f µf

1 2 1 2

V

L’insieme degli automorfismi di è un gruppo (in generale non

commutativo) rispetto all’operazione di composizione tra

Gruppo Generale Lineare V

applicazioni, detto di ed indicato con

GL(V ).

Isomorfismi

Definizione 3.57 (Spazi vettoriali isomorfi)

K-spazi isomorfi,

V W

Due vettoriali e si dicono in simboli

(

V W f V W

, se esiste un isomorfismo .

:

=

Teorema 3.58 K-spazi

V W

Siano e due vettoriali di dimensione finita, allora

(

V W V W

\ dim = dim

=

Isomorfismi

Dimostrazione (

V W f V W

Supponiamo sia , allora esiste un isomorfismo .

:

= 2

f f

Dalla iniettività di segue 0 e dalla suriettività segue

ker =

Im(f W . Per il Teorema del Rango si ha:

) = V f Im(f Im(f W

0

dim = dim ker + dim ) = + dim ) = dim

V W n

Viceversa, supponiamo che e siano

dim = dim =

@ 1 @ 1

2 2 2 2

0

v v V w w

una base di e una base di

B B

= =

, ..., , ..., n

n 1

1

W f V W

. Allora esiste una unica applicazione lineare tale che

:

2 2 0

f v w i n. Im(f

per 1, Pertanto, e quindi

B

( ) = = )

...,

i i 2 2

W L( w w Im(f W

= ) )

, ..., .

n

1

Im(f W f

Quindi, , cioè è suriettiva,

) =

Isomorfismi

Dimostrazione

e quindi Im(f W V n.

dim ) = = dim =

f f

Per il Teorema del Rango si ha 0 e quindi è anche

dim ker =

f V W

iniettiva. Pertanto, è un isomorfismo da su .

Isomorfismi

Esempi 4.59 K,

V n

i) Sia uno spazio vettoriale di dimensione su allora

( n

K

V v V

. Infatti, una base di , l’isomorfismo

B {v }

= , ...,

= n

1

n

K

V x V

tra e è quello che al generico vettore associa le

)

x

sue coordinate rispetto alla base B:

(x )

, ..., n

1 n

K

C V x x

7

: (x )

, , ..., n

1

B n

ii) Lo spazio dei polinomi di grado al più

@ 1

n

2

K K

p(t) a a t a t a t a

| )

[t] = = + + + +

...

n n

0 1 2 i

n+1

K

è isomorfo allo spazio vettoriale tramite l’isomorfismo

n+1 n

2

K K

F p(t) a t+a t t a

7

: [t] = +a +...+a (a )

, , ...,

n n n

0 1 2 0

Applicazioni lineari e matrici

In questa sezione vedremo come le applicazioni lineari tra spazi

vettoriali finito dimensionali sono rappresentate da matrici e,

quindi, come le diverse operazioni tra applicazioni lineari sono

traducibili nelle operazioni tra matrici studiate nel Capitolo 1.

K-spazi

f V W V

Sia un’applicazione lineare tra i vettoriali e

: @ 1 @ 1

2 2 2 2

0 0 0

W e e e e

aventi come base e ,

B B

= =

, ..., , ...,

n

1 m

1

f

rispettivamente. Per la linearità di risulta che:

2 2 2 2 2 2

x x e x e f x x f e x f e

· · · · · ·

= + + =⇥ ( ) = ( ) + + ( ).

n n n n

1 1 1 1

2

f e i n

Quindi, conoscendo per ogni 1, siamo in grado di

( ) = ...,

j V f è

calcolare l’immagine di un qualsiasi vettore di . In altre parole,

completamente determinata noti i valori che assume sui vettori di

una base di V .

Applicazioni lineari e matrici 2

j n f e

Per ogni 1, vale che si esprime come combinazione

= ( )

..., j

0

lineare dei vettori della base :

B

C 2 2 2 2

0 0 0

f e a e a e a e

· · ·

( ) = + +

A m1

1 11 21 m

1 2

A

A

A 2 2 2 2

A 0 0 0

f e a e a e a e

· · ·

( ) = + + m2

2 12 22 m

1 2 (2)

..

A

A .

A

A

A 2 2 2 2

0 0 0

f e a e a e a e

···

( ) = + +

m m2

12 22 m

1 2

j n

Equivalentemente, per ogni 1, vale che

= ...,

m

n

2 2 0

f e a e (3)

( ) =

j ij i

i=1

Applicazioni lineari e matrici f

Quindi possiamo rappresentare l’applicazione mediante la matrice

K

a coefficienti in o <

a a a

···

11 12 1n

8 :

a a a

···

21 22 2n

8 :

A (4)

. .. ..

= 8 :

..

.. .

> . .

a a a

· · ·

m1 m2 mn 2

j-esima f e

in cui nella colonna ci sono le componenti di rispetto

( )

j

0 matrice associata ad

A f

alla base . La matrice è detta

B 0

0 B

rispetto alle basi e A M

e si indica con o,

B B = (f ),

B

A M(f

semplicemente, con se le se