Geometria & Algebra Lineare - Appunti

La matrice

Una matrice mxn (con m,n ∈ N) è una tabella rettangolare costituita da mxn numeri reali disposti su m righe ed n colonne. Si indica con:

A = (a_ij) m,n oppure A = (a_ij); i = 1, j = 1

Dov'è a_ij sono gli elementi della matrice.

Una matrice si può anche definire come una funzione che associa al coppia i,j che appartiene al dominio della funzione un numero reale.

A: I (m,n) → R (i,j), j=1 → a_ij

Matrice nulla

Una matrice si dice 'nulla' se a_ij = 0 ∀i,j. Generalmente si indica con '0'.

Matrice quadrata

Una matrice si dice quadrata di ordine n se m=n (n righe = n colonne).

Matrice diagonale

Data una matrice quadrata, si dice 'diagonale' se i suoi elementi fuori diagonale principale (a₁₁, a₂₂, ...a_nn) sono uguali a zero, cioè a_ij quando i≠j.

Osservazione: tutte le matrici quadrate nulle sono diagonali.

Il numero a₁₁+a₂₂+ ...+a_nn si chiama traccia di A e si denota con tr(A). (Somma degli elementi che compongono sulla diagonale principale).

Matrice unità

Una matrice diagonale si dice matrice 'unità' se gli elementi sulla diagonale sono uguali a 1. Le matrici unità si indicano con I.

a_ij= 1 se i=j 0 se i≠j Es. di matrice unità:

( 1, 0 0, 1 ) ( 1, 0, 0 0, 1, 0 0, 0, 1 )

Somma di matrici

Date due matrici A=(a_ij)_mxn; B=(b_ij)_mxn, la somma di A e B è la matrice mxn di cui il generico elemento di posto ij è a_ij + b_ij.

Esempio:

( 1 2 3 4 ) + ( 0 2 1 3 ) = ( 4 4 4 7 )

Proprietà della somma

1. Proprietà commutativa: A + B = B + A
2. Proprietà associativa: (A + B) + C = A + (B + C)
3. Con matrice nulla: A + 0 = A

Moltiplicazione di un numero reale k per una matrice

Data una matrice A = (a_ij) e un k ∈ R, kA è la matrice mxn il cui elemento ij (posto ij) = k a_ij.

Esempio:

3A: ( 3 2 6 0 3 9 0 0 12 )

Osservazione: La matrice (-1)A = -A è detta matrice opposta di A.

Proprietà della moltiplicazione di un numero reale per una matrice

1. h (kA) = hkA = k (hA)
2. 1A = A; 0A = 0

La trasposta di una matrice A_mn è la matrice n×m i cui elemento di posto i; è a_ji. Si denota con tA.

Esempio:

A = ( 1 2 4 ) ( 2 3 3 ) ( 3 0 0 )

tA = ( 1 2 3 ) ( 2 3 0 ) ( 4 3 0 )

Proprietà della trasposta:

1) t(A+B) = tA + tB 2) t(tA) = A 3) t(kA) = ktA

Matrice Simmetrica e Antisimmetrica

Data una matrice quadrata, allora si dice "Simmetrica" se tA = A.

Esempio: Data una matrice 2x2, affinché sia simmetrica:

A = tA verso: ( a b ) ( b d )

Osservazione

Tutte le matrici diagonali sono simmetriche.

Data una matrice quadrata, allora si dice antisimmetrica se tA = -A.

Osservazione

Ogni matrice quadrata A può essere espressa come somma di una matrice simmetrica e una antisimmetrica.

Dimostrazione

Data B simmetrica, C antisimmetrica, allora A = B+C. Si osservi che A+tA è simmetrica e A-tA è antisimmetrica:

• t(A+tA) = tA + t(tA) = tA + A = A + tA
• t(A-tA) = tA - t(tA) = tA - A = -(A-tA)

Detto B = (A+tA)/2 e C = (A - tA)/2, allora:

B+C = (A+tA)/2 + (A-tA)/2 = A ⇒ A = B+C c.v.d.

Prodotto tra Matrici

Date due matrici A = (a_ij) mxp e B = ( b_ij )pxn allora il prodotto di A e B è la matrice mxn i cui elemento di posto ij è:

∑ d_ik b_kj = a_i1 b_1j + a_i2 b_2j + a_i3 b_3j +...+ a_ip b_pj

K=1

Esempio:

( 1 2 0 ) ( 3 1 ) = ( C₁₁ C₁₂ ) = ( 7 3 ) ( 2 3 1 ) * ( 2 1 ) * ( C₂₁ C₂₂ ) ( 13 8 ) ( 1 2 ) 2x3 3x2 2x2

C₁₁ = 1 * 3 + 2 * 2 + 0 * 1 = 3 + 4 + 0 = 7

C₁₂ = 1 * 1 + 2 * 1 + 0 * 2 = 1 + 2 + 0 = 3

C₂₁ = 2 * 3 + 3 * 2 + 1 * 1 = 6 + 6 + 1 = 13

C₂₂ = 2 * 1 + 3 * 1 + 1 * 2 = 2 + 3 + 2 = 8

Osservazione

Solo tra matrici quadrate di stesso ordine si può fare sia AB sia BA.

