Geometria (Geometria dello Spazio)

GEOMETRIA dello SPAZIO

17/11/2021

Fissiamo un riferimento cartesiano RC(O; \(\vec{i}\) \(\vec{j}\) \(\vec{k}\)), ovvero un punto O (origine) e tre assi (\(\vec{i}\), \(\vec{j}\), \(\vec{k}\)) di V₃ tali che:

• due a due perpendicolari
• di lunghezza 1

Identifichiamo ogni vettore \(\overrightarrow{OP}\) e V₃ con le sue coordinate:

\(\overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\) dove \(\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{x} \vec{i} + \overrightarrow{y} \vec{j} + \overrightarrow{z} \vec{k}\)

Identificiamo ogni punto P con le coordinate del vettore \(\overrightarrow{OP}\).

• Asse x: rette per O e parallele a \(\vec{i}\)
• Asse y: rette per O e parallele a \(\vec{j}\)
• Asse z: rette per O e parallele a \(\vec{k}\)

Identifichiamo \(\vec{v}\) \(\in\) \(\mathbb{R}^{3}\) e la sua classe \([ \vec{v} ]\) \(\in\) V₀³.

• Piano xy: punti con 3^a coordinata 0
• Piano xz: punti con 2^a coordinata 0
• Piano yz: punti con 1^a coordinata 0

Se \(P_1 = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix}\), \(P_2 = \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix}\), \(P_3 = \begin{pmatrix} x_3 \\ y_3 \\ z_3 \end{pmatrix}\).

\(\overrightarrow{P_1P_2} = \overrightarrow{OP_2} - \overrightarrow{OP_1} = \begin{pmatrix} x_2-x_1 \\ y_2-y_1 \\ z_2-z_1 \end{pmatrix}\)

Punto medio del segmento \(\overline{P_1P_2}\) = \(\begin{pmatrix} \frac{x_1+x_2}{2} \\ \frac{y_1+y_2}{2} \\ \frac{z_1+z_2}{2} \end{pmatrix}\)

Baricentro del triangolo \(\overline{P_1P_2P_3}\) = \(\begin{pmatrix} \frac{x_1+x_2+x_3}{3} \\ \frac{y_1+y_2+y_3}{3} \\ \frac{z_1+z_2+z_3}{3} \end{pmatrix}\)

GEOMETRIA dello SPAZIO

Fissiamo un riferimento cartesiano RC(O;

• due a due perpendicolari
• di lunghezza 1

Identifichiamo ogni vettore con le sue coordinate:

dove

Identifichiamo ogni punto P con le coordinate del vettore

• asse x = retta per O e parallela a
• asse y = retta per O e parallela a
• asse z = retta per O e parallela a

Identifichiamo e la sua classe e

• Piano xy: punti con 3^a coordinata 0
• Piano xz: punti con 2^a coordinata 0
• Piano yz: punti con 1^a coordinata 0

Se,

,

,

Punto medio del segmento=

Baricentro del triangolo

Piani

Un piano è un sottospazio affine di dimensione 2:

• 1. (x₀ y₀ z₀)^T + span((l u u)^T, (l' u' u')^T) con (l u u)^T, (l' u' u')^T indipendenti

(x₀ y₀ z₀) è un punto di α

Ogni ulteriore in span((l u u)^T, (l' u' u')^T) è un vettore parallelo a α.

Il piano α può essere descritto in due modi:

eq parametriche

• (x y z)^T = (x₀ y₀ z₀)^T + t(l u u)^T + t'(l' u' u')^T

• Il generico punto del piano è
  • 1. (x y z)^T = (x₀+lt+l't' y₀+ut+u't' z₀+ut+u't')^T

eq cartesiane

ax + by + cz + d = 0

I punti del piano sono quelli che soddisfano l'equazione cartesiana

Osservazione

Se P₁ e P₂ sono due punti distinti di α, il vettore P₁P₂ è un vettore parallelo a α.

Proposizione

Se α: ax + by + cz + d = 0

• ( a b c) è un vettore ⊥ a α

Dimostrazione

Siano P₁ = (_{x1y1z1) e P2 = (x2y2z2) due punti di α, quindi}

• qx₂ + by₂ + cz₂ + d = 0
• qx₁ + by₁ + cz₁ + d = 0

Sottraendo

q(x₂ - x₁) + b(y₂ - y₁) + c(z₂ - z₁) = 0

avremo

, ( _{x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1}