Geometria (Geometria dello Spazio)

GEOMETRIA dello SPAZIO

Fissiamo un riferimento cartesiano RC(O; ĩ, ĵ, k̂), ovvero un punto O (origine) e tre basi (ĩ, ĵ, k̂) di V³ tali che:

• a due a due perpendicolari
• di lunghezza 1

Identifichiamo ogni vettore OP̅ e V₃ con le sue coordinate:

• OP̅ = (^x/_z)

dove OP̅ = xĩ + yĵ + zk̂

Identifico ogni punto P con le coordinate del vettore OP̅

• Asse x = rette per O e parallele a ĩ
• Asse y = rette per O e parallele a ĵ
• Asse z = rette per O e parallele a k̂

Identifico v̅ ∈ V₃ e la sua classe [v̅] ∈ V₀³.

• Piano xy: punti con 3a coordinata 0
• Piano xz: punti con 2a coordinata 0
• Piano yz: punti con 1a coordinata 0

Se P₁ = ( ^x₁/_z1 ) , P₂ = ( ^x₂/_z2 ) , P₃ = ( ^x₃/_z3 ) .

P₁P₂ = OP̅₂ - OP̅₁ = ( ^{x₂ - x₁}/_{z2 - z1} )

Punto medio del segmento P₁P₂ = ( ^{x₁ + x₂}/₂ )

Baricentro del triangolo P₁P₂P₃ = ( ^{x₁ + x₂ + x₃}/₃ )

Piani

Un piano è un sottopiano affine di dimensione 2:

(_{x 0 y 0 z 0} ) + span ( _{l u u} ) con ( _{l u u} ) ( _l' _u' _u' ) indipendenti

(_{x 0 y 0 z 0} ) è un punto di α

Ogni vettore in span ( ( _{l u u} ),( _l' _u' _u' ) ) è un vettore parallelo a α.

Il piano è può essere descritto in due modi:

eq parametriche

( _{x y z} ) = ( _{x 0 y 0 z 0} ) + t ( _{l u u} ) + t' ( _l' _u' _u' )

Il generico punto del piano è

( _{x y z} ) = ( _{x 0} + _lt + _l't' _{y 0} + _ut + _u't' _{z 0} + _ut + _u't' )

eq cartesiane

_ax + _by + _cz + _d = 0

i punti del piano sono quelli che soddisfano l'equazione cartesiana

Esercizio

Scrivere eq. cartesiana del piano α passante per P = ( 5 7 ) e perpendicolare a ( 3 7 2 )

Eq. cartesiana

3x + 7y + 1z + d = 0 Passa per ( 5 7 ),

3⋅1 + 7⋅5 + 2⋅7 + d = 0 => d = -52

3x + 7y + 1z - 52 = 0

Passaggio da eq. parametriche a eq. cartesiana

Esercizio

Scrivere eq. cartesiana del piano ^{x = 1 + t + 2 t'} _{y = 0 + 4t - t'} ^{z = 1 + 2t}

I^o modo

È il piano per P = ( 0 1 ) e parallelo a ( 4 2 ) e

det -x-112-y-04-1-z-120= 0

Svolgendo : 2x + 4y + 9z + 7 = 0

II^o modo

Trovo t e t' da due equazioni e sostituisco nella restante.

Dalla 3^a eq., t = ^{z - 1} / ₂

Sostituendo nella 2^a eq. t' = 4t - y = z - 2 - y.

Sostituendo nella 1^a eq. x = 1 + ^{z - 1}/₂ + 2(z - 2 - y).

Facendo i calcoli: 2x + 4y - 9z + 7 = 0

9.7

h(y + 2) + k(x + y + 1) = 0

C: { y + 2 = 0 { x + y + 1 = 0

C = (1, -2)

S + r:

2x + y - 5 = 0

S: { x = 1 + 2t { y = -2 + t

T = r ∩ s

2(1+2t) - 2 + t - 5 = 0

2 + 4t - 2 + t - 5 = 0

5t - 5 = 0 → t = 1

T = (3, -1)

Area Triangolo = ¹/₂ ||T̅|| . ||T̅|| = 5

||T̅|| = √((1-3)² + (-2-1)²) = √4 + 1 = √5

P_r tale che ||T̅|| = 2∙√5

r: { x = 3 - t { y = -1 + 2t

||T̅|| = √((3-t-3)² + (-1+2t+1)²) = √4t² + 4t²

√5t² = 2√5

√5 |t| = 2 → |t| = ²/_√5

5t² = 4 ∙ 4

t: < { 2 {-2

< ( 3 5/5

È il triangolo di lati

\[\vec{P}_1\vec{P}_2\ =\ \begin{pmatrix} 3-1\\ 2-1\\ 0-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\ e\]

\[\vec{P}_1\vec{P}_3\ =\ \begin{pmatrix} 3-1\\ 2-1\\ 0-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\]

\[= \frac{1}{2}\ \| \begin{pmatrix} \vec{i}\ \vec{j}\ \vec{k}\\ 2\ \ 1\ \ \ \ \ \ 0\\ 1\ \ 2\ \ \ 0 \end{pmatrix} \|=\]

\[= \frac{1}{2}\ \| \begin{pmatrix} \vec{i}\ \vec{j}\ \vec{k}\\ 2\ \ 1\ \ \ \ \ \ 0\\ 1\ \ 2\ \ \ 0 \end{pmatrix} \|=\]

\[= \frac{1}{2}\ \sqrt{0^2+0^2+3^2}=\frac{3}{2}\]

6.

\[\vec{i}\ \wedge\ \vec{i}\ =\ \vec{0}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vec{i}\ \wedge\ \vec{j}\ =\ -\vec{k}\ \ \ \ \ \ \ \ \vec{k}\ \wedge\ \vec{i}\ =\ \vec{j}\]

\[\vec{i}\ \wedge\ \vec{k}\ =\ -\vec{j}\ \ \ \ \ \ \ \ \vec{j}\ \wedge\ \vec{j}\ =\ \vec{0}\ \ \ \ \ \ \ \ \vec{k}\ \wedge\ \vec{j}\ =\ -\vec{i}\]

\[\vec{i}\ \wedge\ \vec{k}\ =\ -\vec{j}\ \ \ \ \ \ \ \ \vec{j}\ \wedge\ \vec{k}\ =\ \vec{i}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \vec{k}\ \wedge\ \vec{k}\ =\ \vec{0}\]

Il prodotto vettoriale è l' unica forma bilineare che soddisfa la proprietà 6.

Esempio:

\[\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3\end{pmatrix}\wedge \begin{pmatrix} 5\\ 0\\ 1\end{pmatrix} = (i+2\vec{j}+3\vec{k})\wedge (5\vec{i}+\vec{k}) = 5(\vec{i} \wedge \vec{i}) + (\vec{i} \wedge \vec{k})+\]

+ \ 6(\ \vec{j}\ \wedge\ \vec{i})+\ \ 2(\vec{j}\ \wedge\ \vec{k}\ )+\ 15(\vec{k}\ \wedge\ \vec{i}\ )+\ 3(\vec{k}\ \wedge\ \vec{k}) = -\vec{j} - 10\vec{k} + 2\vec{i} + 15\vec{j}\ =

= \begin{pmatrix} 2\\ 4\\ -10 \end{pmatrix}