Appunti delle lezioni di Geometria - parte 1/3

D

=(

( -

(2j)(28)

BA =

=

I a impossibile in che

che 1 O

sia

a

quanto puo evere

non

e

Unicità dell'inversa ?

Quando e 'inversa si

unica

esire è R)

1)

M

Sia A

Ae inverse

B =ch (n due

(n 2 di de

tali

ovvero

grano :

e ,

, ,

. Allora B

AB Ac In

CA

BA C

In e =

=

=

= = .

Dimostrazione 2

(CA)B ha

2(AB) A

C B

(In A

invertibile un'unica -

Se inversa denominata

InB e

= =

= =

= ,

,

Osservazioni I I

invertibile

In è

· =

: r

A-2

R) A

A

(nxm

Ac invertibile

M

Se invertibile -

anche

=P e e

e

· =

, 1

(AB) 1) (A 2)

(B

-

(nxm 1R) invertibile

Se ho M

A invertibili AB

B - -

=P anche e

· e e =

, , (AIA

(AB)(B ) A)BB -

- - i AA

- 1 I

A A -

= =

=

=

Cio significa prodotto

inverzihiei

che delle

l'insieme rispetto

di

manici al

ordine e

n gruppo

un invertibiers

{A

GLIn R)

R) M (n

il GRUPPO A

LINEARE

prende

nxe di - e

nome

e =

: :

, .

, 9

Proposizione (A)* (A-)

(n

AeM R)

Sia A invertibile

Allora

invertibile anche e e =

, .

.

Dimostrazione . *

(BC)

la K

C marnici

B

le

trasposizione cambia oli

manici coppia

diagonali

non e =

opportune

omensione

B oh

2

, ,

r) (A 1) *

(A A

-

-

A

I

+

I .

.

= =

=

analogamente ')

A) A

(A 1 -

+ A

I -

+ - .

=

= (A-1)

A

l'inversa

Perciò e

di 10

DETERMINANTE

Determinante

E' M(n 1)

funzione det IR

una :

- -

,

(28) determinante

A (2 (A)

Data ad-bc

det

ie

ie

M 1) reale

numero

e =

:

= = , d)

(0 c)

(a (a

0)

P b

oli

l'area del parallelogramma vertici

Geometricamente c

rappresenta +

+

, ,

, ,

,

d)

(b e acb

d>0

b

supponendo a c

, ,

, , ,

N R Area (Tz)

/T

Area(a) )

Area/Rl-2

Area -2

I Area

-2

d)

b

a c . .

.

+ ,

=

+

,

·

T 2(2) 2()

2(b)

b)(c

=(a d) =

Q -

-

+ + -

T

(a )

. .

I bc bd 2bc bd

ad

Ge ac bc

ac

= - =

+ -

+ -

+ -

0

I , Q

T1 7

⑧

0

Matrice complementare di oroline

(n denotianw

A M (n-1)

Data R) la la

ottenuta cancellando

Ais saitomanice A

di

= con

, ,

i -esima la I-esima

riga colonna

e

Esempio

28 I

I

2 8 *

Ass

A la A

7 di

e

che

= COMPLEMENTARE

MATRICE

= 2

= =

10 1

-

Definizione 2

2) n+

A M(n An-a Ann

(-

det A detAne+Gng

det

R) As Olet

det

an Gen

= P : . =

+

. .

·

2

, ,

= = ....

-(

I I +

a

a 2) Aek

det

ann

2 in

.

, ... -

-

0

A a

a

= zn

an

: h)

(per calcolo manici

di ordine

di

0

Esempio

220

A 2

= 2 ⑧ -

12 3

-

(2) (22)

(2 3)

- Ans=

An Aiz e

=

= , (-22)

(2-5) (-2) 2(0 216

2-det 2)

A 1)

det

det 2 det 6

0 +

- -

-

- -

=

-

= =

+

Regola di sarrus

per prime

le affianca

oroline il

A colonne

le

marnici 3 calcola

all due determinante

di sele su

si e

, onientati

moltiplicando contributi il

da

diagonale sommando

gli ciascuna

elementi dx

zu i ex con

e a

quelli ox &

da con

mentre ex

a .

aas as

an an

a ne (a23azza13)

(ana25azz)

=(a 1922933) (aizaz

(912A23431) (a13az a33)

azz) -

- -

+ ,

,

+

1 11

Sviluppo di Laplace

1) ha

1

i si

per ogni n

= .....

2 i-esimal

: K (svieuppo lungo

(-1)

(A)

det la

Ain

Set

+ riga

ain

m .

= n 1

+

2) ha

si

1

I

per ogni n

= , ...,

2 (sviluppo I-esimal

3 +

(-1) lungo

(A) la

Agn

det

det e riga

an -

·

= n +

+

Esempio

3 lungo la

siluppo terza riga :

A - 0) 173 3

2

(

133 .(

1)3 (0

( (

+ 6)

( 2)

3)

det(A) ( + +

0 2 10

12

1 1

2 -

.

- .

