Geometria e Algebra lineare - vettori, rette e piani

GAL - LEZIONE 2

Vettori, rette, piani

Rappresentazione nello spazio:Una retta r si può individuare assegnando un punto P e un vettore v che determina la direzione. I punti X di r sono tutti e soli i punti che verificano tale equazione vettoriale

x = p + tv, (t ∈ ℝ)

Il vettore v prende il nome di vettore direttore e le componenti sono dette parametri direttori.

v = OX

OX = x

x = tv (t ∈ ℝ)

PZ = OX - OP

PZ = tv

OX = OP + tv

x = p + tv

x = p + tv

in ℝ³

x = (x, y, z)

P = (xp, yp, zp)

v = (α, β, γ)

(x, y, z) = (xp, yp, zp) + t(α, β, γ)

(x, y, z) = (xp + tα, yp + tβ, zp + tγ)

(x, y, z) = (xp + tα, yp + tβ, zp + tγ)

(x, y, z) = (xp + tα, yp + tβ, zp + tγ)

χ = p + tv

(χ, y, z) = { ^{x = xp + tα y = yp + tβ z = zp + tγ} } ^{(t ∈ ℝ)}

Gal - lezione 2

Vettori, rette, piani

Rappresentazione delle rette nello spazio:

Una retta r si può individuare assegnando un punto P e un vettore v che determina la direzione. I punti X di r sono tutti e soli i punti che verificano tale equazione vettoriale

x = p + tv, _{(t ∈ R)}

Il vettore v si chiama il vettore di vettore direttore e le componenti sono dette parametri direttori.

v = ◊^z

◊^× = x  ◊^=ty _{(t ∈ R)}

p^x = ◊^x - ◊p^

◊^x = ◊p^ + tv

p^x = tv

x = ◊p^+tx  _{(t ∈ R)}

x = p + tv

x = (x, y, z)

P(xp, yp, zp)

(x, y, z) = (xp, yp, zp) + t (α, β, γ)

(x, y, z) = xp, yp, zp + t (0, 1, y)

(x, y, z) = (xptα, yptβ, zptγ)

χ = p + t v

(t ∈ R)

x = xp + tα

y = yp + tβ

z = zp + tγ

in R² ; x = ( _y ), P = ( _y0 )

x = P + tv

( _y ) = ( _y0 ) + t ( _β )

( _y ) = ( _y0 ) + t ( _y0 )

v = (1, 2) P = (0, 1) x = (x, y)

x = P + tv

( _y ) = ( ₀ ) + t ( ₁ )

{ x = t y = 1/2 t

y = mx + q

Rette parallele

Due rette r: x=β+tv , r':x=β'+tv' sono parallele quando hanno

la stessa direzione, cioè quando i vettori direttori v e v' sono

paralleli.

Rette per 2 punti

La retta che passa per due punti assegnati A(x_a,y_a,z_a),

B(x_b,y_b,z_b), si può rappresentare con l'equazione vettoriale

x = A + t AB ; (t ∈ R)

forma parametrica

x = x_a + (x_b-x_a)t y = y_a + (y_b-y_a)t z = z_a + (z_b-z_a)t

(t ∈ R)

Prodotto scalare

• u · v = |u||v| cosα → |u| e |v| sono i moduli di u e v, α è l’angolo compreso tra u e v.

Proprietà

• Simmetria → u · v = v · u
• Omogeneità → (ku) · v = k(u · v) = u · (kv)
• Distributività → u · (v+w) = u · v + u · w

(x₁, y₁, z₁) = (x₁, 0, 0) + (0, y₁, 0) + (0, 0, z₁)= x₁(1, 0, 0) + y₁(0, 1, 0) + z₁(0, 0, 1)= xi₁ + yj₁ + zk₁

• Positività → u · v ≥ 0

u · u = 0 se e solo se u = 0

Il prodotto scalare di vettori è la somma dei prodotti delle componenti omonime.

(a, b, c), (x, y, z) = ax + by + cz

Ortogonalità

u e v sono ortogonali se e solo se u · v = 0(a, b, c), (x, y, z) = ax + by + cz = 0(a, b, c), (0, 0, 0) = a0 + b0 + c0 = 0

N vettore

P(z₀, y_p, z_p)P’x∥N

(x – p) · (a, b, c) = 0(x – x_p) + y_p = z_p) · (a, b, c) = 0ax – x_p b + (y – y_p) + (z – z_p) = 0ax + by + cz + ( – ax_p – by_p cz_p = 0

ax + by + cz + d = 0

Nel piano

a+b+c=0

2-1 coordinate

Nello spazio

a+b+c+d=0

3-1 coordinate

i piani sono descritti con l'assenza di uno dei piani

piano nello spazio

(per la retta è intersecare due piani)

a+b+c+d=0

a+b+c=0

Rappresentazione cartesiana di una retta nello spazio

Prodotto vettoriale

punto x=0 retta

Su ℝ

Su ℝ³

=x₀

= 2+3

,∈ℝ

=x_p++

,∈ℝ

=_p++

=++

il piano tauende

=+

(,∈ℝ)

Equazione vettoriale del piano passante per P con giacitura individuata dai vettori non nulli e non paralleli ,₁

=++ (,∈ℝ)

Rappresentazione parametrica del piano

Esempio

logo le variabili cartesiane nel piano

Rappresentazione cartesiana

Prodotto Vettoriale

• Se u e v sono // → u ∧ v = 0
• Se u e v non sono // → u ∧ v è il vettore con :

dove α è l’angolo formato dai 2 vettori con 0 ≤ α ≤ π

direzione ortogonale alle direzioni di u e v, quindi u ∧ v è ortogonale al piano individuato dai vettori u e v

verso dato dalla regola della destra