Geometria e Algebra lineare - somma sottospazi vettoriali

Gal - lezione 6

Somma di due sottospazi vettoriali

La somma di due sottospazi U e W è definita da:

U + W = {u + w: u ∈ U, w ∈ W}

L'unione di sottospazi non è in generale un sottospazio.

M ∪ W     M + W     M ∪ W     M + W

sottospazio     sottospazio     sottoinsieme non     sottoinsieme non

                                  sottospazio

I sottospazi contengono sempre l’elemento neutro e quindi devono passare per l’origine. Se non passa per l’origine, non è un sottospazio vettoriale.

Esempio

M, W sottospazi di VB_u base per M    B_w base per W

U + W = Span {B_u ∪ B_w}

ATTENZIONE! In generale B_u ∪ B_w non è una base

B_u = Il vettore
B_w = I due vettori
U + W ≠ ℝ³ = Span

Gal - lezione 6

Somma di due sottospazi vettoriali

La somma di due sottospazi è definita da:

+ = { + | ∈, ∈}

L'unione di sottospazi non è in generale un sottospazio ∪ + ∪ ≠ + + ≠ ∪

I sottospazi contengono sempre l'elemento neutro: tali punti devono passare per l'origine e se non passa per l'origine non è un sottospazio vettoriale.

Esempio

sottospazi di base per base per + = Span {∪}

ATTENZIONE! In generale ∪ non è una base

{(1,0,0) (0,1,0)}{(1,0,1) (0,1,1)} + = ℝ³ = Span{(1,0,0) (0,1,0) (0,0,1)}