Geometria analitica

CENTRO DI MASSA

Dati tre punti A, B, C aventi coordinate cartesiane

A = (x_A, y_A) ; B = (x_B, y_B) ; C = (x_C, y_C)

Se a ciascuno dei tre punti A, B, C è associata una massa, dette esse m_A, m_B, m_C, possiamo calcolare le coordinate del centro di massa dei tre punti, che chiamiamo CM, con le formule

x_CM = ^{m_Ax_A + m_Bx_B + m_Cx_C}/_{mA + mB + mC} ; y_CM = ^{m_Ay_A + m_By_B + m_Cy_C}/_{mA + mB + mC}

CAMBIAMENTI DI COORDINATE NEL PIANO: FORMULE E METODO

I cambiamenti di coordinate nel piano cartesiano sono trasformazioni geometriche che permettono di passare da un sistema di coordinate a un altro e che possono essere espresse mediante opportune leggi di trasformazione. Tali leggi di trasformazione di cui parleremo riguardano il passaggio tra due sistemi di coordinate cartesiane.

Traslazione

Una traslazione mediante un vettore v̄ = (a, b) consiste in uno spostamento di tutti i punti del piano lungo la direzione di v̄ di una lunghezza pari a |v| = √a² + b²:

{ x' = x + ay' = y + b

Rotazione di centro O (origine) e di un angolo θ

Una rotazione con centro l'origine degli assi e angolo θ sposta i punti rispetto al centro, che nella rotazione rimane fisso, ruotandoli in senso antiorario di un angolo pari a θ.Le seguenti leggi permettono di passare dal riferimento Oxy al riferimento O'x'y':

{ x' = x cos(θ) − y sin(θ)y' = x sin(θ) + y cos(θ)

Rototraslazione

Una rototraslazione è la composizione di due trasformazioni di coordinate: una rotazione e una traslazione. Basta effettuare prima la rotazione e poi la traslazione.

Simmetria centrale

Una simmetria centrale di centro C scambia gli estremi di qualsiasi segmento che abbia come punto medio il centro di simmetria centrale C:

{x' = 2x_c - x y' = 2y_c - y}

Simmetria assiale

Una simmetria assiale rispecchia tutti i punti rispetto a un asse di simmetria. In altri termini riflette ciascun punto lungo la perpendicolare all'asse di simmetria, condotta dal punto, mantenendo inalterata la distanza dall'asse. La simmetria assiale, chiaramente, dipende dall'asse che si considera. Rispetto all'asse delle ascisse y = 0:

{x' = x y' = -y}

Rispetto all'asse delle ordinate x = 0:

{x' = -xy' = y}

Rispetto a una retta parallela all'asse delle ascisse y = c:

{x' = xy' = -y + 2c}

Rispetto a una retta parallela all'asse delle ordinate x = c:

{x' = -x + 2cy' = y}

Rispetto alla bisettrice del primo-terzo quadrante y = x:

{x' = yy' = x}

Rispetto alla bisettrice del secondo-quarto quadrante y = -x:

{x' = -yy' = -x}

Omotetia

Se fissiamo un centro e un coefficiente, un'omotetia:

• lascia invariate le rette passanti per il centro dell'omotetia (il punto prefissato);
• per qualsiasi punto del piano dilata il segmento che congiunge il punto al centro dell'omotetia, riflettendolo al di là del centro secondo un rapporto di omotetia (il coefficiente prefissato).

