Teoria Geometria

Spazi vettoriali

Spazi e sottospazi

Definizione: è un insieme su cui sono definite 2 operazioni: somma e prodotto per scalare e per essere tale deve rispettare le seguenti proprietà.

• Commutativa → 1. u+w=w+v
• Associativa rispetto alla somma → 2. (u+w)+w =u+(v+w)
• Elemento neutro per la somma → 3. v+0=0+v=v
• Opposto per la somma → 4. v+(-v)=(-v)+v=0
• Distributività (somma e prodotto) → = + + 5. (v+w) v+ � w(= ( =+µ)v (µv)
• Associativa prodotto → (=( = 6. µ)v (µv)
• Elemento neutro prodotto → 7. 1xV=V e 0xV=0

Sottospazio vettoriale: chiuso rispetto alla somma e al prodotto (deve contenere il vettore nullo e contiene l’opposto di ogni suo elemento)

w +w € W w € W1 2

Un sistema della forma Ax=0, è detto omogeneo poiché contiene il vettore nullo ed è un sottospazio vettoriale.

Combinazioni lineari

Chiuso per combinazioni lineari esprime chiuso per somma e prodotto contemporaneamente.

Span: insieme di tutte le possibili combinazioni lineari ed è un sottospazio di V. (A1….An) colonne matrice coefficienti.

Ax=b in m equazioni e n incognite, sistema compatibile se b € Span(A1….An).

Indipendenza lineare e basi

� .�V1…..Vn sono linearmente dipendenti se esistono 1… n NON tutti nulli.

� (� .�V1…..Vn sono linearmente indipendenti se esistono ….� TUTTI nulli 1… n=0)1 n

Per vedere la lineare dipendenza bisogna studiare il sistema Ax=0, se tutte le x=0 allora le colonne sono linearmente indipendenti, altrimenti sono linearmente dipendenti. Un altro metodo è quello degli scarti successivi.

Base

Un insieme B ={v …vn} si dice Base di vettori se: sono linearmente indipendenti 1 e sono un sistema di generatori di v (€ Span) � +�

Per verificare che v …v sono generatori di uno spazio vettoriale v +.... v =Xn n11| | | | | |13 27 x 1� �1 2 e trovi degli alfa in relazione alle x → base di V. + = x 2 � �

Le coordinate di v rispetto alla base B sono: v= 1V1+....+ nVn

Esistenza basi

Dato uno spazio vettoriale V se una base B {v ...v } ha il numero giusto di vettori ( dimV=n°n1 vettori) e sono linearmente indipendenti, allora B è una base di V.

Ogni spazio vettoriale contenente un sistema finito di generatori ammette una base.

Teorema del completamento: Sia B= {v1….vn} base di di uno spazio vettoriale V, e siano w1….wp € V tutti linearmenti indipendenti (p<=n) → Esistono n-p vettori di B che insieme a w1…wp formano una base di V.

Due basi di uno spazio vettoriale hanno lo stesso numero di elementi.

Somma e intersezione di sottospazi

Bisogna verificare che il sottospazio somma e intersezione sia chiuso per somma e prodotto. (U ก W non è un sottospazio).

Teorema di Grassmann dim (U+W)= dim U + dim W - dim (U∩W):

Se la dimensione dell'intersezione è uguale a 0, U e W si dicono in somma diretta. ⊕

Due sottospazi U e W si dicono supplementari se V=U W.

La dimensione di uno spazio vettoriale è data da: DimV - n°condizioni.

Ex. se dim U=3 e dim W=2 e dim(U+W)=3= U(vettori di U) ……W contenuto in U

Numeri complessi

| |=√ ❑V

Modulo: x=psin =¿x= pcosØ y Ø−→cosØ

Argomento: L’angolo misurato in radianti √❑z=a+ib → coniugato z=a-ib

Applicazioni lineari

Un’applicazione T:V→W si dice lineare se è additiva e omogenea.

Omogenea→se T(λ v)=λv

Additiva→se T(v +v )=T(v )+T(v )1 2 1 2

L’applicazione identità e data da idv:V→V

L’applicazione nulla è data da 0:V→V

Linearità di una matrice rispetto ad un endomorfismo→Km n

Fissato il campo k , l’applicazione lineare L :K è sempre lineare per qualsiasi matrice aM m,n

Trasposizione= consiste nel cambiare le righe con le colonne.

