Algeba e geometria lineare - i sottospazi vettoriali

Intersezione di due sottospazi (teorema)

Siano W e Z due sottospazi vettoriali del campo K di V.

W ∩ Z è sottospazio di V.

P.Q.M. ∀ α ∈ K, ∀ x, y ∈ Z, essendo per ipotesi W, Z sottospazi, allora ∂W, α x, y ∈ Z

Siano x, y ∈ W ∩ Z risultate x + y ∈ W perché W è un sottospazio, x, y ∈ Z essendo Z un sottospazio quindi x + y ∈ W ∩ Z.

Analogamente si veda che ∀ α ∈ K, x ∈ W ∩ Z allora α x ∈ W ∩ Z.

Quindi W ∩ Z è sottospazio di V.

3)

a v, a w ∈ W

a z, a w ∈ Z

Quindi W ∩ Z è sottospazio di V.

Se x ∈ Y ∈ Z allora x, y ∈ Z, allora x + y ∈ Z.

L'intersezione di due sottospazi (teorema)

Siano W e Z due sottospazi vettoriali del campo K e V

• W ∩ Z è sottospazio di V
• Infatti se x, y ∈ W ∩ Z essendo per ipotesi W, Z sottospazi
• Allora x, y ∈ W ∩ Z

Infatti se x, y ∈ W ∩ Z risulta x + y ∈ W perchè W è un sottospazio, e x, y ∈ Z essendo Z un sottospazio allora x + y ∈ W ∩ Z

Analogamente si veda che x ∈ K e x ∈ W ∩ Z allora x ∈ W ∩ Z

Quindi W ∩ Z è sottospazio di V.

(disegno)

• y ϵ sottosp. a y ϵ W
• z ϵ sottosp. a y ϵ Z

3) Per convinio ẃ op eta e ζ ϵ W ∩ Z si ha que ẃ op eta ϵ W ∩ Z

D ẃ ϵ W ∩ Z ⟶ ẃ op eta ϵ W ∩ Z

y ϵ W ∩ Z ⟶ y ϵ W - ϵ ϵ Z

x ϵ W ∩ Z ⟶ x ϵ W - ϵ ϵ Z

y ϵ W ∩ Z ⟶ y ϵ W - ϵ ϵ Z

WZ sottosp pari pat quindi se x ϵ ẃ e y ϵ yw allora x + y ϵ W op intesa

x ϵ y ϵ z 'e ϵ ϵ zoforo dispone x + y ϵ t ⟶ x + y ϵ W ∩ Z

x ∈ W ∩ Z

x ∈ W e x ∈ Z

w, z sono sotto_spazi W, scriviamo ax ∈ W e ax ∈ Z ⇒ ax ∈ W ∩ Z e chiusura.

l'unione è la somma di due sotto_spazi.

Siano U e W sotto_spazi vettoriali sul campo K di V. Allora

U ∪ W è _sotto__spazio:⇔ U ⊆ W oppure W ⊆ U

U ∪ W ⊈ W

• U ∪ W = W è _sottospazio

la somma di W e Z è il sotto_spazio W + Z := {w + z | w ∈ W ∧ z ∈ Z}

Si tratta quindi dell'insieme di tutti gli elementi di V che si

possono scrivere come somma di due elementi di V e facilmente

si vede che W ≠ Z ⇔ W ⊆ Z è _sottospazio di V

Somma diretta di 2 sotto_spazi

Diciamo che la somma W ∩ Z di due sotto_spazi è diretta ⇔

ogni vettore della somma si può scrivere in modo unico come

somma w + z dove w ∈ W e z ∈ Z, la tal cosa viene con la

notazione:

W ⊕ Z

Caratterizzazione delle somme dirette: la somma W ∩ Z di due

sotto_spazi di V è diretta ⇔ w = 0 e se w ∧ Z = {θ_z}

⇔ se p. T x ∉ W ∩ Z ⇒ x ≠ θ_z ⇒ con w ∈ W ma

⇒ x ≠ w con w ∈ Z[/p>

⇒ con x = 0

⇒ con x + Z essendo ipotesi le tesi

⇔ P W ⊕ Z dirette ⇔ W ∩ Z = {θ_v}

DEVE MA W/λZ + {0_V} è nello spazio e quindi

➔ ∃ y + 0_V ∈ W/λZ ∪ v∈W

y = 0_V + z

z = ∑ w_iz_i + 0

[...]

CS. Mp W/λZ + {0_V}

∑ w_iz_i➔ W/λZ

Combinazione Lineare

Def. Diamo ∀v_i ∀v_j ∈ CV s.d. che v_c ∈ V

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v = a₁v₁ + a₂v₂

EX. V₁ = (1,0,1) V₂ = (2,1,0)

v = (1,2,3)

(1,2,3) = a₁(1,0,1)+a₂(2,1,0)

⇒ a₁ = 3

⇒ a₂ = 2

(1 = 3+2(2) - x = ?) ASSURDO

L'insieme di tutte le combinazioni lineari si indica con P(V₁,V₂)

Generatori

Def. Sia W sottogruppo di V₂ sono V₁, ..., V_n ⊆ V. Se tale che W è generato da V₁, ..., V_n (oppure che {V₁, ..., V_n} è un volume di generatori di W) → W = L{V₁, ..., V_n}.

W è generato da V₁, ..., V_n SE E SOLO SE valgono due condizioni:

1. ∀V_i, V_i è W
2. ∀ogni vettore V è W e c.h. di V₁, ..., V_n

{V_i} è generato dall'insieme vuoto.

ex. R² posso costruire chi sono i generatori? R × R   (x, y) → taco i e j   dove   i = (1, 0) j = (0, 1)

(4, -3) = t(1, 0) - 3(0, 1) = t(1, -3) Qui coppia si può pensare come c.l. di 2 e 3

Non tutti gli spazi vettoriali possono essere generati da un numero finito di generatori.

Def. Spazio vettoriale finitamente generato (f.g.). Se V uno spazio vettoriale &Skr; K, se esistono V_i, ..., V_n è V che generano V si dice che V è (f.g.).

Ex. V₁ = (1, 0, -1)     V₂ = (2, 0, 0)     V₃ = (0, 0, 2) L{ (1, 0, -1), (2, 0, 0), (0, 0, 2) }

R _{Casi lineare che preceduti 2V1 - V2 allora vi può notare anche devo tenere agli avariamenti}