Schemi geometria

Algebra lineare:
0) Definizione di campo ed esempi: Q, R, F_2.
1) Lo spazio delle n-uple di numeri reali: somma, prodotto esterno, prodotto scalare standard, definizioni e prime proprietà.
2) Lo spazio delle matrici a coefficienti reali: prime definizioni, somma, prodotto esterno, prodotto righe per colonne e loro proprietà, prodotto di matrici a blocchi (senza dimostrazione).
3) Sistemi lineari: definizioni, sistemi lineari omogenei, prime proprietà (vedere: Integrazione 1), risoluzione di un sistema col metodo di eliminazione di Gauss.
4) Determinante e inversa di una matrice quadrata: definizioni e prime proprietà, risoluzione di un sistema quadrato col metodo di Cramer. Rango di una matrice: definizione e prime proprietà.
5) Teorema di Rouché-Capelli. Confronto dei vari approcci per determinare se un sistema di equazioni lineari è determinato, indeterminato, incompatibile.(vedere: Sistemi lineari)
6) Spazi vettoriali: definizioni, esempi, prime proprietà, sottospazi, insiemi di generatori, insiemi dipendenti e indipendenti (vedere: Integrazione 2), lemma di Steinitz (vedere: Integrazione 3), esistenza delle basi. Sottospazi. Formula di Grassmann. Sottospazi di R^n (vedere: Integrazione 4): forma parametrica e cartesiana. Spazi delle righe e delle colonne delle matrici: teorema del rango.
7) Trasformazioni lineari: definizioni, prime proprietà, rappresentazione attraverso matrici, nucleo e immagine, teorema delle dimensioni, isomorfismi, Teorema: ogni spazio vettoriale sui reali di dimensione n è isomorfo a R^n.
8) Autovalori e autovettori di una matrice quadrata. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Diagonalizzazione (vedere: Integrazione 5).
9) Prodotto scalare: definizione di prodotto scalare astratto, prime proprietà, norme, ortogonalità. Basi ortonormali, algoritmo di Gram-Schmidt. Matrici ortogonali. Diagonalizzazione ortogonale.

Geometria analitica:
1) Geometria analitica piana: vettori liberi, parallelismo, prodotto scalare, angolo fra due vettori, equazione parametrica e cartesiana di una retta, intersezione, parallelismo e ortogonalità di due rette, distanza fra due punti e fra un punto e una retta, cambiamento di riferimento.
2) Nozioni di base sulle forme quadratiche; classificazione delle coniche.
3) Geometria analitica spaziale: coordinate e vettori nello spazio, prodotto vettoriale, equazione parametrica e cartesiana di un piano, intersezione, parallelismo e ortogonalità fra due piani, fasci di piani, equazione parametrica e cartesiana di una retta, mutua posizione fra due rette, parallelismo e ortogonalità fra rette e piani, angolo fra due rette, angolo fra retta e piano, angolo tra due piani, distanza fra due punti, distanza punto-piano, distanza punto-retta, distanza fra due rette, distanza retta-piano, area del parallelogramma.