Schemi geometria

MATRICI

• SCALARI: una riga non è sopra tutte le altre righe sotto di essa, tuttavia esiste una riga il cui primo elemento non è zero, di lì su ogni riga, sotto tutti gli zeri che precedono il suo elemento non nullo, e il detto elemento non nullo è detto pivote.
• QUADRATA: numero righe = numero colonne
• IDENTITÀ (In): tutti 0 meno in diagonale principale o det (In)=1
• SIMMETRICA: Se AT=A
• ANTI SIMMETRICA: AT=-A

...di

DETERMINANTE

Se det = 0, la matrice si dice singolare.

TEOREMA DI LAPLACE: il determinante associato a ...) e si può calcolare come somma dei prodotti degli elementi di una fila o di una colonna per i rispettivi complementi algebrici. I segni è determinato...

TEOREMA DI BINET: dato due matrici 2x2, si ha sempre det (AB) = detA detB.

Matrici

• Scalare: una riga non è zero tutte le altre righe sotto di essa sono 0 e su trovo il primo elemento non nullo, dirò che è un riga e trovo tutti pari che che l’operando ed esse meno 1 num il primo elemento non nullo è detto pivot.
• Quadrata: n numero righe è numero colonne
• Diagonale: tutti 0 ma non nella diagonale principale
• Simmetrica: se A^T = A
• Antisimmetrica: A^T = -A

Se posso scambiare le righe con le colonne

• Triangolare: se contiene tutti 0 o sopra o tutto sotto
• Triangolare superiore
• Triangolare inferiore

Le toco dei matrice puoi existere se il numero di colone detto matrice A è il vagate delle rige di A^T

Determinante

• Se det = 0 e a matrice si dice Singolare
• Teorema Laplace: il determinante associato ad un matrice se si puo calcolare come somma del prodotto degli coomuni di un riga o di una colonna per: i rispettivi complementi algebrici.
• Teorema Binet: date due matrici 2x2, si ha sempre det(AB)=detA⋅detB
• Complemento Algebrico: il i-esimo minore complementato ottiene un determinante per una eabrato per (-1)^i+j

RANGO

1. Il rango r è l'ordine massimo di un minore di A avente determinante non nullo, una matrice a scalini corrisponde al numero dei pivot.

• Minore: una sottomatrice quadrata di A si ottiene incrociando m-t righe ed m-t colonne. Detto M-t righe ed m-t colonne, il minore che si ottiene è il minore ottenuto di m.

• Teorema di Jacobi: data una matrice quadrata, se è invertibile è rango r = n
• Se una matrice quadrata possiede almeno un minore di ordine r = n a determinante non nullo, il rango coincide con n
• Se i r = n ⇒ det (A) = 0

Teorema di Rouche-Capelli: Sia S un sistema lineare di m equazioni, in n incognite con matrice dei coefficienti A e la sua matrice completa A|b. Allora:

1. Se i compatibile ⇔ ρA = ρA|b se

Supponendo sia compatibile:

1. Se ρA = n una soluzione = sistema determinato
2. Se ρA = n una soluzione = sistema indeterminato

SISTEMI LINEARI

Un sistema S si dice lineare quando l'incognita compare in una matrice.

1. Se il sistema è quadrato ammette una sola soluzione, se

• (1) det (A) ≠ 0

2. Se det (A) = 0 almeno 2 soluzioni.

C(i) si detto minore rispetto alle colonne dei coefficienti il sistema sarà indeterminato (più ignote che pivot) il numero dei parametri uguale al numero del sistema tranne una.

1. N(i) si detto quoziente di N(i)

(>) FN, L(i) suppone

• −> numero L(i) quoziente.

SPAZI VETTORIALI

→ un campo è una struttura algebrica composta da un insieme non vuoto e da due operazioni binarie interne (somma e prodotto) che godono proprietà.

Consideriamo di avere uno spazio vettoriale V su campo K e {v₁, ... vi} uno spazio vettoriale di vettori di elementi di V, se esiste {λ₁v₁, ..., λnvn} = 0.

Se λ₁, ..., λn non sono

→ i vettori si dicono linearmente indipendenti

Se c'è λi ≠ 0 sono linearmente dipendenti

→ Un insieme di vettori si dice base di V se:

1. è un insieme di generatori.
2. è un insieme linearmente indipendente.

Sia V uno spazio vettoriale finito con dimensione.

DIMENSIONE di V è il numero di vettori di una qualunque base di V. Per definizione basta trovare una base di V e contare i vettori che la compongono.

CODIMENSIONE codim(W) = dim(V) - dim(W)