. =

+ +

- =

- +

- -

- - . - +

-

- -

ne

= 2

= lungo colonna

la

sviluppo seconda

3 :

A = 1)

3

1

( 1)

(A) +

det 6 10

2 +

. -

- =

=

Osservazione

I pani

I it 1

se è

i 3

(-1) = dispati

1 i j =

- +

Quindi distribuiti

Laplace

nello sviluppo così

addendi

degli di somo

i segmi :

I :

...

i

i

PROPRIETÀ DEL DETERMINANTE

(A) diagonale

sulla

det

A Triangolare prodotto elementi

=>

· =

(In)

Det 1

· = (

(A) A)

det =

Det

· =

Dimostrazione (80)

(28)

2 A

n A

+

= det A)

b

= d d b

= detAl

= a a

+

c c

- - = -

-

.

= =

.

riga/colonna

A (A)

det

nulla

· 0

con = =

Dimostrazione

La

Sviluppo la riga/colonna

lungo

place

oli nulla

nigal (A) (A)

A

· moltiplicando colonna det

de

oltenuta A 1 det

di per

una D =

= -

Dimostrazione X

La moltiplicata

Sviluppo la riga/colonna

lungo

place

di per 12

faccio

righe/colonne

ADDIVITA' la

riga/colonna determinanti

alle

Rispetto dei

e

: scompongo

· una comme

Dimostrazione

La

Sviluppo la riga/colonna

lungo

place

di scomposta

Esempio ) set(e)

det(2-

( 3)

( ) aet

det 3

= = +

--

Caplace As

Az Laplace

na

Si :

20et(3') (2) 3

det() (2

!

i) (-4 )

)

!

(=

det -2det

-2det 0

20e+ 10 10-10 10

1 =

- - +

= +

- +

+ cambia

det

il

riga/colonna A

Sommando il

ad un'altra

multiplo riga

di di non

una

· ,

righe/colonne (A)

A uguali det

· due 0

con = =

cambia

righe/colonne il

scambiando det

due tra loro segno

· =det(A)

linece A

/colonne

riga/colonna di

righe

di altre

A

Se combinazione

di 0

· una e =

Metodo di gauss

Attraverso operazioni il un'altra

ad multiplo

tipo

del riga di riga

Sommare una

: triangolare

scambiarze teighe matrice si superiore

rendere

ogni può

e .

La di operazioni chicua

sequenze queste si

Esempio I

I

!8 I

I

I I I

es

Abs-21685

I

A aut

**

188

det det =-

-

Teorema di Binet

R) (AB)

(n

M detA

Allora

B

A

Siano det B

det

=

e .

, . =

Esempio (03)

(39) ( bis)

1 B

A B -

= = =

AB

A det Olet

3 6

det B

-2 -

= = =

Proposizione I

(A-1)

detA

R)

Ae invertibile

(n

M Se

Sia allora det

O

è e = (I

.

, detA

,

Dimostrazione Per

=A-' A il

A

A In Binet possiamo

invertibile di

teorema

Se allora quindi scrivere

e . =

:

, . I

(In) (A-A-1) Set /A-) ")

(A

(A) detA

det det

det

1 che

det =O

implica e

-

= = =

= det(A)

Teorema * R)

M/n Allora A In

detA

A O

Sia SE INVERTBILE

E SOLO SE

c questo caso

e

, . . ,

a s((-1) Axi)

det A))

)(-1)

.

ass : : +

= - s det

+

= =

- 13

Dimostrazione

)

( la precedente

proposizione

segue

(=

b) la

det A consideriamo

FO

quindi

supponiamo matnice

e

I (-1) * Asi) Vogliamo

B coefficienti

In

det BA= oli

che

dimostrare che i posto

overo

.

= det(A)

(i 3) 1 altrimenti

0

BA

o i

sono e

Se =

, .

E del E +.

IBAis BiA (-) Anians

binaus= det

= = .

, ,

ha

LAPLACE

RICORDANDO Si :

1 l

+

(BAli Aniani=

-1)

i det(A)

5 det 1

= = =

(A)

set

(A)

det I

deE(A) ** A"

"

(BA) Al

(A' As

Anians=det(A)

(-1)

i 0

det

det

3 is

= = .... =

. ..., ...

,

,

Definizione "

(-17 COFATTORE)

Aig

R)

(n It CO

det si

M

A dice COMPLEMENTO ALGEBRICO

(ais)

Sia E numero

, .

= (-1)" (O

COMPLEMENT

La MATRICE DEI

Ais)

coefficiente

del marnice ALGEBRI

det si chiche DE

Gij -

.

20FATTORIS .

Definizione

)

A M (n (A)

det

Sia Se SINGOLARE

allore manice si dice

0 la

=

, .

Per Teorema invertibile

il ) singolare

( manice SE

SEE

A SOLO

una è non e .

(88) r)

M(2

Se A =

= ,

"(â)

acces as-be ( - â)

A . =

=

Esempio

(3)

A l'inversa

A

Sia invertibile calcolarne

Dire eventualmente

ed

se e

= .

.

(A) A

det invertibite

quindi

=0

1

5-6 e

= -

=

(52) 2)

(5-

A

- = - = 14

RANGO DI MATRICI nxm

Definizione {n my

) 1

AeM

Data (nxm K

A di sonomarnice

dato = h < e

MINORE Ordine

min Oli

e un una

, ,

,

, K

A A

colonne

K

intersecando

quadrata di oi

righe

ottenuta e .

Esempio S

I =

" (3x4 R)

em

sia A = , .

2001

- I

I

"

1 (2)

25

· di