Geometria

Introduzione

La geometria studia le proprietà dello spazio e delle figure, analizzando forme, dimensioni e

posizioni relative.​

Si divide principalmente in Geometria Euclidea, basata su assiomi classici, e Geometria

Analitica, che utilizza coordinate e algebra per descrivere punti, rette, piani e curve.​

Gli strumenti della geometria sono fondamentali in matematica, fisica, ingegneria e

informatica.

1. Geometria Euclidea

●​ Punti, rette e piani: elementi fondamentali dello spazio.​

●​ Assiomi di Euclide: definiscono relazioni tra punti, rette, angoli.​

●​ Poligoni e poliedri:​

○​ Poligoni regolari: triangolo equilatero, quadrato, pentagono.​

○​ Poliedri: cubo, tetraedro, dodecaedro, icosaedro.​

●​ Teorema di Pitagora: in un triangolo rettangolo a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2a2+b2=c2.​

●​ Teorema di Talete: rette parallele e proporzioni in segmenti.​

Angoli e loro proprietà

●​ Somma angoli interni poligoni: (n−2)⋅180∘(n-2) \cdot 180^\circ(n−2)⋅180∘​

●​ Angoli esterni: somma = 360°​

●​ Angoli opposti al vertice: congruenti​

2. Geometria Analitica nel piano

●​ Sistema cartesiano: ogni punto P(x,y)P(x, y)P(x,y).​

●​ Distanza tra due punti: d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 +

(y_2-y_1)^2}d=(x2​−x1​)2+(y2​−y1​)2​​

●​ Punto medio: M=((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)M = ((x_1+x_2)/2,

(y_1+y_2)/2)M=((x1​+x2​)/2,(y1​+y2​)/2)​

●​ Equazione della retta: forma implicita Ax+By+C=0Ax + By + C = 0Ax+By+C=0,

esplicita y=mx+qy = mx + qy=mx+q​

●​ Pendenza: m=(y2−y1)/(x2−x1)m = (y_2-y_1)/(x_2-x_1)m=(y2​−y1​)/(x2​−x1​)​

●​ Condizioni di parallelismo (m1=m2m_1 = m_2m1​=m2​) e perpendicolarità

(m1⋅m2=−1m_1 \cdot m_2 = -1m1​ m2​=−1)​

⋅

3. Circonferenza e coniche

Circonferenza

●​ Equazione: (x−h)2+(y−k)2=r2(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2(x−h)2+(y−k)2=r2​

●​ Centro C(h,k)C(h,k)C(h,k), raggio rrr​

●​ Tangenti: rette che toccano la circonferenza in un solo punto​

Parabola

●​ Equazione canonica: y2=4pxy^2 = 4pxy2=4px o x2=4pyx^2 = 4pyx2=4py​

●​ Fuoco, direttrice, vertice​

Ellisse

●​ Equazione: x2/a2+y2/b2=1x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1x2/a2+y2/b2=1​

●​ Fuochi e assi principali​

Iperbole

●​ Equazione: x2/a2−y2/b2=1x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1x2/a2−y2/b2=1​

●​ Fuochi, asintoti, vertici​

4. Vettori nel piano e nello spazio

●​ Vettore: grandezza con direzione e verso v⃗ =(vx,vy,vz)\vec{v} = (v_x, v_y,

v_z)v=(vx​,vy​,vz​)​

∣v⃗∣

●​ Modulo: =vx2+vy2(+vz2)|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 (+

v_z^2)}∣v∣=vx2​+vy2​(+vz2​)​ (a⃗⋅b⃗ ∣a∣∣b∣cos⁡

●​ Operazioni: somma, differenza, prodotto scalare = θ\vec{a} \cdot \vec{b} =

|a||b|\cos\thetaa⋅b=∣a∣∣b∣cosθ)​

●​ Prodotto vettoriale (a⃗ ×b⃗ \vec{a} \times \vec{b}a×b) nello spazio​

5. Rette e piani nello spazio

●​ Retta in forma parametrica: x=x0+at,y=y0+bt,z=z0+ctx = x_0 + at, y = y_0 + bt, z =