Geometria & Algebra Lineare - Appunti

Matrice

Una matrice mxn (con m,n ∈ ℕ) è una tabella rettangolare costituita da mxn numeri reali disposti su m righe ed n colonne. Si indica con:

A =  (a₁₁  a₁₂  ...  a_1n  )       (a₂₁  a₂₂  ...  a_2n  )        ...       (a_m1  a_m2  ...  a_mn  )oppure    A = (a_ij),  i=1,...,m  j=1,...,n

dove a_ij sono gli elementi della matrice.

Una matrice si può anche definire come una funzione che associa coppie di numeri naturali ad un numero reale:

A: I(u,n)→ℝ(i,j)|→a_ij

Matrice nulla

Una matrice si dice "nulla" se a_ij = 0 ∀i,j. Generalmente si indica con "0".

Matrice quadrata

Una matrice si dice quadrata di ordine n se m=n (n righe = n colonne).

Matrice diagonale

Data una matrice quadrata, si dice "diagonale" se gli elementi sulla diagonale principale (d_{a11, a22, ..., ann) sono uguali a zero, cioè aij = 0 quando i≠j.}

    (a₁₁  0  0)       (0  a₂₂  0)       (0  0  a_nn)

Il numero a₁₁ + a₂₂ + ... + a_nn si chiama traccia di A e si denota con tr(A).

I (somma degli) elementi che compaiono sulla diagonale principale.

Matrice unita

Una matrice diagonale si dice matrice "unità" se gli elementi sulla diagonale sono uguali a 1. Le matrici unità si indicano con I_n (o anche J_n).

Esempio: I

Esempio: I₃ =  (1  0  0)        (0  1  0)        (0  0  1)

Se I₂ =  (1  0)        (0  1)

Somma di Matrici

Date due matrici A=(a_ij), B=(b_ij) mxn La somma di A e B è la matrice mxn di cui il generico elemento di posto i,j è a_ij + b_ij.

Esempio:

 (1  2)  +  (0  2)  =  (1+0  2+2) = (4  4) (3  4)       (5  0)  =  (3+5  4+0) = (7  7)

Proprietà della somma

• Proprietà commutativa:      A+B = B+A
• Proprietà associativa:      (A+B) + C = A + (B+C)
• L'elemento nullo:

                                               A + 0 = A

Moltiplicazione di un numero reale k per una matrice

Data una matrice A = (a_ij) e un k∈ℝ, KA è la matrice mxn il cui elemento di posto i,j è KA*_ij.

Esempio:

A =     (1)        (0)        (4)

3A =     (3     9     6)    (3A =   (3     0     12))

La matrice (-1)A = -A è detta "matrice opposta" di A.

Proprietà della moltiplicazione di un numero reale per una matrice.

Date due matrici A e B mxn e due numeri l,k ∈ ℝ allora:

1. k(A+B) = kA + kB
2. (l+k)A = lA + kA
3. (lk)A = l(kA) = k(lA)
4. 1A = A;  0A = 0

Matrice

Una matrice mxn (con m,n ∈ N) è una tabella rettangolare costituita da mxn numeri reali disposti su m righe ed n colonne. Si indica con:

A = ( a_ij ... a_in ) oppure A = ( a_ij )( a_mj ... a_mn ) ^m,n

dove a_ij sono gli elementi della matrice.

Una matrice si può anche definire come una funzione che associa ogni coppia i,j che appartiene al dominio della funzione i, j un numero reale:A: I (i,j) → a_ij

Matrice Nulla

Una matrice si dice 'nulla' se a_ij = 0 ∀ i,j. Generalmente si indica con "0".

Matrice Quadrata

Una matrice si dice quadrata di ordine n se m = n (n.righe = n.colonne).

Matrice Diagonale

Data una matrice quadrata, si dice "diagonale" se gli elementi sulla diagonale principale (d₁₁, a₂₂, ..., a_nn) sono uguali a zero, cioè a_ij = 0 quando i ≠ j.

Osservazione: Tutte le matrici quadrate nulle sono diagonali.

Il numero a₁₁, a₂₂, ... a_nn si chiama