• T T T ● (A •B) =B • A
• T T ● (A ) =A

T:V→W, B={v1…vn} base di V e C={w1…wn} base di W allora

Esempi e definizioni

Se dominio=codominio → endomorfismo (ex. T:V→V) Surgettiva:

Iniettiva →: Bigettiva:

La trasposizione T di una matrice consiste nello scambiare le righe per le colonne.

T T(A ) =A

ex: M --->M2,3 3,2

Nucleo e immagine

T:V→W

Ogni applicazione lineare ha due sottoinsiemi:

1. ⊂ V nucleo appartiene al dominio 1. Ker (nucleo): {T(v)=0} ={T(v)|v € V}
2. ⊂ W immagine appartiene al 2. ImT (immagine): Im T= T(v) codominio

T è surgettiva se e solo se ImT=W (immagine coincide con codominio)

T è iniettiva se e solo se KerT = {0} (nucleo uguale al solo vettore nullo).

Il Ker si calcola ponendo il sistema Ax=0

L’ImT si trova riducendo a gauss la matrice associata all’applicazione lineare.

Esercizio

Rango

Rango di un’applicazione lineare T:V→W è la dim ImT=rgT=Span

Teorema della dimensione: dim V=dim KerT + rgT→ min(m,n)= dim kerT + rgT

Nel calcolo della dimensione delle matrici Mm,n

T:V→W

T è iniettiva se e solo se rg T = dimV ( dominio)

-----------------dim V<=dim W

T è surgettiva se e solo se rgT = dimW (codominio)

------------dimV>=dim W

Se dim V=dim W (dim dominio e codominio coincidono) → T è iniettiva se e solo se è surgettiva.

Rouché-Capelli

1. Sia Ax=b un sistema lineare di m equazioni in n incognite,
2. Il sistema ammette soluzioni se e solo se rgA’=rgA.
3. La soluzione se esiste, è unica se e solo se rgA=rgA’=n.

Se rg A≠rg A’ il sistema non ammette soluzioni.

4.

5. Se rgA=rgA’ < n ammette infinite n-r soluzioni.

Rango A = n°colonne linearmente indipendenti T

Rango A = n°righe linearmente indipendenti

Sistemi lineari

numero equazioni = numero incognite = rango massimo → una soluzione

rango=n incognite unica sol

Sistemi a scala

Pivot= numero colonne linearmente indipendenti

Le variabili dipendenti si costruiscono attraverso le variabili libere (variabile libera 0=0)

1. i pivot compaiono sulle variabili dipendenti e sono di numero uguale a rg matrice.

Riduzione a scala

Dopo aver ridotto a scala, le variabili che compaiono sui pivot (dipendenti), devo essere trovate in funzione delle variabili libere.

Tecniche di calcolo

Sulla risoluzione di sistemi lineari: 3 possibilità:

1. Impossibile: Se x =3 e x =-4112
2. Infinite soluzioni: se x1=x3 +5 e x2=x3-4
3. Soluzione unica: Se x =1 e x =5 e x3=9 (è possibile anche x1=x2=x3=0)1 2

Eliminazione di Gauss si usa per:

1. Risolvere il sisteme Ax=b e trovare le soluzioni riducendo a scala
2. Per trovare rango e una base dell’immagine di una matrice (corrisponde alle colonne linearmente indipendenti, ovvero dove compaiono i pivot)

Il sistema Sx=c è compatibile se la matrice ridotta a gauss ha le ultime m-r componenti nulle.

Equazioni parametriche e cartesiane

DA Cartesiane a parametriche, per descrivere U+W

dato il sistema→ matrice → riduzione a gauss → scrivo variabili vincolate in funzione delle libere → ottengo equazioni parametriche

a Cartesiane, per descrivere U⋂W

DA parametriche

dato il sistema x= at1+at2+.........+atn → matrice coefficienti t1….tn =X(x1….xn) → riduzione gauss → prendi le equazione dove ridotte a scala compaiono gli 0. (prendi equazioni dove compaiono tanti 0 quante numero colonne)

Sottospazio affine

Un sottospazio affine di uno spazio vettoriale V, è un sottoinsieme della forma L=v0+W={v0 + w |w €W} —> v0 traslato il ssp vett W in v0.

L1,