Proprietà del Prodotto:

1. A ≠ B -> AB ≠ BA
2. O * A = O
3. A * O = O
4. I * A = A
5. A * I = A
6. (A+B)C = AC+BC
7. A(B+C) = AB + AC
8. (AB)C = A(BC)
9. t(AB) = tB tA (il contrario)

Matrici Permutabili

Due matrici quadrate dello stesso ordine si dicono permutabili se AB = BA.

OSSERVAZIONI

1) Se B è sottomatrice di A, allora r(B) ≤ r(A)

2) Se A_{m x n}, allora r(A) ≤ min {m, n}

3) r(AB) = min {r(A), r(B)}

Data una matrice quadrata n x n, allora:

1. r(A) = n
2. A è invertibile
3. det A ≠ 0

sono tre affermazioni equivalenti

TEOREMA DEGLI ORLATI

Sia A_{m x n} e S una sottomatrice quadrata di A di ordine p. Se det S ≠ 0, tutte le sottomatrici quadrate di A di ordine p+1 che contengono S (come sottomatrici) hanno determinante uguale a zero, allora r(A) = p. Quindi, data A_{m x n} (A ≠ 0):

p = min {m, n}

S sottomatrice quadrata di ordine p t.c. det S ≠ 0

p = min {m, n}

r(A) = p

Sì, considerino le sottomatrici quadrate C₁, ..., C_k di A di ordine p+1 che contengono S

det C_i = 0 ∀ i ∈ {1, ..., K}

∃ i ∈ {1, ..., n} t.c. det C_i ≠ 0

r(A) = p

r(A) = p+1

Si ripete la procedura degli orlati di C_j...

Esempio:

A = ^{⎡1 3 2 4⎤} _{⎢2 1 3 4⎥} ^{⎣4 2 1 6⎦} A_{3 x 4}, A ≠ 0 => 1 ≤ r(A) ≤ 3

Prendo S: ^{⎡1 2⎤} _{⎣2 3⎦} => det S ≠ 0, quindi: r(A) ≥ 2 sicuramente.

Orlatura di S:

• C₁ = ^{⎡1 2 3⎤} _{⎣2 3 4⎦} ^{⎣4 2 3⎦}
• C₂ = ^{⎡2 3 4⎤} _{⎣1 2 4⎦} ^{⎣2 4 8⎦}
• det C₁ = det C₂ = 0

Quindi, per il teorema degli orlati: r(A) = 2.

Esempio:

Si calcoli r(A) al variare di t ∈ R:

S = ^{⎡3 t 2⎤} _{⎢2 1 3⎥} ^{⎣1 0 1⎦} det S = 3 ≠ 0, quindi r(A) ≥ 2 ∀ t ∈ R

C₂ = ^{⎡t 2 0⎤} _{⎢3 0 2⎥} ^{⎣2 0 1⎦} => det C₂ = -6t² + 6t (1-t) = 0 =>

• t = 0
• t = 1

C₃ = ^{⎡3 2 3⎤} _{⎢2 3 0⎥} ^{⎣3 4 1⎦} => det C₃ = -3t + 9t - 6 = t(t-1) = 0 =>

• t = 1

In conclusione:

r(A) {

• 2 se t = 1
• 3 se t ≠ 1

FORMA TRIGONOMETRICA DEL NUMERO COMPLESSO

Dato un numero complesso z=x+iy, definiamo modulo ed argomento di z la sua distanza dall'origine che si denota con |z| tale distanza vale:

|z|=√(x²+y²)

Se consideriamo ad esempio z=(x,0) allora |z|=|x|=√x²=x.

Si definisce invece argomento (principale) di z l'angolo θ, assia della retta che congiunge z all'origine col semiasse positivo delle x e la retta che congiungono 0 a z, tale che:

• x=ρ·cosθ
• y=ρ·sinθ

quindi: z=x+iy=ρcosθ+iy=ρ(ciθ)or(p·cosθ+i·sinθ)=p(cosθ+i·sinyθ)

Tale forma è detta forma trigonometrica di z.

OSSERVAZIONE:

Siamo z₁=ρ₁(cosθ₁+isinθ₁)

Allora: z₁·z₂=ρ₁ρ₂(cos(θ₁+θ₂)+isin(θ₁+θ₂))

e₁/z₂=ρ₁/ρ₂(cos(θ₁-θ₂)+isin(θ₁-θ₂))

FORMULA DI DE MOIVRE

Se z=ρ(cosθ+isinθ), allora zⁿ=ρⁿ(cos(nθ)+isin(nθ))

Esempio: (1+i)⁴ dove 1+i=√2(cosπ/4+isinπ/4) quindi:

(1+i)⁶(√2)⁶(cos6π/4+isin6π/4)=(8(cos(3π/4)+isin(3π/4)))=-8i

FORMULA ESPONENZIALE

Dato z=ρ(cosθ+isinθ), cosθ+isinθ=θ(iθ)(formula di Eulero) si ottiene

OSSERVAZIONE:

Determinare λ∈(1/2)...

Consideriamo (λ-1+i) (1-λ;-1+i·i)=√2(cos(2π/4+i·isin7π/4))

allora: 9λ²-4λ·2λ-0=>λ=1·3