Geometria e Algebra lineare - piano nello spazio

Lezione 3

Prodotto scalare standard

Precludiamo in considerazione le propriet dei prodotto scalare (simmetria, omogeneit, distributivit e positivit)e, a catena una formula

Versori

i, j, k

i · i = j · j = k · k = 1

i · j = j · k = k · i = 0

Il prodotto scalare di vettori si esprime come somma dei prodotti delle componenti corrispondenti.

(a, b, c) · (x, y, z) = ax + by + cz

Ricavitura del prodotto scalare normale.

Proiezione ortogonale

Se PS = 0 → sono ortogonali.

Nel caso in cui il vettore V sia unitario

u · v = |u| cosα

e la misura della proiezione ortogonale di u su v

μ · v = |u| / (|v|) cosα

μ cosα =

|u · v| / |v|

Per proiettare una direzione su un'altra dobbiamo normalizzare e renderlo un vettore

w =

μ · v = v

|v|

GAL - LEZIONE 3

Prodotto scalare standard

Prendiamo in considerazione le proprietà del prodotto scalare.

(Simmetria, omogeneità, distributività e positività)

c.a. e costruiamo una formula

VERSORI i, j, k

i.i = j.j = k.k = 1

i.j = j.k = k.j = i.k = 0

Il prodotto scalare di vettori si esprime come somma di prodotti delle componenti comuni:

(a, b, c). (x, y, z) = ax + by + cz

Riscittura del prodotto scalare normale.

Proiezione ortogonale

Se PS = 0 sono ortogonali.

Nel caso in cui il vettore V sia unitario:

m.v = |u| cosα

è la misura della proiezione ortogonale di u su V

μ_v = |u|/|v| cosα

per proiettare una

direzione su un'altra

dobattiamo

normalizzare e renderlo un vettore

μ_v = ^{v · u}/_|v| = ^{u · v}/_{|v| · |v|} = _uv · ^{v · v}/^v_v

OSSERVAZIONI

u・v = |u||v|cosα

cosα = (u・v)/|u||v|

|u・v|

PIANO NELLO SPAZIO

Luogo geometrico dei punti nello spazio.

I punti x del piano π sono tutti e soli i punti per cui il vettore Px è ortogonale a v:

v・Px = 0

Un piano π è individuato assegnando un punto P per cui passa un vettore non nullo v di direzione ortogonale al piano.

Dunque l'equazione del piano π passante per il punto P(x₀, y₀, z₀) e ortogonale a v = (a, b, c) è:

• a(x-x₀) + b(y-y₀) + c(z-z₀) = 0

az + by + cz + d = 0

z = _ρ + lw・tu; l, t ∈ ℝ

x = P + l v + t u (l, t ∈ ℝ)

w = (a, b, c)

u = (α, β, γ)

x = (x_P + la + tα, y_P + lb + tβ, z_P + lc + tγ)

OP = P vettore posizione del punto P

Il generico punto del piano π è x con x = (x, y, z)

x = (x_P + la + tα, y_P + lb + tβ, z_P + lc + tγ)

Parallelismo tra rette

Due rette

x = P + tv

x = P' + t'v'

sono parallele quando hanno la stessa direzione, cioè quando i vettori direttori v e v' sono paralleli. Quindi:

v e v' sono paralleli

se e solo se

esiste k ∈ ℝ tale che v = kv'

Le due rette r e r' sono ortogonali quando i vettori direttori v e v' sono ortogonali. Quindi:

v e v' sono ortogonali se e solo se v•v' = 0

Parallelismo e ortogonalità tra piani

Due piani

π: (x - P) • ω = 0

π': (x - P') • ω' = 0

sono paralleli quando hanno la stessa direzione ortogonale, cioè quando i vettori ortogonali ω e ω' sono paralleli. Quindi:

ω = (a, b, c) e ω' = (a', b', c')

sono paralleli se e solo se

esiste k ∈ ℝ tale che ω = kω'

π e π' sono ortogonali quando i vettori ortogonali ω e ω' sono tra loro ortogonali. Quindi:

aα + bβ + cγ + d•0

aα + bβ + cγ = 0

Paralleismo e ortogonalità tra retta e piano

Un piano π ed una retta r:

v ⋅ (X - P)_π = 0; X = Q + t u

sono paralleli quando la direzione ortogonale di π è ortogonale alla direzione di π, cioè quando i vettori ortogonali v e u sono ortogonali. Quindi:

r e π sono paralleli se e solo se v ⋅ u = 0.

Il piano π e la retta r sono ortogonali quando la direzione di r è ortogonale a v, cioè i vettori ortogonali u e v sono paralleli. Quindi:

r e π sono ortogonali se e solo se

esiste k ∈ ℝ tale che v = k u.

Ripassare prodotto vettoriale

(lezione 2)

Determinante e prodotto vettoriale

v = (a, b, c) u = (x, y, z)

v ∧ u = (a, b, c) ∧ (x, y, z) = det

+ i (bz - cy)

- j (az - cx)

+ k (ay - bx)

Li assumo e cambio i segno:

v ∧ u = (a, b, c) ∧ (x, y, z) = (bz - cy, az + cx, ay - bx) cambio il segno

(bz - cy, az - cx, ay - bx)

v ∧ u = det

= [(bz - cy)i - (cz - az)j + (ay - bx)k]

(bz - cy, cz - az, ay - bx)

Metodo di Sarrus

(solo 3x3)

(bzi - czy + ay k)

(bz k cy j + az j)