Omotetia di centro O = (0,0) e rapporto c:

{x' = cxy' = cy}

Omotetia di centro C = (x_C, y_C) e rapporto c:

{x' = cx + x_C(1-c)y' = cy + y_C(1-c)}

Come applicare un cambiamento di coordinate

Immaginiamo di avere un riferimento cartesiano Oxy e di voler passare a un nuovo sistema di coordinate O'x'y' mediante una particolare trasformazione. Per applicarla a un punto o a un luogo geometrico procederemo nel modo seguente:

1. per trasformare un punto P = (x_P, y_P) ne sostituiamo le coordinate x_P, y_P nelle leggi di trasformazione, al posto di x e y, ottenendo così le coordinate x'_P, y'_P del punto P' nel nuovo riferimento;
2. per trasformare un luogo geometrico dobbiamo partire dall'equazione che lo definisce. Dal cambiamento di coordinate ricaviamo le leggi di trasformazione inversa, vale a dire le formule che esprimono x e y in termini di x' e y', e le sostituiamo nell'equazione del luogo geometrico.

COORDINATE POLARI: FORMULE, PROPRIETÀ E UTILIZZI

Dato un sistema di coordinate cartesiane _Oxy nel piano cartesiano, è sempre possibile passare a un sistema di coordinate polari.

Le coordinate polari descrivono un sistema di coordinate (ρ,θ). Ogni punto del piano viene individuato in modo univoco mediante una distanza dal centro, detto polo, e un angolo misurato dal semiasse delle ascisse positive in senso antiordinario.

Supponiamo che il centro del riferimento cartesiano (origine degli assi) e il centro del riferimento polare (polo) coincidano. Se O non viene modificata dal cambiamento di coordinate, allora le formule di passaggio alle coordinate polari sono:

x = ρ cos(θ)y = ρ sin(θ)

con ρ ≥ 0; 0 ≤ θ < 2π

ρ indica il raggio in coordinate polari, ed è legato alle coordinate cartesiane dalla relazione:

ρ = √(x² + y²)

Il raggio polare ρ è la distanza del generico punto (x, y) dall'origine degli assi O, secondo la formula per la distanza tra due punti.

Coordinate polari: raggio e anomalia.

La variabile θ individua l'angolo in coordinate polari. Tale coordinata prende il nome di anomalia e viene misurata in senso antiorario a partire dal semiasse delle ascisse positive (detto asse polare).

Per fare in modo che il riferimento polare sia ben definito e che sussista un'effettiva corrispondenza biunivoca tra i punti (x, y) e i punti (, θ), l'anomalia deve essere limitata a un intervallo di valori di ampiezza 2π (angolo giro).

Ciò fa sì che vi siano infinite possibili limitazioni con cui definire un sistema di coordinate polari, e quelle più comunemente utilizzate sono la limitazione 0 ≤ θ < 2π e la limitazione −π < θ < π:

θ ∈ [0, 2π) oppure θ ∈ [−π, π)

Se consideriamo θ ∈ [0, 2π) e non θ ∈ [−π, π), per ricavare l'angolo a partire dalle coordinate cartesiane si può fare riferimento alla seguente formula di trasformazione inversa per l'anomalia che coinvolge l'arcotangente:

θ =

• ^π⁄₂ se x = 0, y > 0
• ^3π⁄₂ se x = 0, y < 0
• non definito se x = 0, y = 0
• arctan (^y⁄_x) se x > 0, y ≥ 0
• arctan (^y⁄_x) + 2π se x > 0, y < 0
• arctan (^y⁄_x) + π se x < 0, y ∈ ℝ

Se poi volessimo considerare un sistema di coordinate polari traslato, tale da mandare l'origine degli assi cartesiani in un punto C = (x_C, y_C), ci basterebbe comporre le formule per il passaggio alle coordinate polari con una traslazione:

{x = x_C + ρcos(θ)y = y_C + ρsin(θ)ρ ≥ 0; 0 ≤ θ < 2π}

Proprietà di un sistema di coordinate polari

1. Le semirette con origine nel polo hanno equazione della forma θ = costante.
2. Una circonferenza con centro nel polo e raggio R ha equazione della forma ρ = R.
3. Tutti i punti dell'asse polare hanno anomalia nulla: θ = 0.
4. Il polo (centro del sistema polare) ha anomalia indeterminata e raggio nullo.